专题19 距离型定值型问题(原卷版)

这是一份专题19 距离型定值型问题(原卷版)，共17页。

[例1] 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点(0，1)，且离心率为eq \f(\r(3),2)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线l：y＝eq \f(1,2)x＋m与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，求证：|BN|为定值．
[规范解答] (1)由题意知，椭圆E的焦点在x轴且b＝1，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，因为a2＝c2＋b2，解得a2＝4．
故椭圆E的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，线段AC的中点为M，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝eq \f(1,2)x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))，消去y，得x2＋2mx＋2m2－2＝0，
由Δ＝(2m2)2－4(2m2－2) >0．解得－eq \r(2)y1＋y2＝eq \f(1,2)(x1＋x2)＋2m＝m，∴M (－m，eq \f(m,2))．
∴|AC|＝eq \r(1＋k2)·eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq \r(10－5m2)．
又直线l与x轴的交点N(－2m，0)，∴|MN|＝eq \r(eq \f(5,4)m2)
∴|BN|2＝|BM|2＋|MN|2＝eq \f(1,4)|AC|2＋|MN|2＝eq \f(5,2)，故|BN|为定值．
[例2] 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)在右、上顶点分别为A、B，F是椭圆C的左焦点，P(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(3),2))是椭圆C上的点，且|OB|＝|OF|(O是坐标原点)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C相切于点M(M在第二象限)，过O作直线l的平行线与直线MF相交于点N，问：线段MN的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
[规范解答] (1)由题可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝c,\f(1,2a2)＋\f(3,4b2)＝1,a2＝b2＋c2))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝2，,b2＝1，))所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)由题F(－1，0)，设切点M(x0，y0)，则eq \f(x02,2)＋y02＝1，切线l：eq \f(x0x,2)＋y0y＝1，
而ON∥l，且ON过原点，所以ON：eq \f(x0x,2)＋y0y＝0，
而直线MF：(x0＋1)y＝y0 (x＋1)，联立ON与MF的方程可解得N(eq \f(－2y02,2＋x0)，eq \f(x0y0,2＋x0))，
则|MN|2＝(x0＋eq \f(2y02,2＋x0))2＋(y0－eq \f(x0y0,2＋x0))＝(eq \f(2＋2x0,2＋x0))2＋(eq \f(2y0,2＋x0))2＝2，
所以|MN|＝eq \r(2)，为定值．
[例3] 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为－eq \f(3,4)，且椭圆C经过点(1，eq \f(3,2))．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切．切点为T，问切线长|OT|是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．
[规范解答] (1)设P(x，y)，由题意得A(－a，0)，B(a，0)，kAP·kBP＝eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝eq \f(y2,x2－a2)，
∴eq \f(y2,x2－a2)＝－eq \f(3,4)，而eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1得，b2＝eq \f(3,4)a2 ①，
又过(1，eq \f(3,2))，∴eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4b2)＝1 ②，所以由①②得：a2＝4，b2＝3；
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1；
(2)由(1)得：A(－2，0），B(2，0），设P(m，n），eq \f(m2,4)＋eq \f(n2,3)＝1，
则直线的方程PA：y＝eq \f(n,m＋2)(x＋2)，令x＝0，则y＝eq \f(2n,m＋2)，所以M(0，eq \f(2n,m＋2))，
直线PB的方程：y＝eq \f(n,m－2)(x－2)，令x＝0，则y＝eq \f(－n,m－2)，所以N(0，eq \f(－2n,m－2))，
∵△OTN∽△OMT，∴eq \f(OT,OM)＝eq \f(ON,OT) (圆的切割线定理)，再联立eq \f(m2,4)＋eq \f(n2,3)＝1，
∴OT2＝|ON||OM|＝|eq \f(4n2,m2－4)|＝3．
[例4] (2020·新高考Ⅰ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
[规范解答] (1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(4,a2)＋\f(1,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝6，b2＝c2＝3，故椭圆C的方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．因为AM⊥AN，所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝0，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0．①
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，如图1．
代入椭圆方程消去y并整理，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2m2－6,1＋2k2)，②
根据y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，代入①整理，可得
(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0，
将②代入上式，得(k2＋1)eq \f(2m2－6,1＋2k2)＋(km－k－2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4km,1＋2k2)))＋(m－1)2＋4＝0，
整理化简得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0，
因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1，
于是直线MN的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))－eq \f(1,3)，所以直线MN过定点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(1,3)))．
当直线MN的斜率不存在时，可得N(x1，－y1)，如图2．
代入(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，得(x1－2)2＋1－yeq \\al(2,1)＝0，
