四川省凉山宁南中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（文）【试卷+答案】

2020-2021学年度高二上期宁南中学第二次月考卷

     文科数学试题       

                               满分：150分   考试时间：120分钟   

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知双曲线与有相同的焦点，则等于（   ）

A．3 B． C．2 D．3

2．用随机数法从100名学生（其中男生40名）中抽取20名参加一项文体活动，某男学生被抽到的可能性是（   ）

A．            B．               C．            D．

3．在庆祝中华人民共和国成立周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生人，其中高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（    ）

A．30 B．31 C．32 D．33

4．某一考场有64个试室，试室编号为001﹣064，现根据试室号，采用系统抽样法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005，021试室号，则下列可能被抽到的试室号是（    ）

A．029，051 B．036，052 C．037，053 D．045，054

5．关于茎叶图的说法，结论错误的一个是（    ）

A．甲的极差是29 B．甲的平均数比乙的大

C．乙的众数是21 D．甲的中位数是25

6．统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068－1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如下的统计表格：

则宋神宗熙宁年间各州商税岁额（单位：万贯）的中位数大约为（    ）

A．0.5 B．2 C．5 D．10

7．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（   ）

A．     B．      C．       D．

8．执行如图所示的程序框图，如果输入，，则输出的等于（    ）

A．        B．       C．      D．

9．抛物线的准线被圆截得的线段长为（    ）

A．4          B．       C．    D．2

10．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，为上一点，，，则椭圆的离心率为（    ）

A．       B．       C．    D．

11．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（    ）

A．或 B．或 

C．或 D．或

12．过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点，若，且，则抛物线的方程为（ ）

A．    B．    C．    D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某中学举行了一场音乐知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图，同一组数据用该区间的中点值代替，估计这次竞赛的平均成绩为______分.

14．直线与圆的位置关系是_______.

15．已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，若，则 等于_____．

16．设是抛物线上的一个动点，是焦点，若，则的最小值为______.

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本题满分10分）

在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

18．（本题满分12分）

正项等差数列满足a1＝4，且a2，a4＋2，2a7－8成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）令bn＝，求数列的前n项和Tn.

19．（本题满分12分）

2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某市从2020年2月1日算第一天起，每日新增的新型冠状病毒肺炎人数y(人)的近5天的具体数据，如表：

已知2月份前半个月处于疫情爆发期，且新增病例数与天数具有相关关系.

（1）求线性回归方程；

（2）预测哪天该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人？

参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，，为样本平均值.

20．（本题满分12分）

已知正三棱柱中，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

21．（本题满分12分）

若椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，是原点，求的面积.

22．（本题满分12分）

已知在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程是.

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，证明：以为直径的圆过原点.

宁南中学高2022届第二次月考

   文科数学试题  参考答案

CCDCD  BBABA  AC

1．C

解：因为双曲线与有相同的焦点， ，解得 ，故选C.

2．C

解：在每一次的抽取中，每个个体被抽到的可能性为，抽取20个样本，则每个个体被抽到的可能性为.易错点是样本容量为100，而不是40

3．D

解：由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生的人数为，故选：D.

4．C

解：每八个抽取一个，第一个是，故后面编号为，当时，编号为037

当时，编号为.故选：C.

5．D

解：由茎叶图知，

甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，A正确；

甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为，D错误；

乙的数据中出现次数最多的是21，所以众数是21，C正确；

甲命中个数集中在20以上，乙命中个数集中在10和20之间，所以甲的平均数大，B正确．故选D．

6．B

解：总频数为311，则中位数是所有数据从小到大第156个数据，，中位数大约在区间的中点处，所以中位数大约为2．故选：B

7．B

解：对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.

8．A

解：执行程序框图，各变量的值依次变化如下：

成立；

，成立；

，不成立，跳出循环，输出的等于.故选A.

9．B

解：因为抛物线的准线方程为，

圆整理得，则圆心坐标为，半径为，

则圆心到直线的距离为，

因此被圆截得的弦长为.故选：B.

10．A

解：由题意可得：，

所以，得，所以.故选：A.

11．A

解：由题意，解得，∴椭圆方程为或

故选：A．要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．

12．C

解：分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，则由已知得：，由定义得：，故，在直角三角形中，∵，，∴，∴，从而得，∵，∴，求得，因此抛物线方程为．故选C.

13．67.

解：这次竞赛的平均成绩为：

故答案为：67.

14．相交

解：由题意，直线，所以直线过定点，

又，所以点在圆内，所以直线与圆相交.

15．7

解：由题知，．故答案为：7

16．5

【分析】求出抛物线的准线方程，把到焦点距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线性质得最小值．

解：如图，过作与准线垂直，垂足为，则，∴，易知当三点共线时，最小，最小值为．∴的最小值为5．故答案为：5．

17．（1）；（2）.

解：（1）,由正弦定理得

∴，

在中，,可得，又∴

（2）∵，其中，，

∴，所以.

18．（1）an＝2n＋2(n∈N*)；（2）.

解：（1）设数列{an}的公差为d(d>0)，

由已知得a2(2a7－8)＝(a4＋2)2，(4+d)[2(4+6d)－8]＝(4+3d＋2)2

化简得，d2＋4d－12＝0，解得d＝2或d＝－6(舍)，

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2(n∈N*).

（2）bn＝，

所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

(n∈N*).

19．（1）；

（2）预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人.

解：（1）由题意，，

，，，则，，所以线性回归方程为.

（2）在中，取，得；取，得.

故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人.

20．（1）证明见解析；（2）

证明：（1）连结，设，再连接,如图，则是的中点，是的中位线，所以∥，又因为平面，

平面，所以∥平面

（2）过点作，垂足为，如图，在正三棱柱中，平面，

∴，又∵，∴平面，，

∴.

21．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解：（Ⅰ）椭圆的离心率为，

椭圆上任意一点到椭圆两焦的距离之和为，即，所以，，

所以，所以椭圆的方程.

（Ⅱ）因为直线与椭圆交于两点，

设，，则联立方程组得：，

则，.

所以

因为原点到直线的距离.

所以的面积为.

22．（1）；（2）见解析

解：（1）由抛物线的准线方程为，

则，则，

∴抛物线方程为；

（2）证明：设，

由，消去整理得，

，

由，两式相乘，得，

注意到异号，所以，

则

，

，

所以以为直径的圆过原点．