2020年江苏省南通市海安县中考一模数学试卷（含答案）

这是一份2020年江苏省南通市海安县中考一模数学试卷（含答案），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．B．﹣3C．3D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3
C．a（a+1）＝a2+1D．a5÷a2＝a3（a≠0）
3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，M是正五边形ABCDE的边CD延长线上一点．连接AD，则∠ADM的度数是（ ）
A．108°B．120°C．144°D．150°
5．（3分）已知OC是∠AOB内的一条射线，下列所给的条件中，不能判断OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC+∠BOC＝∠AOBB．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOCD．∠AOC＝∠BOC
6．（3分）如图，⊙O的半径为5，若OP＝3，则经过点P的弦长可能是（ ）
A．3B．6C．9D．12
7．（3分）小幸学习了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行以下练习：首先画出数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3．以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．3和3.5之间B．3.5和4之间C．4和4.5之间D．4.5和5之间
8．（3分）某班有50人，一次体能测试后，符老师对测试成绩进行了统计．因小芝没有参加本次集体测试，因此计算其他49人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小芝进行了补测，成绩为90分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变
9．（3分）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A地的距离ykm与甲车行驶时间xh的函数图象．小成同学根据图文信息，解读出以下结论：
①乙车速度是80km/h；
②m的值为1；
③a的值为40；
④乙车比甲车早h到达B地．
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠CBF＝．设BE＝x，△BEF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大医共8小题，第1-131小题每小题3分，第14-18小题每小题3分，共29分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：4x2﹣y2＝ ．
13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转46°后得到△COD．若∠AOB＝16°，则∠AOD＝ 度．
14．（4分）在反比例函数y＝图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
15．（4分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，小智绘制了如图所示的折线图，该事件最有可能是 （填写一个你认为正确的序号）．
①掷一枚硬币，正面朝上；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是5；
③暗箱中有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无差别，从中任取一球是黑球．
16．（4分）若75°的圆心角所对的弧长是πcm，则此弧所在圆的直径是 cm．
17．（4分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有 种．
18．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）向右平移2个单位长度所得图象的顶点坐标为（s，t），当m≥5时，代数式2t﹣s的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共91分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（11分）（1）计算：（﹣1）0﹣2sin30°+（）﹣1﹣（﹣1）2020；
（2）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝．
20．（9分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号的和等于4的概率．
21．（10分）某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）：
b．初二年级学生知识竞赛成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：
80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89
c．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；
（2）写出表中m的值；
（3）A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断A同学是 （填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是 ．
（4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为 ．
22．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于点D，且EF∥AB，连接CD，BD．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若∠ABC＝30°，BD＝2，求CD的长．
23．（12分）2020年以来，受疫情影响，一些传统商家向线上转型发展，某商家通过“直播带货”一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2000元的利润，又要保证销售量尽可能大，应将销售单价定为多少元？
（3）若每天至少销售60件，且销售单价不低于30元时，求W的最大值．
24．（12分）定义：若实数x，y，x'，y'满足x＝kx'+2，y＝ky'+2（k为常数，k≠0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）为点（x'，y'）的“k值关联点”．例如，点（3，0）是点（1，﹣2）的“1值关联点”．
（1）在A（2，3），B（1，3）两点中，点 是P（1，﹣1）的“k值关联点”；
（2）若点C （8，5）是双曲线y＝（t≠0）上点D的“3值关联点”，求t的值和点D的坐标；
（3）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，求点F到原点O的距离的最小值．
