2021年浙江省金华市中考数学真题 (含解析)

这是一份2021年浙江省金华市中考数学真题 (含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省金华市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．实数﹣，﹣，2，﹣3中，为负整数的是（　　）
A．﹣ B．﹣ C．2 D．﹣3
2．+＝（　　）
A．3 B． C． D．
3．太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×108 B．15×107 C．1.5×107 D．0.15×109
4．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（　　）

A．x+2＞0 B．x﹣2＜0 C．2x≥4 D．2﹣x＜0
5．某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（　　）
如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．
请完成下面的说理过程．
解：已知∠1＝∠2，
根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．
再根据（※），得∠3＝∠4．

A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
6．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（　　）

A． B．
C． D．
7．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）

A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
9．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（　　）
A．先打九五折，再打九五折
B．先提价50%，再打六折
C．先提价30%，再降价30%
D．先提价25%，再降价25%
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（　　）

A． B．3π C．5π D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次根式中，字母x的取值范围是　 　．
12．（4分）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是　 　．
13．（4分）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是　 　．
14．（4分）如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为 　 　cm．

15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 　 　．

16．（4分）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．
（1）ED的长为 　 　．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为 　 　．

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．
18．（6分）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
19．（6分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．

20．（8分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求小聪成绩的方差．
（3）现求得小明成绩的方差为S小明2＝3（单位：平方分）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．

21．（8分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．

22．（10分）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．

23．（10分）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

24．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．


2021年浙江省金华市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．实数﹣，﹣，2，﹣3中，为负整数的是（　　）
A．﹣ B．﹣ C．2 D．﹣3
【分析】根据实数的分类即可做出判断．
【解答】解：A选项是负分数，不符合题意；
B选项是无理数，不符合题意；
C选项是正整数，不符合题意；
D选项是负整数，符合题意；
故选：D．
2．+＝（　　）
A．3 B． C． D．
【分析】根据同分母的分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：+＝＝，
故选：D．
3．太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×108 B．15×107 C．1.5×107 D．0.15×109
【分析】对于大于10的数，可以写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为正整数，n的值比原数的位数少1．
【解答】解：150 000 000＝1.5×108，
故选：A．
4．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（　　）

A．x+2＞0 B．x﹣2＜0 C．2x≥4 D．2﹣x＜0
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
【解答】解：A、x＞﹣2，故A错误；
B、x＜2，故B正确；
C、x≥2，故C错误；
D、x＞2，故D错误．
故选：B．
5．某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（　　）
如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．
请完成下面的说理过程．
解：已知∠1＝∠2，
根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．
再根据（※），得∠3＝∠4．

A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
【分析】先证l1∥l2，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：已知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，得l1∥l2，
再根据两直线平行，同位角相等，得∠3＝∠4．
故选：C．
6．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】直三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个等边三角形的底面组成．
【解答】解：选项A、B、C均可能是该直棱柱展开图，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，
故选：D．
7．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）

A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD＝DC,再利用锐角三角函数关系得出DC的长，即可得出答案。
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D,
∵AB＝AC＝2米,AD⊥BC,
∴BD＝DC,
∴cosα＝＝,
∴DC＝2cosα(米），
∴BC＝2DC＝2•2cosα＝4cosα(米）。
故选：A．

8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断点A在第二象限，点B在第四象限，从而判定y2＜0＜y1．
【解答】解：∵k＝﹣12＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y2＜0＜y1；
故选：B．
9．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（　　）
A．先打九五折，再打九五折
B．先提价50%，再打六折
C．先提价30%，再降价30%
D．先提价25%，再降价25%
【分析】设商品原标价为a，然后分别计算每种调价方案后的售价，进行比较求解．
【解答】解：设商品原标价为a元，
A.先打九五折，再打九五折的售价为：0.95×0.95a＝0.9025a；
B.先提价50%，再打六折的售价为：(1+50%)×0.6a＝0.9a；
C.先提价30%，再降价30%的售价为：（1+30%）（1﹣30%）a＝0.91a；
D.先提价25%，再降价25%的售价为：（1+25%）（1﹣25%）a＝0.9375a，
∵0.9a＜0.9025a＜0.91a＜0.9375a，
∴B选项的调价方案调价后售价最低，
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（　　）

