第三讲.圆锥曲线问题中的“设而不求”和“用点差法解圆锥曲线的中点弦问题”

这是一份第三讲.圆锥曲线问题中的“设而不求”和“用点差法解圆锥曲线的中点弦问题”，共10页。试卷主要包含了 哪些问题适合“设而不求”等内容，欢迎下载使用。
第三讲.圆锥曲线问题中的“设而不求”设而不求是解析几何中一种常用的重要方法和技巧，它能使问题简化。但如何使用这种方法，在使用中应注意哪些问题，却经常困扰着同学们。在此笔者愿跟大家谈谈对上述问题的看法与认识。一、 哪些问题适合“设而不求” 一般说来，解题中涉及不到但又不具体求出的中间量（称为相关量）可采取“设而不求，整体思想”。具体体现在：①与弦的中点有关的问题；②定值与定点问题；③对称性问题。中点坐标公式、斜率公式和根与系数的关系是“设而不求，整体思想”的马前卒。1、与弦中点有关的问题例1、已知是椭圆的一个内接三角形，且，若的重心恰为椭圆的右焦点，求边所在直线的方程。解：易求得椭圆的右焦点为，令，由重心公式，得 ， 即 。的中点，又、在椭圆上，，    ，  两式相减，得， ，即。。由点斜式，边所在直线的方程为，即。点评：与弦中点有关的问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系灵活转化，往往能事半功倍。 2、定点问题例2、  设抛物线的焦点为，经过焦点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。   解：设过焦点的直线的方程为，。由，消去,得。。∥轴，且点在准线上， 点的坐标为。     ，故过原点。点评：巧设过F的直线方程，而不用点斜式，可回避对直线AB的斜率K是否存在的分类讨论。同时“用根与系数的关系”达到设而不求的目的。3、对称问题例3、  已知椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，试确定的取值范围。解： 由题设，有直线与椭圆交于、两点，且、的中点在直线上。由，消去，得     ①方程①有两不等实根，，解得。设，则，。又中点在直线上，有，，，。点评：根据题中隐含着的一元二次方程的根的存在性，以中点为桥梁，利用判别式建立不等关系，求参数的取值范围。此类问题也可借助圆锥曲线的几何性质求解。二、“设而不求，整体思想”中应注意的两个问题1、注意隐含条件例4、  已知双曲线⑴过的直线交双曲线于、两点，若为弦中点，求直线的方程。⑵是否存在直线，使点是直线被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线的方程 ，若不存在，说明理由。解：⑴设，则，，。又，。即。代入检验，满足，直线的方程是。⑵假设存在，则，，即。代入中，得，，。不存在2、注意参数对取值范围的影响例5、  求过点的直线被椭圆所截弦的中点的轨迹方程。解 ：（1）当过的直线的斜率存在时，设其方程为，代入中，消去，得，由，得  ①。设直线与椭圆的两个交点为，中点坐标为，则，消去参数，得。由①知，，，故所求弦中点的轨迹方程为，其中，且。（2）当所做直线的斜率不存在时，所截弦中点为亦满足上述方程。综上所述，所求弦中点的轨迹方程为，其中，且。点评： 消参过程中，应重视参数取值范围对其它相关变量的影响，确保等价性。练习1、过点的直线与双曲线交于两点，求弦MN的中点P的轨迹方程。2 、已知A、B是抛物线上原点O外的两个动点，已知，求证：AB所在直线必过一个定点。3、已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点求的取值范围。4、已知直线与双曲线相交于A、B两点，问取何值时，以AB为直径的圆经过原点。5、过抛物线的点作倾角互补的两条直线AB、AC，交抛物线于B、C，求直线BC的斜率。 参考答案：1、 解：设，，则，两式作差并整理，得    。设弦的中点，由，且，知。故所求弦中点P的轨迹方程是。2 、证明：设，由，得     把②③代入①整理得     ④  ， 由②－③整理得：。    所以直线AB的方程为 ，即，  所以直线AB过定点。3、 解：设，代入椭圆方程，得，    两式作差并整理，得 。    又直线AB的斜率与其垂直平分线的斜率互为负倒数    ，即。  ，，得  。4、解：设，若以AB为直径的圆过坐标原点必有，即得：     ①    把代入双曲线方程，得。    所以                                ②  ③     ④    解①②③④组成的方程组得。5、解：设，代入抛物线方程得     ①     ②     ③    ①②两式作差整理，得  ④    ①③两式作差整理，得； ②③两式作差整理，得。  由，得。代入④即得到直线的斜率为。 用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。本文用这种方法作一些解题的探索。一、   以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为、 为的中点   　　又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线　，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得　故直线由　消去，得 这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。二、   过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。解：设弦端点、，弦的中点，则 ，         又  ，两式相减得即       ，即点的坐标为。例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点、，弦的中点，则，       又  ，两式相减得即，即   ，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为三、   求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则， ，又，两式相减得即          ┅┅②联立①②解得，所求椭圆的方程是四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，　　这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得　则必须满足，即，解得