25．（13分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，点F在边CD上，连接AE，EF．
（1）当CF＝a时，求证：∠AEF＝90°；
（2）若CF＝2DF，连接AF．求∠EAF的度数；
（3）当∠AEF＝∠DAE时，求△CEF的面积（用含a的式子表示）．
26．（13分）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点．直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于E点，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH交x轴于G点．
（1）若a＝1，k＝2，求DH的长；
（2）当a＝时，求cs∠AHE的值；
（3）连接BC，求证：四边形BCGH是平行四边形．
2020年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字每代号填涂在等题卡相应位置上）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．B．﹣3C．3D．﹣
【答案】C
【分析】根据绝对值的定义：数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．则﹣3的绝对值就是表示﹣3的点与原点的距离．
【解答】解：|﹣3|＝3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3
C．a（a+1）＝a2+1D．a5÷a2＝a3（a≠0）
【答案】D
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，单项式与多项式相乘，同底数幂相除，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为（a2）3＝a6，故本选项错误；
B、3a2与a不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为a（a+2）＝a2+a，故本选项错误；
D、a5÷a2＝a5﹣2＝a3，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查幂的乘方，合并同类项，单项式与多项式相乘，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形，使用排除法来解答．
【解答】解：如图，俯视图为三角形，故可排除A、B．主视图以及左视图都是矩形，可排除C，
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除法解答．
4．（3分）如图，M是正五边形ABCDE的边CD延长线上一点．连接AD，则∠ADM的度数是（ ）
A．108°B．120°C．144°D．150°
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式求出正五边形的五个角的度数之和，进而求出每个内角的度数，即可得出∠ADE的度数，再根据正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数，然后根据角的和差关系计算即可．
【解答】解：正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝540÷5＝108°，
∴∠ADE＝＝36°，
∴∠ADM＝∠ADE+∠EDM＝36°+72°＝108°．
故选：A．
【点评】考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度，相邻的内角与外角和等于180度的知识点．
5．（3分）已知OC是∠AOB内的一条射线，下列所给的条件中，不能判断OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC+∠BOC＝∠AOBB．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOCD．∠AOC＝∠BOC
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、如图所示，
B、当∠AOC＝∠AOB时，OC是∠AOB的平分线，故本选项正确；
C、当∠AOC＝∠AOB，∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠BOC时，OC是∠AOB的平分线，故本选项正确；
D、当∠AOC＝∠BOC时，OC是∠AOB的平分线，故本选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
6．（3分）如图，⊙O的半径为5，若OP＝3，则经过点P的弦长可能是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】经过点P的弦长在与OP垂直的弦长和直径长之间，根据勾股定理和垂径定理可求与OP垂直的弦长，⊙O的半径为5，可求直径长，从而作出选择．
【解答】解：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
在Rt△OAP中，OA＝5，OP＝3；
故AB＝2AP＝8；
故选：C．
【点评】考查了勾股定理和垂径定理，解决此题的关键是确定过点P的最短弦长．
7．（3分）小幸学习了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行以下练习：首先画出数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3．以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．3和3.5之间B．3.5和4之间C．4和4.5之间D．4.5和5之间
【答案】B
【分析】利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．
【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝＝，
∵9＜13＜16，
∴该点P位置大致在数轴上3和4之间，
∴则点P所表示的数介于3.5和8之间；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．
8．（3分）某班有50人，一次体能测试后，符老师对测试成绩进行了统计．因小芝没有参加本次集体测试，因此计算其他49人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小芝进行了补测，成绩为90分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变
【答案】B
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．
【解答】解：∵小芝的成绩和其他49人的平均数相同，都是90分，
∴该班50人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：B．
【点评】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A地的距离ykm与甲车行驶时间xh的函数图象．小成同学根据图文信息，解读出以下结论：
①乙车速度是80km/h；