结合eq \f(x\\al(2,1),6)＋eq \f(y\\al(2,1),3)＝1，解得x1＝2(舍去)或x1＝eq \f(2,3)，此时直线MN过点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(1,3)))．
因为|AE|为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE的中点Q满足|DQ|为定值eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AE长度的一半\f(1,2) \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))2)＝\f(2\r(2),3)))．
由于A(2，1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(1,3)))，故由中点坐标公式可得Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))．
故存在点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))，使得|DQ|为定值．
[例5] (2016·北京)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|·|BM|为定值．
[规范解答] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(1,2)ab＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，,c＝\r(3).))所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)证明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1)．设P(x0，y0)，则xeq \\al(2,0)＋4yeq \\al(2,0)＝4．
当x0≠0时，直线PA的方程为y＝eq \f(y0,x0－2)(x－2)．
令x＝0，得yM＝－eq \f(2y0,x0－2)，从而|BM|＝|1－yM|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2y0,x0－2)))．
直线PB的方程为y＝eq \f(y0－1,x0)x＋1．令y＝0，得xN＝－eq \f(x0,y0－1)，从而|AN|＝|2－xN|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2＋\f(x0,y0－1)))．
所以|AN|·|BM|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2＋\f(x0,y0－1)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2y0,x0－2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0)＋4y\\al(2,0)＋4x0y0－4x0－8y0＋4,x0y0－x0－2y0＋2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4x0y0－4x0－8y0＋8,x0y0－x0－2y0＋2)))＝4．
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|·|BM|＝4．综上，|AN|·|BM|为定值．
[例6] 已知椭圆C：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1．
(1)直线l过点D(1，1)与椭圆C交于P，Q两点，若eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \(DQ,\s\up6(→))，求直线l1的方程；
(2)在圆O：x2＋y2＝2上取一点M，过点M作圆O的切线l′与椭圆C交于A，B两点，求|MA|·|MB|的值．
[规范解答] (1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \(DQ,\s\up6(→))，∴(1－x1，1－y1)＝(x2－1，y2－1)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x1＝x2－1,1－y1＝y2－1))，解得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2．
∵P，Q两点在椭圆C上，∴eq \f(x12,6)＋eq \f(y12,3)＝1，eq \f(x22,6)＋eq \f(y22,3)＝1，
两式相减，得eq \f((x1－x2)(x1＋x2),6)＋eq \f((y1－y2)(y1＋y2),3)＝0，则eq \f(y1－y2, x1－x2)＝－eq \f(1,2)，
故直线l的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)．
(2)当切线l2斜率不存在时，不妨设l′的方程为x＝eq \r(2)，
由椭圆C的方程可知，A(eq \r(2)，eq \r(2))，B(eq \r(2)，－eq \r(2))，
则eq \(OA,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，eq \r(2))，eq \(OB,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，－eq \r(2))，∴eq \(OA,\s\up6(→))eq \(OB,\s\up6(→))＝0，即OA⊥OB．
当切线l′斜率存在时，可设l′的方程为y＝kx＋m，A(x3，y3)，B(x4，y4)，
∴eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \r(2)，即m2＝2(k2＋1)
联立l′和椭圆的方程，得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－6＝0，则Δ＝(4mk)2－4(2k2＋1) (2m2－6)>0，
x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2m2－6,1＋2k2)，∵eq \(OA,\s\up6(→))＝(x3，y3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(x4，y4)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x3x4＋y3y4＝x3x4＋(kx3＋m)(kx4＋m)＝(k2＋1) x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2
＝(k2＋1)eq \f(2m2－6,1＋2k2)＋mk(－eq \f(4km,1＋2k2))＋m2＝eq \f((k2＋1)(2m2－6)－4m2k2＋m2(2k2＋1),1＋2k2)
＝eq \f(3m2－6k2－6,1＋2k2)＝eq \f(3(2k2＋2)－6k2－6,1＋2k2)＝0，OA⊥OB．
综上所述，圆O上任意一点M处的切线交椭圆C于点A，B，都有OA⊥OB．
在Rt△OAB中，由△OAM与△BOM相似，得|MA|·|MB|＝|OM|2＝2．
[例7] 如图，已知椭圆C：eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A(A点在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线y＝x上．
(1)求直线AB的方程；
(2)若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP，BP分别交直线y＝x于点M、N，证明：|OM|·|ON|为定值．
[规范解答] (1)设点E(m，m)，由B(0，－2)得A(2m，2m＋2)．
代入椭圆方程得eq \f(4m2,12)＋eq \f((2m＋2)2,4)＝1，即eq \f(m2,3)＋(m＋1)2＝1，解得m＝－eq \f(3,2)或m＝0(舍)．
所以A(－3，－1)，故直线AB的方程为x＋3y＋6＝0．
