吉林省长春北师大附属学校2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题

这是一份吉林省长春北师大附属学校2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大长春附属学校2021—2022学年度上学期
高三年级期中考试 数学（文）试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
命题人： 审题人：高三数学备课组 2021年11月15日
第I卷 选择题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数，其中为虚数单位，则所对应的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设x，y满足约束条件则的最大值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知向量，且，则实数 （ ）
A． B． C．3 D．
5．以椭圆的焦点为顶点，长轴端点为焦点的双曲线方程是 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的绿豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为 （ ）
A．16.32 B．15.32
C．8.68 D．7.68
7．设函数，则下列结论错误的是 （ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增
8．空间中，设m、n是两条直线，α、β表示两个平面，如果m⊂α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β ”的 （　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．公比为2的等比数列中，，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
10． 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且在[0，1]上是减函数，则有（ ）
A． B．
C． D．
11．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
12．关于函数，有如下列结论：①函数有极小值也有最小值；②函数有且只有两个不同的零点；③当时，恰有三个实根；④若时，，则的最小值为2．其中正确结论的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4



第II卷 非选择题
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，且，则．
14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为__________．
15．将正整数排成如图所示的三角形数阵，则数阵中第行的第85个数是___________．








16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面⊥平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为___________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）点为曲线上一动点，求点到直线l的最大距离．




18．（本小题12分）设函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝，△ABC的面积为S＝6，a＝2，求b，c的值．











19．（本小题12分）已知等比数列的前项和为，若，，且．
（1）求数列的通项公式以及前项和；
（2）设，记数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．








20．（本小题12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：
数学成绩x
145
130
120
105
100
物理成绩y
110
90
102
78
70
（1）数据表明y与x之间有较强的线性关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，请把下面的列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？

物理优秀
物理不优秀
合计
数学优秀



数学不优秀



合计


60

参考数据：，，
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P（>)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828







21．（本小题12分）已知点A(0，－2)，椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，且直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．









22．（本小题12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

北师大长春附属学校2021—2022学年度上学期
高三年级期中考试 数学（文）答案
考试时间：120分钟 满分：150分
命题人： 审题人：高三数学备课组 2021年11月15日
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则 （ C ）
A． B． C． D．
2．若复数，其中为虚数单位，则所对应的点在 （ A ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设x，y满足约束条件则的最大值为 （ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知向量，且，则实数 （ C ）
A． B． C．3 D．
5．以椭圆的焦点为顶点，长轴端点为焦点的双曲线方程是 （ B ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的绿豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为 （ A ）

A．16.32 B．15.32
C．8.68 D．7.68

7．设函数，则下列结论错误的是 （ D ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增
8．空间中，设m、n是两条直线，α、β表示两个平面，如果m⊂α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β”的 （　B　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．公比为2的等比数列中，，则的值是 （ D ）
A． B． C． D．
10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且在[0，1]上是减函数，则有
（ C ）
A． B．
C． D．
11．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 （ A ）
A． B． C． D．
12．关于函数，有如下列结论：①函数有极小值也有最小值；②函数有且只有两个不同的零点；③当时，恰有三个实根；④若时，，则的最小值为2．其中正确结论的个数是 （ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4


二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，且，则．
14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为 5 ．
15．将正整数排成如图所示的三角形数阵，则数阵中第行的第85个数是 2021 ．








16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面⊥平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
18．（本小题12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）点为曲线上一动点，求点到直线l的最大距离．
解：（1）直线的普通方程为
曲线的直角坐标方程为．
（2）曲线C为圆，圆心直线的距离为
所以点到直线l的最大距离为．
18．（本小题12分）设函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝，△ABC的面积为S＝6，a＝2，求b，c的值．
解：（1）f（x）＝sin x＋cos x＋1－cos x＝sin x－cos x＋1＝．
∴ 函数f（x）的最小正周期为．
（2）由f（A）＝，得sin＝．
又∵ A∈（0，π），∴ A＝.
∵ S＝bcsin A＝6，∴bcsin ＝6，bc＝24，
由余弦定理，得a2＝（2）2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－24.
∴ b2＋c2＝52，解得b＝4，c＝6或b＝6，c＝4．
19．（本小题12分）已知等比数列的前项和为，若，，且．
（1）求数列的通项公式以及前项和；
（2）设，记数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）设等比数列的公比为，
由，且．得，
又，得，即，解得或（舍）．
所以，．

（2）．
所以，
显然．所以，．
20．（本小题12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：
数学成绩x
145
130
120
105
100
物理成绩y
110
90
102
78
70
（1）数据表明y与x之间有较强的线性关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，请把下面的列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？

物理优秀
物理不优秀
合计
数学优秀



数学不优秀



合计


60

参考数据：，，
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P（>）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解：（1）由题意可得，


所以
故关于的线性回归方程是．
（2）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36，抽出的5人中，数学优秀但是物理不优秀的共有1人，故全班数学优秀但是物理不优秀的共有6人，于是得到列联表为：

物理优秀
物理不优秀
合计
数学优秀
24
6
30
数学不优秀
12
18
30
合计
36
24
36
于是的观测值为
因此，可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关。

21．（本小题12分）已知点A（0，－2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，且直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．
解：（1）设,因为直线AF的斜率为
所以，又
解得，所以椭圆的方程为
（2）解：设直线l的方程为：
联立，消去y得
因为
所以
解法一：

所以
解法二：

点O到直线l的距离,所以

令
则
此时满足条件
所以的面积最大时，直线l的方程为．

22．（本小题12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
则，，，
所以曲线在点，处的切线方程为，即．
（2）由题意知，存在，，使得不等式成立，
即存在，，使得成立，
令，，，
则，，，
① 当时，，所以函数在上单调递增，
所以成立，解得，所以符合题意．
② 当时，令，解得；令，解得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，所以（2），解得，与矛盾，舍去．
③ 当时，，所以函数在上单调递减，所以，不符合题意，舍去．
综上所述，a的取值范围为