云南省昆明市第一中学2021-2022学年高三上学期第四期联考理科数学试题

昆明一中2022届高三第四期联考

参考答案（理数）

命题、审题组教师   杨昆华 张波 杨仕华 张兴虎 王海泉 卢碧如 江明 丁茵 蔺书琴 杨耕耘 李建民

一、选择题 

1. 解析：由得，所以，选C．

2. 解析：由题意，则，选B．

3. 解析：由解析式知，又，所以为奇函数，故排除A与B，当且时，，选D．

4. 解析：因为，，，而，选B .

5. 解析：由双曲线定义得，，

则，得，则△的周长为，选C．

6. 解析：取中点，有，所以，在△中，，，由余弦定理得，选B .

7. 解析：程序运行过程中，各变量值如下表所示：

第1次循环：，，，

第2次循环：，，，

第3次循环：，，，…

依此类推，第2020次循环：，，，

第2021次循环：，，，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：，选B．

8. 解析：由得

，选D .

9. 解析：因为平面，且点为的中点，所以到平面的距离，又因为，所以由可得到平面的距离为，选A.

10. 解析：，由得，解得，因为在内有零点，所以，解得，又由在上单调递减，解得，所以，选C.

11. 解析：因为函数既是二次函数又是幂函数，所以函数，又是奇函数，所以，因为，，所以

，选D .

12. 解析：设圆的圆心为，因为，所以是圆的一条直径，

所以，又因为点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，所以，所以，即，所以的最小值为，最大值为，又因为，所以的最大值与最小值的和是，选C .

二、填空题

13.解析：由题意，，，，所以切线方程为，即．

14. 解析：.

15. 解析：如图，作出可行域

由于的最大值为，则目标函数的图像必经过点，当 时，由图可知只有经过点的直线符合条件，所以实数值为.

16. 解析：设的中点为，连接，，则，且，又因为平面平面，所以平面，得是在平面内的射影，所以是直线与平面所成的角，即，要使最小，即最大，因为，所以在平面内点的轨迹是以，为焦点的椭圆，椭圆长轴的两个端点除外，根据椭圆的定义，，所以，而，当取得最小值时，最大，因为的最小值等于，所以有最大值为，此时，所以的最小值为.

三、解答题

（一）必考题

17. 解：（1）由表知，，

可得，，，，，，，，，（）

相关系数，

因为，所以和的关系可用线性回归模型进行拟合．      ………8分

（2），，

故关于之间的线性回归方程为．                        ………12分

18. 解：（1）由已知得：， 因为，①

所以，当时，，②

①-②得:，且也成立，

所以 （）.                                     ………6分

（2）由（1）得 (），

所以，.    ………12分

19. 解：（1）因为平面，平面，

所以，又，

所以,,所以平面,平面,

则，

即异面直线与所成角的大小为.………5分

（2）以为原点,、所在直线分别为、轴，

过点作的平行线为轴建系，

在中，由于，且，

则，设点到平面的距离为，

则，又，，

，，得，，设平面的一个法向量为，得

，令，可得，，即

平面的一个法向量，设的平面角为，则,

所以，，得，

即点到平面的距离为，又因为

所以，，

所以，三棱锥的体积为.………12分

20. 证明：（1）过点，分别作轴的垂线，分别记垂足为，，

因为为线段中点，故，

故圆与轴相切，同理可得圆与轴相切于点；            ………5分

解：（2）设，，

由（1）可知点的坐标为，点的坐标为，

设直线的方程为，将直线与抛物线联立，

消去得，即，故，

故，故，故，

则△面积

又因为，所以，当且仅当，

即或时，△的面积取得最小值.                ………12分

21. 解：（1），当时，，在上单调递减；

当时，令，得，

所以时，；时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

综上，当时，，在上单调递减，

当时，在上单调递减，在上单调递增.      ………5分

（2）因为有三个极值点，，，

则有三个根，，，

由（1）可知，当时，至多有两个根，不满足题意

当时，有三个根，，，不妨设，

当时，当时，若，是的两个根，

则需，解得，

所以，，，

则

，

令，因为，则，所以在上单调递增，

，所以，

所以的取值范围是．  ………12分

（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22. 解：（1）设点，，，因为，所以，

所以，化简得 ，

由中点坐标公式得，消去参数，得. ………5分

（2）抛物线的极坐标方程为设点，因为，所以，所以，

所以当时，的最小值为.………10分

23. 解：（1）要证，只需证，左边因式分解得

，只需证，只需证，

因为成立，当且仅当“”时等号成立， 所以成立.………5分

（2）要证，只需证，

只需证，由（1）证明过程可知成立，

所以成立.………10分