专题11 代数法解决的最值模型(原卷版)

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[例2] (7)设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左右焦点，P是椭圆E上的点，则|PF1|·|PF2|的最小值是________．
答案 16 解析 由椭圆方程可知a＝5，c＝3，根据椭圆的定义，有|PF2|＝2a－|PF1|＝10－|PF1|，故|PF1|·|PF2|＝|PF1|·(10－|PF1|)，由于|PF1|∈[a－c，a＋c]＝[2，8]注意到二次函数y＝x(10－x)的对称轴为x＝5，故当x＝2，x＝8时，都是函数的最小值，即最小值为2×8＝16．
(8)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up8(→))·eq \(PA,\s\up8(→))的最大值为________．
答案 4 解析 设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3．故椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．所以－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3)．因为F(－1，0)，A(2，0)，eq \(PF,\s\up8(→))＝(－1－x0，－y0)，eq \(PA,\s\up8(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq \(PF,\s\up8(→))·eq \(PA,\s\up8(→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2．即当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up8(→))·eq \(PA,\s\up8(→))取得最大值4．
(9)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0，1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0，1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为( )
A．eq \r(3) B．eq \r(5) C．2 D．eq \r(2)
答案 B 解析 由平面几何知识可得|BD|＝|AC|＝eq \r(1＋4x)，所以e1＝eq \f(2,\r(1＋4x)－1)，e2＝eq \f(2x,\r(1＋4x)＋1)，所以e1e2＝1．因为e1＋e2＝e1＋eq \f(1,e1)＝eq \f(2,\r(1＋4x)－1)＋eq \f(\r(1＋4x)－1,2)在x∈(0，1)上单调递减，所以e1＋e2＞eq \f(2,\r(1＋4)－1)＋eq \f(\r(1＋4)－1,2)＝eq \r(5)．因为对任意x∈(0，1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，所以t≤eq \r(5)，即t的最大值为eq \r(5)．
(10)已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是( )
A．1 B．eq \f(4,3) C．eq \f(5,3) D．2
答案 B 解析 ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝2|PF2|，,|PF1|－|PF2|＝2a，))∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，设∠F1PF2＝θ，∴csθ＝eq \f(16a2＋4a2－4,2×4a×2a)＝eq \f(5a2－1,4a2)，∴S2△PF1F2＝(eq \f(1,2)×4a×2a×sinθ)2＝16a4(1－eq \f(25a4－10a2＋1,16a4))＝eq \f(16,9)－9(a2－eq \f(5,9))2≤eq \f(16,9)，当且仅当a2＝eq \f(5,9)时，等号成立，故S△PF1F2的最大值是eq \f(4,3)．故选B．
(11)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则eq \f(b,a＋1)的最大值为________．
答案 eq \f(4,3) 解析 由题意，得△ABF2的周长为32，∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，∵|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝eq \f(2b2,a)，∴eq \f(4b2,a)＝32－4a，∴b＝eq \r(8a－a2)(0(12)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(2,3) C．eq \f(\r(2),2) D．1
答案 C 解析 如图所示，设P(x0，y0)(y0＞0)，则yeq \\al(2,0)＝2px0，即x0＝eq \f(y\\al(2,0),2p)．设M(x′，y′)，由eq \(PM,\s\up7(―→))＝2eq \(MF,\s\up7(―→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′－x0＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－x′))，,y′－y0＝20－y′，))化简可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(p＋x0,3)，,y′＝\f(y0,3).))∴直线OM的斜率为k＝eq \f(\f(y0,3),\f(p＋x0,3))＝eq \f(y0,p＋\f(y\\al(2,0),2p))＝eq \f(2p,\f(2p2,y0)＋y0)≤eq \f(2p,2\r(2p2))＝eq \f(\r(2),2)(当且仅当y0＝eq \r(2)p时取等号)，故直线OM的斜率的最大值为eq \f(\r(2),2)．
(13)抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝eq \f(2\r(3),3)|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(3π,4) C．eq \f(5π,6) D．eq \f(2π,3)
答案 D 解析 由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，又x1＋x2＋4＝eq \f(2\r(3),3)|AB|，得|AF|＋|BF|＝eq \f(2\r(3),3)，|AB|，所以|AB|＝eq \f(\r(3),2)(|AF|＋|BF|)．所以cs∠AFB＝eq \f(|AF|2＋|BF|2－|AB|2,2|AF|·|BF|)＝eq \f(|AF|2＋|BF|2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)|AF|＋|BF|))2,2|AF|·|BF|)＝eq \f(\f(1,4)|AF|2＋\f(1,4)|BF|2－\f(3,2)|AF|·|BF|,2|AF|·|BF|)＝eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AF|,|BF|)＋\f(|BF|,|AF|)))－eq \f(3,4)≥eq \f(1,8)×2eq \r(\f(|AF|,|BF|)·\f(|BF|,|AF|))－eq \f(3,4)＝－eq \f(1,2)，而0＜∠AFB＜π，所以∠AFB的最大值为eq \f(2π,3)．
(14)(2017·全国Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
答案 A 解析 因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1，0)．由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－eq \f(1,k)，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－eq \f(1,k)(x－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k2＋4,k2)))eq \s\up12(2)－4)＝eq \f(41＋k2,k2)．同理可得|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝eq \f(41＋k2,k2)＋4(1＋k2)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)＋1＋1＋k2))＝8＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋\f(1,k2)))≥8＋4×2＝16，当且仅当k2＝eq \f(1,k2)，即k＝±1时，取得等号．故选A．
