专题29 距离型、参数型、数量积型及四边形面积型最值问题(原卷版)

这是一份专题29 距离型、参数型、数量积型及四边形面积型最值问题(原卷版)，共15页。

最值问题的基本解法有几何法和代数法：几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个或两个变量的函数，通过求解函数的最值普通方法、基本不等式方法、导数方法等解决的．
【例题选讲】
[例1] 如图，已知抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M．
(1)求抛物线E的方程；
(2)求点M到直线CD距离的最大值．
[规范解答] (1)把xA＝2代入x2＋y2＝8，得yeq \\al(2,A)＝4，故2pxA＝4，p＝1．
于是，抛物线E的方程为y2＝2x．
(2)设Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),2)，y1))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),2)，y2))，切线l1：y－y1＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(y\\al(2,1),2)))，代入y2＝2x得ky2－2y＋2y1－kyeq \\al(2,1)＝0，
由Δ＝0，解得k＝eq \f(1,y1)．∴l1的方程为y＝eq \f(1,y1)x＋eq \f(y1,2)，同理，l2的方程为y＝eq \f(1,y2)x＋eq \f(y2,2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,y1)x＋\f(y1,2)，,y＝\f(1,y2)x＋\f(y2,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(y1y2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))易得直线CD的方程为x0x＋y0y＝8，
其中x0，y0满足xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝8，x0∈[2,2eq \r(2) ]．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2x，,x0x＋y0y＝8，))得x0y2＋2y0y－16＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－\f(2y0,x0)，,y1y2＝－\f(16,x0).))∴M(x，y)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(8,x0)，,y＝－\f(y0,x0)，))
即点M为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,x0)，－\f(y0,x0)))．点M到直线CD：x0x＋y0y＝8的距离
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－8－\f(y\\al(2,0),x0)－8)),\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)))＝eq \f(\f(y\\al(2,0),x0)＋16,2\r(2))＝eq \f(\f(8－x\\al(2,0),x0)＋16,2\r(2))＝eq \f(\f(8,x0)－x0＋16,2\r(2))，令f(x)＝eq \f(\f(8,x)－x＋16,2\r(2))，x∈[2，2eq \r(2)]，
则f(x)在[2，2eq \r(2) ]上单调递减，当且仅当x＝2时，f(x)取得最大值eq \f(9\r(2),2)，故dmax＝eq \f(9\r(2),2)．
[例2] 如图，已知点F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,2)＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：eq \f(x2,2)＋y2＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D．设AB，CD的斜率分别为k，k′．
(1)求证：k·k′为定值；
(2)求|AB|·|CD|的最大值．
[规范解答] (1)证明：因为点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，故F1(－1,0)，F2(1,0)．
又点F1，F2是椭圆C2上的点，将F1或F2的坐标代入C2的方程得λ＝eq \f(1,2)．
设点P的坐标是(x0，y0)，由点P是椭圆C2上的点，知eq \f(x\\al(2,0),2)＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)，①
∵直线PF1和PF2的斜率分别是k，k′(k≠0，k′≠0)，∴kk′＝eq \f(y0,x0＋1)·eq \f(y0,x0－1)＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－1)，②
由①②可得kk′＝－eq \f(1,2)，即k·k′为定值．
(2)直线PF1的方程可表示为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆C1的方程联立，得到方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x＋1)，,\f(x2,2)＋y2＝1，))
消去y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2k2－2,1＋2k2)．
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq \f(2\r(2)(1＋k2),1＋2k2)．同理可求得|CD|＝eq \f(\r(2)(1＋4k2),1＋2k2)，
则|AB|·|CD|＝eq \f(4(4k4＋5k2＋1),(1＋2k2)2)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(1＋\f(\(\s\up7(),\s\d5(1)),\f(1,k2)＋4k2＋4))))≤eq \f(9,2)，
当且仅当k＝±eq \f(\r(2),2)时等号成立．故|AB|·|CD|的最大值为eq \f(9,2)．
[例3] 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),3)，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值．
[规范解答] (1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以c＝1，又因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a)＝eq \f(\r(3),3)，所以a＝eq \r(3)，
