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初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试教学课件ppt
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这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试教学课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了n360，∴S△BEF等内容，欢迎下载使用。
腰和底不等的等腰三角形
三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形的分类不等边三角形
直角三角形 钝角三角形
3.三角形的高、中线与角平分线高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线 相交于一点，如图.中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于 一点（重心），如图.角平分线：三条角平分线相交于一点，如图.
4.三角形的内角和与外角三角形的内角和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
正多边形的每个内角的度数是
正多边形的每个外角的度数是
(n 2) 180 ,
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正 多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.n边形内角和等于(n-2)×180 °(n ≥3的整数）.n边形的外角和等于360°.
考点一三角形的三边关系例1已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三 条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得 8- 3
组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于 第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形 的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有 着重要的作用.
针对训练1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围 是 6
A.16B.20或16C.20D.12
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个 等腰三角形的周长为(C )
等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意
针对训练2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为
考点二三角形中的重要线段例3如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长 大3cm，BC=8cm，求边AC的长．解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD=BD，∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，∴BC-AC=3，∵BC=8，∴AC=5．
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD 将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，
∴AD=CD，设AD=CD=x，则AB=2x， 当x+2x=12，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11； 当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7， 此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．
无图时，注 意分类讨论
例4如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×24=12，
∴S△BCE= S△ABC=
三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（C）
4.如图，①AD是△ABC的角平分线，则∠_B_A_D =∠CA_D_=2 ∠_C_A_B，
②AE是△ABC的中线，则CE =BE= 1BC，
③AF是△ABC的高线，则∠_A_F_B =∠_A_F_C =90°．
考点三有关三角形内、外角的计算例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件， 求 ∠A，∠B，∠C 中 未 知 角 的 度 数 . (1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x，则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°，∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思
想设未知数列方程求解.
例6如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x． 因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°， 所以x=39°,所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
5.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-
∠B，则∠B= 60°.
6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高， 若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数 是 20°，∠FBC的度数是 40°.
7.如图，在△ABC中，两条角平分线 BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°， 那么∠A的度数是 84° .
考点四多边形的内角和与外角和
例7已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 1，
求这个多边形的边数.解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则x+4x=180°,解得 x=36°.∴边数n=360°÷36°=10.
在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
例8如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度数．解：∵五边形的内角和是540°，∴每个内角为540°÷5=108°，∴∠E=∠B=∠BAE=108°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4， 由三角形内角和定理可知∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°，∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°．
【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样 的位置关系？为什么？解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：∵六边形ABCDEF的内角都相等，∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°，∴∠EDC=∠FAB=120°.∵∠1=∠2=60°，∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE，∵∠C=120°，∠2=60°，∴∠2+∠C=180°，∴AD∥BC.
8.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°， 求这个多边形的边数．解：设这个多边形的边数是n，依题意得（n-2）×180°=3×360°-180°，（n-2）=6-1， 解得n=7．∴这个多边形的边数是7．
考点五 本章中的思想方法
方程思想例9如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数. 解：设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理， 得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以∠C=75 °.
在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系
进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
【变式题】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1
解：设∠ 1=x,根据题意得∠2=x.因为∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2， 所以∠3=2x, ∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.
分类讨论思想例10已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则
【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论： 第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时 周长为22.【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
化归思想如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形 也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.A
例11如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度 数.
解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和 问题，我们发现，只要连接CD便转化为求五
解：连接CD，由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所 以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540°.
三角形的边：三边关系定理 高线中线：把三角形面积平分 角平分线三角形内角和：180°三角形外角和：360° 内角与外角关系
多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线
（ n 2 ) 1 8 0
内角和：（n-2) ×180 ° 外角和：360 °3 6 0
腰和底不等的等腰三角形
三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形的分类不等边三角形
直角三角形 钝角三角形
3.三角形的高、中线与角平分线高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线 相交于一点，如图.中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于 一点（重心），如图.角平分线：三条角平分线相交于一点，如图.
4.三角形的内角和与外角三角形的内角和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
正多边形的每个内角的度数是
正多边形的每个外角的度数是
(n 2) 180 ,
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正 多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.n边形内角和等于(n-2)×180 °(n ≥3的整数）.n边形的外角和等于360°.
考点一三角形的三边关系例1已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三 条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得 8- 3
组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于 第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形 的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有 着重要的作用.
针对训练1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围 是 6
A.16B.20或16C.20D.12
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个 等腰三角形的周长为(C )
等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意
针对训练2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为
考点二三角形中的重要线段例3如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长 大3cm，BC=8cm，求边AC的长．解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD=BD，∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，∴BC-AC=3，∵BC=8，∴AC=5．
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD 将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，
∴AD=CD，设AD=CD=x，则AB=2x， 当x+2x=12，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11； 当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7， 此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．
无图时，注 意分类讨论
例4如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×24=12，
∴S△BCE= S△ABC=
三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（C）
4.如图，①AD是△ABC的角平分线，则∠_B_A_D =∠CA_D_=2 ∠_C_A_B，
②AE是△ABC的中线，则CE =BE= 1BC，
③AF是△ABC的高线，则∠_A_F_B =∠_A_F_C =90°．
考点三有关三角形内、外角的计算例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件， 求 ∠A，∠B，∠C 中 未 知 角 的 度 数 . (1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x，则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°，∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思
想设未知数列方程求解.
例6如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x． 因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°， 所以x=39°,所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
5.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-
∠B，则∠B= 60°.
6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高， 若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数 是 20°，∠FBC的度数是 40°.
7.如图，在△ABC中，两条角平分线 BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°， 那么∠A的度数是 84° .
考点四多边形的内角和与外角和
例7已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 1，
求这个多边形的边数.解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则x+4x=180°,解得 x=36°.∴边数n=360°÷36°=10.
在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
例8如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度数．解：∵五边形的内角和是540°，∴每个内角为540°÷5=108°，∴∠E=∠B=∠BAE=108°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4， 由三角形内角和定理可知∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°，∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°．
【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样 的位置关系？为什么？解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：∵六边形ABCDEF的内角都相等，∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°，∴∠EDC=∠FAB=120°.∵∠1=∠2=60°，∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE，∵∠C=120°，∠2=60°，∴∠2+∠C=180°，∴AD∥BC.
8.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°， 求这个多边形的边数．解：设这个多边形的边数是n，依题意得（n-2）×180°=3×360°-180°，（n-2）=6-1， 解得n=7．∴这个多边形的边数是7．
考点五 本章中的思想方法
方程思想例9如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数. 解：设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理， 得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以∠C=75 °.
在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系
进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
【变式题】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1
解：设∠ 1=x,根据题意得∠2=x.因为∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2， 所以∠3=2x, ∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.
分类讨论思想例10已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则
【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论： 第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时 周长为22.【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
化归思想如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形 也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.A
例11如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度 数.
解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和 问题，我们发现，只要连接CD便转化为求五
解：连接CD，由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所 以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540°.
三角形的边：三边关系定理 高线中线：把三角形面积平分 角平分线三角形内角和：180°三角形外角和：360° 内角与外角关系
多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线
（ n 2 ) 1 8 0
内角和：（n-2) ×180 ° 外角和：360 °3 6 0
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