(15)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为( )
A．eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．4
答案 B 解析 设P(x0，－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在抛物线上，所以y1＝eq \f(x\\al(2,1),4)，y2＝eq \f(x\\al(2,2),4)．因为y′＝eq \f(x,2)，则过点A，B的切线分别为y－eq \f(x\\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x－x1)，y－eq \f(x\\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x－x2)均过点P(x0，－1)，则－1－eq \f(x\\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x0－x1)，－1－eq \f(x\\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x0－x2)，即x1，x2是方程－1－eq \f(x2,4)＝eq \f(x,2)(x0－x)的两根，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4，设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋b，))得x2－4kx－4b＝0，则x1x2＝－4b＝－4，即b＝1，|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4x\\al(2,0)＋16)，O到直线AB的距离d＝eq \f(b,\r(k2＋1))，则S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|d＝eq \r(x\\al(2,0)＋4)≥2，即△AOB的面积的最小值为2，故选B．
(16)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上，且位于x轴的两侧，eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝2(其中O为坐标原点)，则△AFO与△BFO面积之和的最小值是________．
答案 eq \f(\r(2),4) 解析 法一：设直线lAB：x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝x，,x＝my＋t))⇒y2－my－t＝0，∴y1＋y2＝m，y1y2＝－t，∵点A，B位于x轴两侧，∴y1y2＝－t<0，∴t>0．又eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝t2－t＝2，解得t＝2或t＝－1(舍去)．∴S△AFO＋S△BFO＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq \f(1,8)|y1－y2|＝eq \f(\r(m2＋8),8)≥eq \f(\r(2),4)，∴△AFO与△BFO面积之和的最小值为eq \f(\r(2),4)．
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，∴y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．∴S△AFO＋S△BFO＝eq \f(1,8)|y1－y2|＝eq \f(1,8)eq \r(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2)－2y1y2)＝eq \f(1,8) eq \r(|y1|2＋|y2|2＋4)≥eq \f(1,8)eq \r(2|y1y2|＋4)＝eq \f(\r(2),4)．
【对点训练】
21．已知F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则eq \(EF1,\s\up6(→))·eq \(EF2,\s\up6(→))的最大值、
最小值分别为( )
A．9，7 B．8，7 C．9，8 D．17，8
22．(2018·浙江)已知点P(0，1)，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则当m＝________时，
点B横坐标的绝对值最大．
23．已知点F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|eq \(MF1,\s\up7(―→))＋eq \(MF2,\s\up7(―→))|
的最小值是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
24．已知点A在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上，点P满足eq \(AP,\s\up7(―→))＝(λ－1)eq \(OA,\s\up7(―→)) (λ∈R)(O是坐标原点)，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OP,\s\up7(―→))＝72，
则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．
25．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，
则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________．
26．已知直线l：y＝2x＋b被抛物线C：y2＝2px(p>0)截得的弦长为5，直线l经过C的焦点，M为C上的
一个动点，设点N的坐标为(3，0)，则MN的最小值为________．
27．如图，抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|＝|AC|，
过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为点E，G，则|EG|的最小值为________．
28．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴垂线，垂足
分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
29．已知抛物线C：y2＝8ax(a>0)的焦点F与双曲线D：eq \f(x2,a＋2)－eq \f(y2,a)＝1(a>0)的焦点重合，过点F的直线与抛
物线C交于A，B两点，则|AF|＋2|BF|的最小值为( )
A．3＋4eq \r(2) B．6＋4eq \r(2) C．7 D．10
30．已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，
直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．
31．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，
过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为( )
A．23 B．42 C．12 D．52
32．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|＋|BF|＝eq \f(2\r(3),3)|AB|，则∠AFB的最大
值为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(3π,4) C．eq \f(5π,6) D．eq \f(2π,3)
33．已知抛物线C：y＝ax2的焦点坐标为(0，1)，点P(0，3)，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，
过点A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则△QAB面积的最小值为( )
A．6eq \r(2) B．6eq \r(3) C．12eq \r(3) D．12eq \r(2)