高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试当堂达标检测题

第三单元函数的概念与性质

单元基础提优检测卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分。

第Ⅰ卷（选择题   共60分）

一、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.[ 2021-2022﹒广东省培英中学高一期中] 已知函数，若，则的值是（    ）

A． B．或 C．或 D．或或

2. [2021-2022﹒甘肃省民乐县第一中学高一期中] 函数的值域是（   ）

A． B． C． D．

3.[ 2021-2022﹒辽宁省渤海大学附属高级中学高一期中] 已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4.[ 2021-2022﹒广东省佛山市南海区南海中学高一期中] 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ）

A． B．

C． D．

5.[ 2021-2022﹒陕西省西安中学高一期中] 图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（    ）

A．0.5，3， B．，3，0.5 C．0.5，，3 D．，0.5，3

6.[ 2021-2022﹒山东省烟台市高三期中] 设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则(       )

A． B． C． D．

7. [2021-2022﹒安徽省安庆市怀宁中学高三模拟] 定义：表示不大于的最大整数，已知函数，，则（    ）

A．函数在上单调递增 B．函数的最大值为0

C．函数在上单调递减 D．函数的最小值为

8.[ 2021-2022﹒江西省景德镇市第一中学高一期中] 定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：

①；②；③；④能被称为“理想函数”的有（   ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. [2021-2022﹒广东省广州市华南师范大学附属中学高一期中] 下列函数中为奇函数的有（   ）

A． B． C． D．

10.[ 2021-2022﹒河北省张家口市高一期中] 若函数的定义域为，值域为，则实数m的值可能为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

11.[ 2021-2022﹒广东省佛山市南海区石门中学高一月考）数学试题

] 已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（   ）

A．f（x）的定义城为[0，1] B．f（x）定义域为R

C．f（x）的值城为[0，1] D．f（x+1）=f（x）

12. [2021-2022﹒江苏省无锡第六高级中学高三10月质量调研]如图，已知的定义域为，其函数图象关于直线对称，且，若当时，，则下列结论正确的是（      ）

A．为偶函数

B．在单调递减

C．关于对称

D．

请将选择题答案填入下表：

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.[ 2021-2022﹒北京市中关村中学高一期中阶段学情调研] 函数的定义域为______.

14. [2021-2022﹒山东省泰安市肥城市高一期中]已知函数的定义域是，值域是，则这样的函数可以是           .

15.[ 2019-2020﹒江苏省宿迁市沭阳县修远中学高二期末] 已知函数的图象关于原点对称，则______；若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为______.

16. [2021-2022﹒吉林省长春市东北师范大学附属中学高一月考]定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，x∈（－1，0）时f（x）<0，若，，c=f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为___________.

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）[2021-2022﹒山东省烟台市烟台第二中学高一月考]已知一次函数是上的增函数，且，

（1）求；

（2）若在上单调递减，求实数的取值范围.

18.（12分）[2021-2022﹒河南省焦作市高一期中]已知幂函数为偶函数．

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值．

19.（12分）[2021-2022﹒广东省佛山市顺德区华侨中学高一期中]已知函数．

（1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；

（2）对任意时，都成立，求实数的取值范围．

20.（12分）[2021-2022﹒广东省佛山市南海区南海中学高一期中]已知函数在区间[1，2]上的最小值小于m，求实数m的取值范围．

21.（12分）[2021-2022﹒浙江省湖州市三贤联盟高一期中联考]已知函数，.

（1）用单调性定义证明：当时，函数在上单调递增；

（2）若，使得成立，求实数的取值范围.

22.（12分）[2021-202﹒2浙江省宁波市镇海中学高一期中]《中国建筑能耗研究报告（2020）》显示，2018年全国建筑全过程碳排放总量为49.3亿吨，占全国碳排放比重的51.3%，根据中国建筑节能协会能耗统计专委会的预测，中国建筑行业的碳排放将继续增加，达到峰值时间预计为2039年前后，比全国整体实现碳达峰的时间预计晚9年．为了实现节能减排的目标，宁波市新建房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用W（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能漂消耗费用之和．

（1）求a的值及的表达式．

（2）试求隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小费用．

参考答案

一、选择题

1.【解析】当时，，解得：或（舍），；

当时，，解得：（舍）；综上所述：的值是.故选：A.

2. 【解析】令，则，原函数即为：，

对称轴方程为，可知，函数值域为．故选：C．

3. 【解析】因为函数开口向上，对称轴，函数在区间上是增函数，所以，即.故选：B

4. 【解析】对A，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；

对B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误；

对C，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误；

对D，和的定义域都是，且与对应关系相同，所以是同一函数，故D正确.故选：D.