所以b2＝2，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．
(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时，直线BD的方程为y＝k(x＋1)，
代入椭圆方程eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，并化简得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k2＋2))x2＋6k2x＋3k2－6＝0．
Δ＝36k4－4(3k2＋2)(3k2－6)＝48(k2＋1)>0恒成立．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(6k2,3k2＋2)，x1x2＝eq \f(3k2－6,3k2＋2)，
|BD|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋k2))·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x1＋x22－4x1x2)))＝eq \f(4\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋1)),3k2＋2)，
由题意知AC的斜率为－eq \f(1,k)，所以|AC|＝eq \f(4\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)＋1)),3×\f(1,k2)＋2)＝eq \f(4\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋1)),2k2＋3)．
|AC|＋|BD|＝4eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3k2＋2)＋\f(1,2k2＋3)))＝eq \f(20\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋1))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k2＋2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k2＋3)))≥eq \f(20\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋1))2,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k2＋2))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k2＋3)),2)))2)
＝eq \f(20\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋1))2,\f(25k2＋12,4))＝eq \f(16\r(3),5)．
当且仅当3k2＋2＝2k2＋3，即k＝±1时，上式取等号，故|AC|＋|BD|的最小值为eq \f(16\r(3),5)．
②当直线BD的斜率不存在或等于零时，可得|AC|＋|BD|＝eq \f(10\r(3),3)>eq \f(16\r(3),5)．
综上，|AC|＋|BD|的最小值为eq \f(16\r(3),5)．
[题后悟通] 题目中未直接告诉我们不等关系，则选择将|AC|＋|BD|表示为关于k的函数，再行处理，注意到3k2＋2＋2k2＋3＝5(k2＋1)，所以可以考虑基本不等式，但一定要注意等号是否能够成立.当然这里也可以利用换元法．令k2＋1＝t (t≥1)，将原式转化为eq \f(20\r(3)t2,(3t－1)( 2t＋1))来处理，但稍微比较复杂一些．
[例4] 已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1，0)，且该椭圆过定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点Q(2，0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且eq \(F2A,\s\up7(→))＝λeq \(F2B,\s\up7(→))，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．
[规范解答] (1)由题易知c＝1，eq \f(1,a2)＋eq \f(1,2b2)＝1，又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，a2＝2，
故椭圆E的标准方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)设直线l：x＝ky＋1，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ky＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1))得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1＋y2＝eq \f(－2k,k2＋2)，y1y2＝eq \f(－1,k2＋2)．
eq \(QC,\s\up7(→))＝eq \(QA,\s\up7(→))＋eq \(QB,\s\up7(→))＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4(k2＋1),k2＋2)，\f(－2k,k2＋2)))，
∴|eq \(QC,\s\up7(→))|2＝|eq \(QA,\s\up7(→))＋eq \(QB,\s\up7(→))|2＝16－eq \f(28,k2＋2)＋eq \f(8,(k2＋2)2)，由此可知，|eq \(QC,\s\up7(→))|2的大小与k2的取值有关．
由eq \(F2A,\s\up7(→))＝λeq \(F2B,\s\up7(→))可得y1＝λy2，λ＝eq \f(y1,y2)，eq \f(1,λ)＝eq \f(y2,y1)(y1y2≠0)．
从而λ＋eq \f(1,λ)＝eq \f(y1,y2)＋eq \f(y2,y1)＝eq \f((y1＋y2)2－2y1y2,y1y2)＝eq \f(－6k2－4,k2＋2)，
由λ∈[－2，－1]得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,λ)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－2))，从而－eq \f(5,2)≤eq \f(－6k2－4,k2＋2)≤－2，解得0≤k2≤eq \f(2,7)．
令t＝eq \f(1,k2＋2)，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,16)，\f(1,2)))，∴|eq \(QC,\s\up7(→))|2＝8t2－28t＋16＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(7,4)))2－eq \f(17,2)，