②m的值为1；
③a的值为40；
④乙车比甲车早h到达B地．
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】先由函数图象中的信息求出m的值，再根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度，并求出a的值；先根据图形判断甲、乙两车中先到达B地的是乙车，再把y＝260代入y＝40x﹣20求得甲车到达B地的时间，再求出乙车行驶260km需要260÷80＝3.25h，即可得到结论．
【解答】解：120÷（3.5﹣2）＝80km/h（千米/小时），
即乙车速度是80km/h，故①正确；
120÷（2.5﹣0.5）＝40（km/h），则a＝40，
设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx+b，由题意，
y＝40x﹣20，
把y＝260代入y＝40x﹣20得，x＝7，
∴乙车的行驶260km需要260÷80＝3.25（h），
∴乙车比甲车早h到达B地．故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是从图形中获得必要的信息进行计算，运用待定系数法求一次函数的解析式．解答此类试题时，需要掌握建立函数模型的方法以及采用分段函数解决问题的思想．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠CBF＝．设BE＝x，△BEF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠，可证明∠AFB＝90°，进而可证明△AFB∽△EBC，由tan∠DCE＝，分别表示EB、BC、CE，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积，即可求解．
【解答】解：由折叠的性质知，CE⊥FB，
∵∠CBF+∠FBE＝90°，∠FBE+∠CEB＝90°，
设AB＝x，则AE＝EB＝，
则∠AFB＝90°，
∴BC＝，EC＝，
∴∠FBA＝∠BCE，
∴＝（）2，
故选：D．
【点评】本题考查的是动点图象问题，考查了解直角三角形、轴对称图形性质、相似三角形的性质等知识．解答关键是做到数形结合．
二、填空题（本大医共8小题，第1-131小题每小题3分，第14-18小题每小题3分，共29分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴被开方数x+2为非负数，
解得：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非负数．
12．（3分）分解因式：4x2﹣y2＝ （2x+y）（2x﹣y） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】没有公因式，符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的特征是解题的关键，是基础题．
13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转46°后得到△COD．若∠AOB＝16°，则∠AOD＝ 30 度．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，首先运用旋转变换的性质求出∠BOD的度数，结合∠AOB＝16°，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠BOD＝46°，
∵∠AOB＝16°，
故答案为：30．
【点评】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
14．（4分）在反比例函数y＝图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＞3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据反比例函数中，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣3＞0，解可得k的取值范围．
【解答】解：根据题意，在反比例函数y＝图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣3＞0，
故答案为：k＞3．
【点评】本题考查反比例函数的性质，主要体现反比例系数与图象的关系．
15．（4分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，小智绘制了如图所示的折线图，该事件最有可能是 ③ （填写一个你认为正确的序号）．
①掷一枚硬币，正面朝上；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是5；
③暗箱中有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无差别，从中任取一球是黑球．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案．
【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即左右，
①中掷一枚硬币，正面朝上的概率为，不符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是5的概率是，不符合题意；
③中从中任取一球是黑球的概率为＝，符合题意，
故答案为：③．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
16．（4分）若75°的圆心角所对的弧长是πcm，则此弧所在圆的直径是 12 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据弧长公式l＝，将n＝75，l＝π，代入求得半径长，进而得到直径．
【解答】解：∵75°的圆心角所对的弧长是πcm，
∴π＝，
则直径为12cm．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：l＝才能准确的解题．
17．（4分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有 4 种．
【答案】见试题解答内容
【分析】设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各进货方案，此题得解．
【解答】解：设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，
依题意，得：60x+75y＝1500，
∵x，y均为正整数，
∴，，，，
故答案为：8．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
18．（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）向右平移2个单位长度所得图象的顶点坐标为（s，t），当m≥5时，代数式2t﹣s的最大值为 8 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次函数的顶点公式得到抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）的顶点坐标为（m﹣1，），从而得到平移后的顶点为（m+1，），根据题意得出2t﹣s＝﹣m2+8m﹣1﹣（m+1）＝﹣m2+7m﹣2＝﹣（m﹣）2+，根据二次函数的性质求得即可．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x+3m（m为常数）的顶点坐标为（m﹣1，），
