第二讲.求解圆锥曲线离心率及其取值范围练习题

第二讲.求解圆锥曲线离心率及其取值范围

.s椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率.常用的方法如下

一、直接求出、，求解

已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。

例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（    ）

A.              B.             C.               D.

解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（    ）

A.                 B.                   C.                 D.

解：由、知 ，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（    ）

A.           B.            C.            D

解：由题设，，则，，因此选C

二、构造、的齐次式，解出

根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。

例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（    ）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式，

即，得，解得

（舍去），故选D

变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为(     )

A.                B.                  C.                   D.

解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，

又, ∴,两边平方，得，整理得，

得或，又 ，∴，∴，∴，故选A

变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（    ）

A              B           C            D

解：如图所示，不妨设，，，则

，又，

在中， 由余弦定理，得,

即，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，故选B

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

解：

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是                                          .

解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义，

变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（   ）

A            B            C             D

解：

五、直接根据题意建立不等关系求解. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

例5：若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是

A.(1,2)    B.(2,+)   C.(1,5)   D. (5,+) 

解析 由题意可知即解得故选B.

备选 椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

Ａ．   Ｂ．   Ｃ．   Ｄ．

解析 由题意得∴故选D.

六、借助平面几何关系建立不等关系求解

例2：设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D.

分析 通过题设条件可得，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？

解析：∵线段的中垂线过点， ∴，又点P在右准线上，∴

即∴∴，故选D.

点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.

七、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.

例3：双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为

A.(1,3)     B.    C.(3,+)  D.

分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？

解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴

所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.

点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于）则可建立不等关系使问题迎刃而解.

备选  已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：(      )

A           B           C              D  

∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴

所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.

备选 已知，分别为　的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A   B  C  D

解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即所以.

例5：已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

解：设P点坐标为（）,则有

消去得若利用求根公式求运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得

例6：椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使.   求椭圆离心率的取值范围；

解析 设……①

将代入①得  求得   .

点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.

八、运用数形结合建立不等关系求解

例7：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

 （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

解析  欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，即即∴即故选C.

九、运用函数思想求解离心率

例8：设，则双曲线的离心率e的取值范围是

A．     B.      C.     D.

解析：由题意可知∵∴

∴，故选B.

十、运用判别式建立不等关系求解离心率

例9：在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的离心率.

解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方程的两根，由， 可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是

例10：设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围：

解析 由C与相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得

（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.     ①

所以解得

双曲线的离心率

∴

所以双曲线的离心率取值范围是

总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.

[解法一]（大多数学生的解法）

解：由于为等腰直角三角形，故有

，而，

所以，整理得

等式两边同时除以，得，即，

解得，舍去

因此，选D

[解法二]（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）

解：如右图所示，有

故选D

[评]

以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”，通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法！

已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为              

答案：

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

【解析】如图，,

作轴于点D1,则由，得

,所以,

即,由椭圆的第二定义得

又由,得,整理得.

两边都除以,得,解得.