(2)设P(x0，y0)，则eq \f(x02,12)＋eq \f(y02,4)＝1，即y02＝4－eq \f(x02,3)．
设M(xM，yM)，由A，P，M三点共线，即，∴eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))，∴(x0＋3)( yM＋1)＝(y0＋1)(xM＋3)，
又点M在直线y＝x上，解得M点的横坐标xM＝eq \f(3y0－x0,x0－y0＋2)，
设N(xN，yN)，由B，P，N三点共线，即eq \(BP,\s\up6(→))∥eq \(BN,\s\up6(→))，∴x0( yN＋2)＝(y0＋2)xN，
点N在直线y＝x上，，解得N点的横坐标xN＝eq \f(－2x0,x0－y0－2)．
所以OM·ON＝eq \r(2)| xM－0|·eq \r(2)|xN－0|＝2|xM ||xN|＝2|eq \f(3y0－x0,x0－y0＋2)|·|eq \f(－2x0,x0－y0－2)|
＝2|eq \f(2x02－6x0y0,(x0－y0)2－4)|＝2|eq \f(2x02－6x0y0,x02－2x0y0－eq \f(x02,3))|＝2|eq \f(x02－3x0y0,eq \f(x02,3)－x0y0)|＝6．
[例8] 如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．
(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
[规范解答] (1)证明：因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，所以eq \f(|k1x0－y0|,\r(1＋k\\al(2,1)))＝eq \r(2)，
化简得：(xeq \\al(2,0)－2)keq \\al(2,1)－2x0y0k1＋yeq \\al(2,0)－2＝0，同理：(xeq \\al(2,0)－2)keq \\al(2,2)－2x0y0k2＋yeq \\al(2,0)－2＝0，
所以k1，k2是关于k的方程(xeq \\al(2,0)－2)k2－2x0y0k＋yeq \\al(2,0)－2＝0的两个不相等的实数根，所以k1·k2＝eq \f(y\\al(2,0)－2,x\\al(2,0)－2)．
因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以eq \f(x\\al(2,0),6)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，即yeq \\al(2,0)＝3－eq \f(1,2)xeq \\al(2,0)，所以k1k2＝eq \f(1－\f(1,2)x\\al(2,0),x\\al(2,0)－2)＝－eq \f(1,2)为定值．
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9．理由如下：
①当M点坐标为(eq \r(2)，eq \r(2))时，直线OP，OQ落在坐标轴上，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9．
②当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为k1k2＝－eq \f(1,2)，所以yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)，
因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),6)＋\f(y\\al(2,1),3)＝1，,\f(x\\al(2,2),6)＋\f(y\\al(2,2),3)＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝3－\f(1,2)x\\al(2,1)，,y\\al(2,2)＝3－\f(1,2)x\\al(2,2)，))
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,2)x\\al(2,1)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,2)x\\al(2,2)))＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)，整理得xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝6，
所以yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,2)x\\al(2,1)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,2)x\\al(2,2)))＝3，所以|OP|2＋|OQ|2＝9．
[例9] 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过(1，1)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(\r(3),2)))两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|．求证eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(2,|OM|2)为定值．
[规范解答] (1)将(1，1)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(\r(3),2)))两点代入椭圆C的方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)＝1，,\f(3,2a2)＋\f(3,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝3，,b2＝\f(3,2).))
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(2y2,3)＝1．
(2)证明：由|MA|＝|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称．
①若点A，B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，
此时eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(2,|OM|2)＝eq \f(1,b2)＋eq \f(1,b2)＋eq \f(2,a2)＝2．
同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，
此时eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(2,|OM|2)＝eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(2,b2)＝2．
②若点A，B，M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，
则直线OM的方程为y＝－eq \f(1,k)x，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，,\f(x2,3)＋\f(2y2,3)＝1，))消去y得，x2＋2k2x2－3＝0，解得xeq \\al(2,1)＝eq \f(3,1＋2k2)，yeq \\al(2,1)＝eq \f(3k2,1＋2k2)，
∴|OA|2＝|OB|2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝eq \f(3(1＋k2),1＋2k2)，同理|OM|2＝eq \f(3(1＋k2),2＋k2)，
∴eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(2,|OM|2)＝2×eq \f(1＋2k2,3(1＋k2))＋eq \f(2(2＋k2),3(1＋k2))＝2．故eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＋eq \f(2,|OM|2)＝2为定值．
[例10] 如图，已知椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为圆C2.