∵将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+3m（m为常数）向右平移2个单位长度所得图象的顶点坐标为（s，t），
∴2t﹣s＝﹣m2+8m﹣8﹣（m+1）＝﹣m2+7m﹣2＝﹣（m﹣）3+，
∴在m≥5范围内，当m＝5时，代数式2t﹣s的有最大值，最大值为：﹣52+7×5﹣2＝8，
故答案为8．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，求得代数式2t﹣s关于m的关系式是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共91分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（11分）（1）计算：（﹣1）0﹣2sin30°+（）﹣1﹣（﹣1）2020；
（2）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算以及利用分式的混合运算法则化简，再把符合题意的x值代入即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2×+3﹣1
＝1﹣1+3﹣1
（5）原式＝•
＝，
当x＝时，原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
20．（9分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号的和等于4的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出两次取出的小球的标号的和等于4的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表得：
所有等可能的情况有12种，其中两次取出的小球的标号的和等于4的情况数是2，
所以两次取出的小球标号的和等于7的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（10分）某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）：
b．初二年级学生知识竞赛成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：
80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89
c．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；
（2）写出表中m的值；
（3）A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断A同学是 初二 （填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是 若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放到初二年级，成绩会更靠前，不符合题意 ．
（4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为 225 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据总人数为40求出70≤x＜80的人数，继而补全图形；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）利用中位数的意义求解可得；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）补全图形如下：
（2）由题意知初二学生知识竞赛成绩的第20、21个数据为80、81，
所以m＝＝80.5；
（3）A同学是初二年级的学生，
理由：由表可知，初二年级的中位数为80.5，初三年级的中位数86，
所以A同学是初二年级的学生．
（4）估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为600×＝225（人），
故答案为：225．
【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握根据频数分布直方图得出解题所需数据及中位数的概念和意义、利用样本估计总体的能力．
22．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于点D，且EF∥AB，连接CD，BD．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若∠ABC＝30°，BD＝2，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理可得＝，再根据等弧所对圆周角相等即可证明CD平分∠ACB；
（2）连接AD，作AH⊥CD于点H，根据AB为⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，再根据∠ABC＝30°，BD＝2，进而可求出CD的长．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OD，
∴OD⊥EF，
∴∠ACD＝∠BCD，
（2）∵OD⊥EF，EF∥AB，
∴∠DOB＝90°，
∴AB＝2OB＝4，
∴∠ACB＝90°，又∠ABC＝30°，
连接AD，作AH⊥CD于点H，
∵∠ACH＝45°，
∵∠ADC＝∠ABC＝30°，
∴DH＝AH＝，
∴CD＝CH+DH＝+．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握切线的性质．
23．（12分）2020年以来，受疫情影响，一些传统商家向线上转型发展，某商家通过“直播带货”一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2000元的利润，又要保证销售量尽可能大，应将销售单价定为多少元？
（3）若每天至少销售60件，且销售单价不低于30元时，求W的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据每天的利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式并化简即可；
（2）根据二次函数与一元二次方程的关系，得出方程并求解，然后根据题意对方程的解作出取舍；
（3）根据每天至少销售60件，且销售单价不低于30元，列出关于x的不等式组，解得x的取值范围，然后根据二次函数的性质求得答案即可．
【解答】解：（1）由题意得：
W＝（x﹣10）y
＝﹣10x2+500x﹣4000．
（2）当W＝2000时，2000＝﹣10x2+500x﹣4000，
∵保证销售量尽可能大，而销售量y＝﹣10x+400中，y随x的增大而减小，
答：保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得2000元的利润，应将销售单价定为20元；