∴当t＝eq \f(1,2)时，|QC|min＝2．
[例5] (2020·浙江)如图，已知椭圆C1：eq \f(x2,2)＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)．
(1)若p＝eq \f(1,16)，求抛物线C2的焦点坐标；
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
[规范解答] (1)当p＝eq \f(1,16)时，C2的方程为y2＝eq \f(1,8)x，故抛物线C2的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32)，0))．
(2)解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线l的方程为x＝λy＋m，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2＝2，,x＝λy＋m，))得(2＋λ2)y2＋2λmy＋m2－2＝0，所以y1＋y2＝eq \f(－2λm,2＋λ2)，y0＝eq \f(－λm,2＋λ2)，x0＝λy0＋m＝eq \f(2m,2＋λ2)，
因为M在抛物线上，所以eq \f(λ2m2,2＋λ22)＝eq \f(4pm,2＋λ2)⇒m＝eq \f(4p2＋λ2,λ2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,x＝λy＋m，))得y2＝2p(λy＋m)，
即y2－2pλy－2pm＝0，所以y1＋y0＝2pλ，所以x1＋x0＝λy1＋m＋λy0＋m＝2pλ2＋2m，
所以x1＝2pλ2＋2m－eq \f(2m,2＋λ2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y2＝2px，))得x2＋4px－2＝0，
所以x1＝eq \f(－4p＋\r(16p2＋8),2)＝－2p＋eq \r(4p2＋2)，
则－2p＋eq \r(4p2＋2)＝2pλ2＋2m·eq \f(1＋λ2,2＋λ2)＝2pλ2＋eq \f(8p,λ2)＋8p≥16p，
所以eq \r(4p2＋2)≥18p，解得p2≤eq \f(1,160)，p≤eq \f(\r(10),40)，
所以p的最大值为eq \f(\r(10),40)，此时Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(10),5)，\f(\r(5),5)))．
解法二：设直线l的方程为x＝my＋t(m≠0，t≠0)，A(x0，y0)．
将x＝my＋t代入eq \f(x2,2)＋y2＝1，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，所以点M的纵坐标为yM＝－eq \f(mt,m2＋2)．
将x＝my＋t代入y2＝2px，得y2－2pmy－2pt＝0，所以y0yM＝－2pt，解得y0＝eq \f(2p(m2＋2),m)，
因此x0＝eq \f(2p(m2＋2)2,m2)，由eq \f(x\\al(2,0),2)＋yeq \\al(2,0)＝1，解得eq \f(1,p2)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(2,m)))2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(2,m)))4≥160，
所以当m＝eq \r(2)，t＝eq \f(\r(10),5)时，p取到最大值为eq \f(\r(10),40)．
[例6] 已知抛物线x2＝y，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x0，y0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x0＜\f(3,2)))．
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)Q是以AB为直径的圆上一点，且eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(BQ,\s\up7(→))＝0，求eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(PQ,\s\up7(→))的最大值．
[规范解答] (1)设直线AP的斜率为k，则k＝eq \f(x\\al(2,0)－\f(1,4),x0＋\f(1,2))＝x0－eq \f(1,2)，
因为－eq \f(1,2)＜x0＜eq \f(3,2)，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1)．
(2)由题意可知，eq \(AP,\s\up7(→))与eq \(AQ,\s\up7(→))同向共线，BQ⊥AQ，
联立直线AP与BQ的方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))解得点Q的横坐标是xQ＝eq \f(－k2＋4k＋3,2(k2＋1))．
因为|AP|＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,2)))＝eq \r(1＋k2)(k＋1)，|PQ|＝eq \r(1＋k2)(xQ－x0)＝－eq \f((k－1)(k＋1)2,\r(k2＋1))，
所以eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(PQ,\s\up7(→))＝|eq \(AP,\s\up7(→))|·|eq \(PQ,\s\up7(→))|＝－(k－1)(k＋1)3．令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递减，
因此当k＝eq \f(1,2)时，eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(PQ,\s\up7(→))取得最大值eq \f(27,16)．
[例7] 如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①eq \f (|AP|,|AD|)＝eq \f (|DQ|,|DC|)，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：eq \f (x2,a2)＋eq \f (y2,b2)＝1(a>b>0)上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．
[规范解答] (1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1，2)，由题可知，eq \f (y1,2)＝eq \f (x1＋2,4)．
∵kAG＝kAQ，kBG＝kBP，∴eq \f (y,x＋2)＝eq \f (2,x1＋2)，eq \f (y,x－2)＝－eq \f (y1,4)，