(1)求圆C2的标准方程；
(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点．
(ⅰ)求证：OP⊥OM；
(ⅱ)试探究eq \f(1,|OP|2)＋eq \f(1,|OM|2)是否为定值．
[规范解答] (1)因为A2，B1分别为椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1的右顶点和上顶点，
则A2，B1的坐标分别为(2,0)，(0,1)，可得直线A2B1的方程为x＋2y＝2.
则原点O到直线A2B1的距离为d＝eq \f(2,\r(1＋22))＝eq \f(2,\r(5))，则圆C2的半径r＝d＝eq \f(2,\r(5))，
故圆C2的标准方程为x2＋y2＝eq \f(4,5).
(2)(ⅰ)证明 可设切线l：y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，
将直线l的方程代入椭圆C1可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋k2))x2＋2kbx＋b2－1＝0，由根与系数的关系得，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(2kb,\f(1,4)＋k2)，,x1x2＝\f(b2－1,\f(1,4)＋k2)，))则y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝eq \f(－k2＋\f(1,4)b2,\f(1,4)＋k2)，
又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离d＝eq \f(|b|,\r(k2＋12))＝eq \f(2,\r(5))，整理得k2＝eq \f(5,4)b2－1，
则y1y2＝eq \f(1－b2,\f(1,4)＋k2)，所以eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝0，故OP⊥OM.
(ⅱ)由(ⅰ)知OP⊥OM，
①当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时eq \f(1,|OP|2)＋eq \f(1,|OM|2)＝eq \f(5,4)；
②当直线OP的斜率存在时，设直线OP的方程为y＝k1x，
代入椭圆方程可得eq \f(x2,4)＋keq \\al(2,1)x2＝1，则x2＝eq \f(4,1＋4k\\al(2,1))，
故|OP|2＝x2＋y2＝(1＋keq \\al(2,1))x2＝eq \f(4(1＋k\\al(2,1)),1＋4k\\al(2,1))，同理|OM|2＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k1)))2)),1＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k1)))2)＝eq \f(4(k\\al(2,1)＋1),k\\al(2,1)＋4)，
则eq \f(1,|OP|2)＋eq \f(1,|OM|2)＝eq \f(1＋4k\\al(2,1),4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋k\\al(2,1))))＋eq \f(k\\al(2,1)＋4,4(1＋k\\al(2,1)))＝eq \f(5,4)．综上可知，eq \f(1,|OP|2)＋eq \f(1,|OM|2)＝eq \f(5,4)为定值．
[例11] 如图，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)经过点(1，eq \f(3,2))，且离心率为eq \f(1,2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过椭圆C的左焦点F1交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交长轴于点D．试探索eq \f(|DF1|,|AB|)是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
[规范解答] (1)椭圆C的离心率为eq \f(1,2)，则eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a2＝4c2，b2＝a2－c2＝3c2．
又因为椭圆C：eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，所以eq \f(1,4c2)＋eq \f(3,4c2)＝1，解得c＝1，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)①证明：当直线l与x轴重合时，点D与点O重合，A，B为长轴顶点，则eq \f(|DF1|,|AB|)＝eq \f(1,4)．
②当直线l与x轴不重合时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x＝my－1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝eq \f(6m,3m2＋4)，y1y2＝－eq \f(9,3m2＋4)，Δ＝122(m2＋1)＞0，
所以|AB|＝eq \f(\r(m2＋1),3m2＋4)·eq \r(Δ)＝eq \f(12m2＋1,3m2＋4)．
设AB的中点为C(x3，y3)，则y3＝eq \f(1,2)(y1＋y2)＝eq \f(1,2)×eq \f(6m,3m2＋4)＝eq \f(3m,3m2＋4)，
x3＝eq \f(1,2)(x1＋x2)＝eq \f(1,2)[m(y1＋y2)－2]＝－eq \f(4,3m2＋4)，
所以直线CD：y－eq \f(3m,3m2＋4)＝－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,3m2＋4)))，令y＝0，得xD＝－eq \f(1,3m2＋4)，
则|DF1|＝－eq \f(1,3m2＋4)－(－1)＝eq \f(3m2＋1,3m2＋4)，所以eq \f(|DF1|,|AB|)＝eq \f(3m2＋1,3m2＋4)÷eq \f(12m2＋1,3m2＋4)＝eq \f(1,4)为定值．
[例12] 已知A，F分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，|AF|＝2|PF|．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆C上存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)，求直线AP与OQ的斜率之积；
(3)记圆O：x2＋y2＝eq \f(ab,a2＋b2)为椭圆C的“关联圆”．若b＝eq \r(3)，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证：eq \f(3,m2)＋eq \f(4,n2)为定值．

[规范解答] (1)由PF⊥x轴，知xP＝c，代入椭圆C的方程，得eq \f(c2,a2)＋eq \f(y\\al(2,P),b2)＝1，解得yP＝±eq \f(b2,a)．
又|AF|＝2|PF|，所以a＋c＝eq \f(2b2,a)，所以a2＋ac＝2b2，即a2－2c2－ac＝0，
所以2e2＋e－1＝0，由0(2)因为四边形AOPQ是平行四边形，所以PQ＝a且PQ∥x轴，
