专题25 面积与数量积型取值范围模型(解析版)

这是一份专题25 面积与数量积型取值范围模型(解析版)，共18页。
[例1] 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
[规范解答] (1)∵双曲线的离心率为eq \f(2\r(3),3)，∴椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)．
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2，0)，即a＝2，c＝eq \r(3)，b＝1，
∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4m2－1,1＋4k2)，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．
又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(k2x1x2＋kmx1＋x2＋m2,x1x2)＝k2，
则－eq \f(8k2m2,1＋4k2)＋m2＝0，由m≠0得k2＝eq \f(1,4)，解得k＝±eq \f(1,2)．
又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，得0＜m2＜2，
显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．
设原点O到直线的距离为d，则
S△OMN＝eq \f(1,2)|MN|d＝eq \f(1,2)·eq \r(1＋k2)·|x1－x2|·eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(1,2)|m|eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(－m2－12＋1)．
故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0，1)．
[例2] (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1(x0)在第一象限分别交于D，C两点．
(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；
(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求eq \f(S1,S2)的取值范围．
[规范解答] (1)由题意知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋a，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，则Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋a，\r(p2＋2pa)))，
又a＝p，所以kCD＝eq \f(\r(3)p－p,\f(3p,2)－\f(p,2))＝eq \r(3)－1．
(2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px，))得ky2－2py＋2pb＝0，所以Δ＝4p2－8pkb>0，得kb0，y1y2＝eq \f(2pb,k)>0，
可知k>0，b>0，因为|CD|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝aeq \r(1＋k2)，
点O到直线CD的距离d＝eq \f(|b|,\r(1＋k2))，
所以S1＝eq \f(1,2)·aeq \r(1＋k2)·eq \f(|b|,\r(1＋k2))＝eq \f(1,2)ab．又S2＝eq \f(1,2)(y1＋y2)·|x1－x2|＝eq \f(1,2)·eq \f(2p,k)·a＝eq \f(ap,k)，
所以eq \f(S1,S2)＝eq \f(kb,2p)，因为0