从而有eq \f (y2,x2－4)＝－eq \f (y1,2(x1＋2))＝－eq \f (1,4)，整理得eq \f (x2,4)＋y2＝1，即椭圆E的方程为eq \f (x2,4)＋y2＝1．
(2)由(1)知R(2，0)，设M(x0，y0)，则y0＝eq \f (1,2)eq \r(4－x\\al(2,0))，
从而梯形ORMN的面积S＝eq \f (1,2)(2＋x0)y0＝eq \f (1,4)eq \r((4－x\\al(2,0))(2＋x0)2)，
令t＝2＋x0，则2当t∈(2，3)时，u′>0，u＝4t3－t4单调递增，当t∈(3，4)时，u′<0，u＝4t3－t4单调递减，
所以当t＝3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为eq \f (3\r(3),4)．
[例8] 设点F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且eq \(PF1,\s\up7(→))·eq \(PF2,\s\up7(→))的最小值为0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2的面积S的最大值．
[规范解答] (1)设P(x，y)，则eq \(PF1,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)，eq \(PF2,\s\up6(→))＝(c－x，－y)，
所以eq \(PF1,\s\up7(→))·eq \(PF2,\s\up7(→))＝x2＋y2－c2＝eq \f(a2－1,a2)x2＋1－c2，x∈[－a，a]，
由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程eq \f(x2,2)＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，化简得m2＝2k2＋1．
设d1＝|F1M|＝eq \f(|－k＋m|,\r(k2＋1))，d2＝|F2N|＝eq \f(|k＋m|,\r(k2＋1))．
①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tan θ|，所以|MN|＝eq \f(1,|k|)·|d1－d2|，
所以S＝eq \f(1,2)·eq \f(1,|k|)·|d1－d2|·(d1＋d2)＝eq \f(2|m|,k2＋1)＝eq \f(4|m|,m2＋1)＝eq \f(4,|m|＋\f(1,|m|))，
因为m2＝2k2＋1，所以当k≠0时，|m|>1，|m|＋eq \f(1,|m|)>2，即S<2．
[例9] 已知椭圆的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y＝x－eq \r(3)相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最小值．
[规范解答] (1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，因为它与直线y＝x－eq \r(3)只有一个公共点，
所以方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝x－\r(3)))只有一组解，消去y，整理得(a2＋b2)·x2－2eq \r(3)a2x＋3a2－a2b2＝0．
所以Δ＝(－2eq \r(3)a2)2－4(a2＋b2)(3a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝3．
又焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以a2－b2＝1，联立上式解得a2＝2，b2＝1．
所以椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0)，则S四边形PMQN＝eq \f(|PQ|·|MN|,2)＝eq \f(2\r(1－\f(1,2))×2\r(2),2)＝2．
若直线PQ的斜率存在，设为k(k≠0)，则直线MN的斜率为－eq \f(1,k)．
所以直线PQ的方程为y＝kx＋k，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋k，))化简得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝eq \f(－4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(2k2－2,2k2＋1)，
所以|PQ|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \f(\r((1＋k2)[16k4－4(2k2－2)(2k2＋1)]),2k2＋1)＝2eq \r(2)×eq \f(k2＋1,2k2＋1)，
同理可得|MN|＝2eq \r(2)×eq \f(k2＋1,2＋k2)．
所以S四边形PMQN＝eq \f(|PQ|·|MN|,2)＝4×eq \f((k2＋1)2,(2＋k2)(2k2＋1))＝4×eq \f(k4＋2k2＋1,2k4＋5k2＋2)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\f(1,2)k2,2k4＋5k2＋2)))
＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(k2,4k4＋10k2＋4)))＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4k2＋\f(4,k2)＋10)))．
因为4k2＋eq \f(4,k2)＋10≥2eq \r(4k2·\f(4,k2))＋10＝18(当且仅当k2＝1时取等号)，
所以eq \f(1,4k2＋\f(4,k2)＋10)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,18)))，所以4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4k2＋\f(4,k2)＋10)))∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,9)，2))．
综上所述，四边形PMQN面积的最小值为eq \f(16,9)．
[例10] 已知椭圆的中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
(1)若eq \(ED,\s\up7(→))＝6eq \(DF,\s\up7(→))，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值．
[规范解答] (1)由题设条件可得，椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，直线AB的方程为x＋2y－2＝0．
设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2＝4，解得x2＝－x1＝eq \f(2,\r(1＋4k2)) ．①