所以xP＝eq \f(a,2)，代入椭圆C的方程，解得yP＝±eq \f(\r(3),2)b，
因为点P在第一象限，所以yP＝eq \f(\r(3),2)b，同理可得xQ＝－eq \f(a,2)，yQ＝eq \f(\r(3),2)b，
所以kAPkOQ＝eq \f(\f(\r(3)b,2),\f(a,2)－－a)·eq \f(\f(\r(3)b,2),－\f(a,2))＝－eq \f(b2,a2)，由(1)知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以kAPkOQ＝－eq \f(3,4)．
(3)由(1)知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，又b＝eq \r(3)，解得a＝2，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，
圆O的方程为x2＋y2＝eq \f(2\r(3),7)，①
连接OM，ON(图略)，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，
所以四边形OMPN的外接圆是以OP为直径的圆，
设P(x0，y0)，则四边形OMPN的外接圆方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x0,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(y0,2)))2＝eq \f(1,4)(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))，
即x2－xx0＋y2－yy0＝0，②
①－②，得直线MN的方程为xx0＋yy0＝eq \f(2\r(3),7)，令y＝0，则m＝eq \f(2\r(3),7x0)，令x＝0，则n＝eq \f(2\r(3),7y0)．
所以eq \f(3,m2)＋eq \f(4,n2)＝49eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),4)＋\f(y\\al(2,0),3)))，因为点P在椭圆C上，所以eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，所以eq \f(3,m2)＋eq \f(4,n2)＝49(为定值)．
【对点训练】
1．在平面直角坐标系xOy中，过点M(4，0)且斜率为k的直线交椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)当k≠0时，若点A关于x轴为对称点为P，直线BP交x轴于点N，求证：|ON|为定值．
2．已知点F1为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，P(－1，eq \f(\r(2),2))在椭圆上，PF1⊥x轴．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋m与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足，问是否存在定点Q，使得|DQ|为定值，若存在，求出Q点，若不存在，请说明理由．
4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，离心率e＝eq \f(\r(2),2)，点G(eq \r(2)，1)在椭圆上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P是椭圆C上一点，左顶点为A，上顶点为B，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|·|BM|为定值．
5．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且过点(0，1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点A、B为椭圆C的左右顶点，直线l：x＝2eq \r(2)与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交直线l于E、Ｆ两点，当点P在椭圆C上运动时，|DE|·|DF|是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
6．点P(1，1)为抛物线y2＝x上一定点，斜率为－eq \f(1,2)的直线与抛物线交于A，B两点．
(1)求弦AB中点M的纵坐标；
(2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点)，过Q作PA的平行线交抛物线于E，F两点，求证：|QE|·|QF|－|QP|·|QB|为定值．
7．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(3,5)，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为eq \f(32,5)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(m，0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为eq \f(4,5)的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2＋|PB|2为定值．
8．设O为坐标原点，动点M在椭圆eq \f (x2,9)＋eq \f (y2,4)＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq \(NP,\s\up7(→))＝eq \r(2)eq \(NM,\s\up7(→))．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)过F(1，0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1，0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：eq \f (1,|AB|)＋eq \f (1,|CD|)为定值．
9．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2eq \r(3)，斜率为eq \f(1,2)的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中
点为D，且直线OD的斜率为－eq \f(1,2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过左焦点F斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，P为椭圆上一点，且满足OP⊥MN，问：eq \f(1,|MN|)＋eq \f(1,|OP|2)是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
10．在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1，0)的距离和它到定直线x＝4的距离之比是1∶2，设动点P
的轨迹为E．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若CD∥AB，求证：eq \f(|CD|2,|AB|)为定值．