5. 【解析】由幂函数在第一象限内的图象知，图中对应的，对应的，对应的，所以，解析式中指数a的值依次可以是，和3.

故选：D.

6. 【解析】因为是定义域的奇函数，所以，，

因为当，，所以，从而，

因为是偶函数，即的图像关于轴对称，

因为图像是图像向左平移一个单位得到的，

所以的图像关于对称，故，因为，所以，因为，，

所以.故选：B.

7. 【解析】当时，，，函数单调递减，；

当时，，，和均为减函数，故函数单调递减，；

当时，，，同理，函数单调递减，；

当时，，.

函数在上单调递减，不可能在上单调递增，A错误；

，，函数在不可能是单调递减函数，C错误；

函数的最大值为0，B正确；函数没有最小值，D错误.故选：B.

8. 【解析】 依题意，定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，当时，恒有，

不妨设，可得，即，

即，所以函数在上单调递增.

也即为“理想函数”的等价条件是函数在上单调递增.

①，在上单调递减，不符合；

②，在上单调递增，符合；

③，在上单调递减，不符合；

④，在上单调递增，符合；

综上所述，②④符合题意.故选：C

9. 【解析】对于A，因为，所以函数为偶函数，A错，

对于B，因为，所以函数为奇函数，B对，

对于C，因为，所以函数为奇函数，C对，

对于D，因为，所以函数为偶函数，D错，

故选：BC.

10. 【解析】函数的图象如图所示：

因为函数在上的值域为，结合图象可得，

故选：ABC.

11. 【解析】由狄利克雷函数可知，的定义域为，值域为，所以AC错误，B正确，当为有理数时，也是有理数，则，当为无理数时，也是无理数，则，所以，所以D正确，故选：BD

12. 【解析】因为函数的定义域为，且函数图象关于直线对称，

则恒成立，又，所以，

故，即，所以函数是偶函数，故选项A正确；因为，所以，即，故函数是周期为6的周期函数，

当时，，则在上单调递增，所以在上单调递增，故选项B错误；因为为偶函数且图象关于对称，

则有，，

所以，则的图象关于直线对称，故选项C正确；

因为函数是周期为6的偶函数，则．故选项D正确．故选：ACD．

13. 【解析】由已知可得，解得且，

因此，函数的定义域为.故答案为：.

14. 【解析】因为函数的定义域是，值域是，

所以函数可以是.故答案为：

15. ;．【解析】：的图象关于原点对称，即是奇函数，

由即，解得：，故，

画出函数的图象，如图示：

，

由（1）得时，，解得：，

时，，解得：，

若关于的不等式（1）在区间，上恒成立，

则①或②在区间，上恒成立，

由①得：，在，恒成立，则，

由②得：，在，恒成立，则，

综上，，，，故答案为：;．

16. c<a<b.

【解析】因为定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，

令x=y=0，则f（0）－f（0）=f（0），解得f（0）=0，

设x<y，且满足－1<x<y<1，则，因为x∈（－1，0）时f（x）<0，

所以，即f（x）－f（y）<0，所以f（x）<f（y），

故函数f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，因为，

所以，取，则，则，因为，所以，即c<a<b.

故答案为：c<a<b.

17. 解：设一次函数，，

即，解得：或，即或，

又函数是上的增函数，所以；

（2）解：由（1）得，，

对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递减，故，解得：.

18. 解：（1）由幂函数可知，解得或

当时，，函数为偶函数，符合题意；

当时，，不符合题意；故求的解析式为

（2）由（1）得：

函数的对称轴为：，开口朝上，

由题意得在区间上，解得,所以实数的值为2.

19. 解（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，

∵，∴，，，

∴，∴在区间上单调递减；

（2）由（2）可知在上单调减函数，∴当时，取得最小值，即，对任意时，都成立，只需成立，∴，解得：．

20.解：，对称轴为，

（1）若，即，,，解得，

（2）若，即，，，解得，而，即无解，

（3）若即，，，解得无解.

综上所述，实数m的取值范围是

21.解：（1）任取 则 ，

,又，

, 在上是增函数.

（2）由得 即 ，又 ，

使不等式成立， 对能成立，

而在 上是增函数， 时有最大值 ， .

22.解：（1）设隔热层厚度x，则，

又不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，∴即，

∴，又每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，

∴.

（2）∵，

当且仅当即时取等号，

故隔热层修建5cm时，总费用达到最小，最小费用为70万元.