（3）每天销售量不少于60件，且销售单价至少为30元时，
，
∵W＝﹣10x2+500x﹣4000
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，W有最大值，最大值为﹣10×（30﹣25）7+2250＝2000，
答：每天销售量不少于60件，且销售单价至少为30元时，该商场每天获得的最大利润是2000元．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．
24．（12分）定义：若实数x，y，x'，y'满足x＝kx'+2，y＝ky'+2（k为常数，k≠0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）为点（x'，y'）的“k值关联点”．例如，点（3，0）是点（1，﹣2）的“1值关联点”．
（1）在A（2，3），B（1，3）两点中，点 B 是P（1，﹣1）的“k值关联点”；
（2）若点C （8，5）是双曲线y＝（t≠0）上点D的“3值关联点”，求t的值和点D的坐标；
（3）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，求点F到原点O的距离的最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“k值关联点”的定义可求解；
（2）由“k值关联点”的定义可求点D坐标，代入解析式可求t的值；
（3）由“k值关联点”的定义可得（m﹣n）（mn+2）＝0，可得mn＝﹣2，由两点距离公式可求解．
【解答】解：（1）若点A（2，3）是P（1，﹣1）的“k值关联点”，
∴k＝≠，不合题意，
∴k＝＝＝﹣8，符合题意，
（2）设点D坐标为（x，y），
∴
∴点D坐标为（2，1），
∴t＝2×1＝2；
（3）∵点E（m6+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，
∴，
∴（m﹣n）（mn+2）＝0，
∴mn＝﹣2，
∵（m﹣n）2≥0，
∴m2+n2≥2mn，
∴点F到原点O的距离＝＝，
∴点F到原点O的距离的最小值为2．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的性质，理解“k值关联点”的定义是本题的关键．
25．（13分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，点F在边CD上，连接AE，EF．
（1）当CF＝a时，求证：∠AEF＝90°；
（2）若CF＝2DF，连接AF．求∠EAF的度数；
（3）当∠AEF＝∠DAE时，求△CEF的面积（用含a的式子表示）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明△ABE∽△ECF，便可解决问题；
（2）将△ABE△绕点A点逆时针旋转90°，证明△AEF≌△AE'F，进而求得结果；
（3）过A作AG⊥EF，证明△ABE≌△AGE，△ADF≌△AGF，得BE＝GE，DF＝GF，设CF＝x，在Rt△CEF中，由勾股定理列出x的方程求得x，进而由三角形的面积公式求得结果．
【解答】解：（1）证明：∵正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，
∴BE＝CE＝a，∠ABC＝∠ECF＝90°，
∴，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
（2）将△ABE△绕点A点逆时针旋转90°，如图3，则
AE＝AE'，BE＝DE'，∠E'AD＝∠EAB，∠ADE'＝∠ABE＝90°，
∴点F、D、E'三点在同一直线上，
∴CF＝a，DF＝a，CE＝BE＝DE'＝a，
∴EF＝E'F，
∴△AEF≌△AE'F（SSS），
（3）过A作AG⊥EF，如图2，
∵AD∥BC，
∵∠DAE＝∠AEF，
∵∠ABE＝∠AGE＝90°，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∵AB＝AD，
∵AF＝AF，
∴DF＝GF，
∴EF＝，
∴，
∴△CEF的面积＝．
【点评】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，第（1）题关键在证明相似三角形，第（2）与第（3）关键是证明全等三角形．
26．（13分）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点．直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于E点，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH交x轴于G点．
（1）若a＝1，k＝2，求DH的长；
（2）当a＝时，求cs∠AHE的值；
（3）连接BC，求证：四边形BCGH是平行四边形．
【答案】（1）DH＝3；
（2）cs∠AHE＝；
（3）证明见解析过程．
【分析】（1）分别求出点A，点B，点D坐标，即可求解；
（2）分别求出点A，点B，点D坐标，可求AH＝3k+1，AE＝（3k+1），由勾股定理可求HE的长，即可求解；
（3）利用参数表示点D，点E，点A，点B坐标，分别求出BH，CG的长，即可求解．
【解答】解：（1）当a＝1，k＝2时，则抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1，直线的解析式为：y＝2x﹣7，
∵抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴相交于A点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点，
∵直线y＝2x﹣2与抛物线L相交于C，D两点，
∴x2＝1，x2＝3，
∵DH⊥AB，AB∥x轴，
（2）当a＝时，则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+，
∴点A（0，），点B（2，），
∴，
∴点D（3k+1，3k2），
∴AH＝8k+1，
∴点E（0，﹣k），
∴AE＝k+＝（3k+7），
∴cs∠AHE＝＝；
（3）∵抛物线L：y＝ax5﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点，
∴点A（0，a），点B（2，a），
∴，
∴点D（，），点C（1，0），
∴点E（0，﹣k），
∴AH＝，
∴，
∴BH＝||＝||，GC＝||，
∴四边形BCGH是平行四边形．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求解析式，平行四边形的性质，一元二次方程的解法等知识，利用参数表示点的坐标是本题的关键．
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平均数
中位数
方差
初二年级
80.8
m
96.9
初三年级
80.6
86
153.3
1
2
3
4
6
﹣﹣﹣
（2，1）
（3，1）
（4，5）
2
（1，2）
﹣﹣﹣
（3，2）
（5，2）
3
（1，3）
（2，7）
﹣﹣﹣
（4，3）
4
（1，4）
（3，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
平均数
中位数
方差
初二年级
80.8
m
96.9
初三年级
80.6
86
153.3