专题14 双曲线标准方程(轨迹)的模型(原卷版)

这是一份专题14 双曲线标准方程(轨迹)的模型(原卷版)，共8页。试卷主要包含了双曲线标准方程的模型，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

【例题选讲】
[例3] (11)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 C．eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
答案 B 解析 由y＝eq \f(\r(5),2)x可得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2)，①．由椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a2＋b2＝9，②．由①②可得a2＝4，b2＝5．所以C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1．故选B．
(12)(2016·天津)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq \r(5)，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(3x2,20)－eq \f(3y2,5)＝1 D．eq \f(3x2,5)－eq \f(3y2,20)＝1
答案 A 解析 依题意得eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，①，又a2＋b2＝c2＝5，②，联立①②得a＝2，b＝1．∴所求双曲线的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1．
(13) (2018·天津)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
答案 C 解析 因为双曲线的离心率为2，所以eq \f(c,a)＝2，c＝2a，b＝eq \r(3)a，不妨令A(2a,3a)，B(2a，－3a)，双曲线其中一条渐近线方程为y＝eq \r(3)x，所以d1＝eq \f(|2\r(3)a－3a|,\r(\r(3)2＋－12))＝eq \f(2\r(3)a－3a,2)，d2＝eq \f(|2\r(3)a＋3a|,\r(\r(3)2＋－12))＝eq \f(2\r(3)a＋3a,2)；依题意得：eq \f(2\r(3)a－3a,2)＋eq \f(2\r(3)a＋3a,2)＝6，解得：a＝eq \r(3)，b＝3，所以双曲线方程为：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1．
(14)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
答案 D 解析 根据题意画出草图如图所示eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(不妨设点A\(\s\up7( ),\s\d5( ))))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(在渐近线y＝\f(b,a)x上)).
由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2．又点A在双曲线的渐近线y＝eq \f(b,a)x上，∴eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)．又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝eq \r(3)，∴双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，故选D
(15)已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(3y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(4y2,3)＝1 C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
答案 D 解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,2)x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝eq \f(b,2)x，x2＋y2＝4得xA＝eq \f(4,\r(4＋b2))，yA＝eq \f(2b,\r(4＋b2))，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝eq \f(32b,4＋b2)＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，选D．
(16)已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为，则的方程式为( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 设双曲线方程为，，由得，，，，，所以．
【对点训练】
20．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4eq \r(5)，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)－eq \f(y2,16)＝1
21．(2017·天津)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为eq \r(2)．若经过F和P(0，4)两点的
直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
22．已知双曲线M：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)与抛物线y＝eq \f(1,8)x2有公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为eq \r(3)，
则双曲线方程为( )
A．y2－eq \f(x2,3)＝1 B．eq \f(x2,3)－y2＝1 C．eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(y2,3)－eq \f(x2,7)＝1
23．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线
的一个交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4))，则双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 B．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
24．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线l的倾斜角为eq \f(π,3)，且C的一个焦点到l的距离为eq \r(3)，则双曲线
C的方程为( )
A．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 C．eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
25．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等
边三角形，则双曲线C的标准方程是( )
A．eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1 B．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1 C．x2－eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,\f(2,3))－eq \f(y2,\f(3,2))＝1
26．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C
的右支交于点A，若eq \(BA,\s\up8(→))＝2eq \(AF,\s\up8(→))，且|eq \(BF,\s\up8(→))|＝4，则双曲线C的方程为( )
A．eq \f(x2,6)－eq \f(y2,5)＝1 B．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,12)＝1 C．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1
27．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \f(3,2)，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M．若△FOM
的面积为eq \r(5)，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为( )
A．x2－eq \f(4y2,5)＝1 B．eq \f(x2,2)－eq \f(2y2,5)＝1 C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1
28．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(eq \r(7)，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－eq \f(2,3)，则此双曲线的方程是( )．
A．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1 C．eq \f(x2,5)－eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,5)＝1
29．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)的离心率为eq \r(3)，左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2
的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|＝2，则双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,2)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,2)＝1 C．x2－eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,3)－y2＝1
4．动点的轨迹方程
【方法总结】
求动点轨迹方程的六大方法
1．待定系数法；2．直译法；3．定义法；4．代入法；5．参数法；6．交轨法.
【例题选讲】
[例4] (17)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
答案 D 解析 如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA|＝1，∴|PM|＝eq \r(|MA|2＋|PA|2)＝eq \r(2)，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2．
(18)设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))，则点M的轨迹方程为( )
A．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1 C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
答案 A 解析 设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))，得(x，y)＝eq \f(3,5)(x0，0)＋eq \f(2,5)(0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,5)x0，,y＝\f(2,5)y0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(5,3)x，,y0＝\f(5,2)y，))由|AB|＝5，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)x))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)y))eq \s\up12(2)＝25，化简得eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1．
(19)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B．eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1 C．eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
答案 D 解析 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(3)，故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1．
(20)在△ABC中，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|eq \(BD,\s\up6(→))|－|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，则顶点A的轨迹方程为________．
答案 eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1(x＞eq \r(2)) 解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|．∴|AB|－|AC|＝2eq \r(2)＜|BC|＝4，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝eq \r(2)，c＝2，∴b＝eq \r(2)，∴轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1(x＞eq \r(2))．
(21)若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9 C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y
答案 B 解析 ∵M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1．A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的右顶点为(5，0)，故椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与M的轨迹有交点，满足题意；D项，方程代入eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，可得y－eq \f(y2,9)＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．
【对点训练】
30．在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点且满足eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，|eq \(MA,\s\up6(→))|＝|eq \(MB,\s\up6(→))|
＝|eq \(MC,\s\up6(→))|，eq \(GM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，则顶点C的轨迹为( )
A．焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外) B．焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C．焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外) D．焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
31．如图，P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))
＋eq \(PF2,\s\up6(→))，则动点Q的轨迹方程是________．
32．已知F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G
的轨迹方程为( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1(y≠0) B．eq \f(4x2,9)＋y2＝1(y≠0) C．eq \f(9x2,4)＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋eq \f(4,3)y2＝1(y≠0)
33．已知点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是( )
A．y2＝2x B．y2＝8x2 C．y＝4x2－eq \f(1,2) D．y＝4x2＋eq \f(1,2)
34．△ABC的两个顶点为A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则C点轨迹方程为( )
A．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) B．eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0) C．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0) D．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0)
35．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线
与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A．eq \f(4x2,21)－eq \f(4y2,25)＝1 B．eq \f(4x2,21)＋eq \f(4y2,25)＝1 C．eq \f(4x2,25)－eq \f(4y2,21)＝1 D．eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1
36．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M
的轨迹方程为________．