由eq \(ED,\s\up7(→))＝6eq \(DF,\s\up7(→))，得(x0－x1，k(x0－x1))＝6(x2－x0，k(x2－x0))，即x0－x1＝6(x2－x0)，
∴x0＝eq \f(1,7)(6x2＋x1)＝eq \f(5,7)x2＝eq \f(10,7\r(1＋4k2))．由D在AB上，得x0＋2kx0－2＝0，∴x0＝eq \f(2,1＋2k)．
∴eq \f(2,1＋2k)＝eq \f(10,7\r(1＋4k2))，化简，得24k2－25k＋6＝0，解得k＝eq \f(2,3)或k＝eq \f(3,8)．
(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E，F到AB的距离分别为
d1＝eq \f(|x1＋2kx1－2|,\r(5))＝eq \f(2(1＋2k)＋\r(1＋4k2),\r(5(1＋4k2)))，d2＝eq \f(|x2＋2kx2－2|,\r(5))＝eq \f(2(1＋2k)－\r(1＋4k2),\r(5(1＋4k2)))，
又|AB|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，∴四边形AEBF的面积为S＝eq \f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝eq \f(1,2)×eq \r(5)×eq \f(4(1＋2k),\r(5(1＋4k2)))＝eq \f(2(1＋2k),\r(1＋4k2))
＝2eq \r(\f(1＋4k2＋4k,1＋4k2))＝2eq \r(1＋\f(4k,1＋4k2))＝2eq \r(1＋\f(4,4k＋\f(1,k)))≤2eq \r(1＋\f(4,2\r(4k·\f(1,k))))＝2eq \r(2)，
当且仅当4k＝eq \f(1,k)(k>0)，即k＝eq \f(1,2)时，等号成立．故四边形AEBF面积的最大值为2eq \r(2)．
【对点训练】
1．如图所示，点A，B分别是椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，
且位于x轴上方，PA⊥PF．
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
2．已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
3．如图，抛物线C：x2＝2px(p＞0)的焦点为F(0，1)，取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，
P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．
(1)求抛物线C和圆Q的方程；
(2)过点F作直线l，与抛物线C和圆Q依次交于点M，A，B，N，求|MN|·|AB|的最小值．
4．(2017·浙江)如图，已知抛物线x2＝y，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x，y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
5．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其中F1，F2，为左右焦点，且离心率为eq \f(\r(3),3)，直线l与椭圆交于两
不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为eq \f(π,4)时，原点O到直线l的距离为eq \f(\r(2),2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若eq \(OP,\s\up7(→))＋eq \(OQ,\s\up7(→))＝eq \(ON,\s\up7(→))，当△OPQ的面积为eq \f(\r(6),2)时，求|eq \(ON,\s\up7(→))|·|eq \(PQ,\s\up7(→))|的最大值．
6．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq \f(\r(6),3)，原点到过点A(0，－b)和B(a，0)的直线的距离为eq \f(\r(3),2)．
(1)求椭圆的方程；
(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1内切圆半径r的最大值．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y
轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l．
(1)求动点Q的轨迹E的方程；
(2)若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求eq \(FA,\s\up7(→))·eq \(FB,\s\up7(→))＋eq \(FC,\s\up7(→))·eq \(FD,\s\up7(→))的最大值．
8．已知椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)的上、下两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，
且△MNF2的周长为8，椭圆C的离心率为eq \f(\r(3),2)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M′，N′是直线l上的两点，且F1M′⊥l，F2N′⊥l，求四边形F1M′N′F2面积S的最大值．
9．(2013·全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－eq \r(3)＝0交M
于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为eq \f(1,2)．
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
10．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，当l的斜
率为1时，坐标原点O到l的距离为eq \f(\r(2),2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P，Q，M，N是椭圆C上的四点，已知eq \(PF,\s\up7(→))与eq \(FQ,\s\up7(→))共线，eq \(MF,\s\up7(→))与eq \(FN,\s\up7(→))共线，且eq \(PF,\s\up7(→))·eq \(MF,\s\up7(→))＝0，求四边形PMQN面积的最小值．
11．已知抛物线C的顶点在原点O，准线为x＝－eq \f(1,2)．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)点A，B在C上，且OA⊥OB，OD⊥AB，垂足为D，直线OD另交C于E，当四边形OAEB面积最小时，求直线AB的方程．