A． B．3π C．5π D．
【分析】先设Rt△ABC的三边长为a，b，c，其中c为斜边，设⊙O的半径为r，根据图形找出a，b，c，r的关系，用含c的式子表示S1和S2，即可求出比值．
【解答】解：如图，

设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则a2+b2＝c2，①
取AB的中点为O，
∵△ABC是直角三角形，
∴OA＝OB＝OC，
∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，
∴O为圆心，
连接OG，OE，则OG，OE为半径，
由勾股定理得：
，②
由①②得a＝b，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次根式中，字母x的取值范围是　x≥3　．
【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．
【解答】解：当x﹣3≥0时，二次根式有意义，
则x≥3；
故答案为：x≥3．
12．（4分）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是　2　．
【分析】把方程组的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，
∴m＝2，
故答案为：2．
13．（4分）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是　　．
【分析】直接根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵共有150张奖券，一等奖5个，
∴1张奖券中一等奖的概率＝＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为 　2　cm．

【分析】连接BD,过点E作EF⊥AC于点F,根据菱形的性质可以证明三角形ABD是等边三角形，根据平移的性质可得AD∥A′E,可得＝,＝,解得A′E＝4(cm),再利用30度角所对直角边等于斜边的一半即可求出结论。
【解答】解：如图，连接BD,过点E作EF⊥AC于点F,

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB,BD⊥AC,
∵∠BAD＝60°，
∴三角形ABD是等边三角形，
∵菱形ABCD的边长为6cm,
∴AD＝AB＝BD＝6cm,
∴AG＝GC＝3(cm),
∴AC＝6(cm),
∵AA′＝2(cm),
∴A′C＝4(cm),
∵AD∥A′E,
∴＝,
∴＝,
∴A′E＝4(cm),
∵∠EA′F＝∠DAC＝DAB＝30°,
∴EF＝A′E＝2(cm)．
故答案为：2．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 　(﹣﹣,+)　．

【分析】如图，作AH⊥x轴于H，过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,根据点A 的横坐标为1，构建方程求出a,解直角三角形求出FJ,KT,可得结论．
【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,

在Rt△ADH中，∠ADH＝45°,
∴AH＝AD＝a,
∴OH＝4a,
∵点A的横坐标为1，
∴4a＝1,
∴a＝,
在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a＝,
∴PQ＝PF＝,
∵FK⊥PQ,
∴PK＝KQ,
∴FK＝PK＝QK＝,
∵KJ＝，PT＝1+(﹣)＝+,
∴FJ＝+,KT＝PT﹣PK＝+﹣＝+,
∴F(﹣﹣,+)．
故答案为：(﹣﹣,+)．
16．（4分）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．
（1）ED的长为 　13　．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为 　11.5　．

【分析】（1）由题意可得，△ABP∽△EDP，则＝，进而可得出DE的长；
（2）过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，易得△ABP′∽△E′FP′，由此可得＝，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出BD′的长，可求出∠BD′D的正切值，设P′F的长，分别表示E′F和E′D′及FG和GD′的长，再根据BD′＝13，可建立等式，可得结论．
【解答】解：（1）如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，
∴△ABP∽△EDP，
∴＝，
∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，
∴＝，
∴DE＝13；
故答案为：13．
（2）如图2，过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，

∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，
∵AB∥MN，
∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，
∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，
∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，
∴∠ABP′＝∠E′FP′，
又∠AP′B＝∠E′P′F，
∴△ABP′∽△E′FP′，
∴＝即，＝，
设P′F＝4m，则E′F＝6.5m，
∴E′D′＝6.5m，
在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，
由勾股定理可得，BD′＝13，
∴cos∠BD′D＝，
在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，
∴GD′＝2.5m，
∴FG＝GD′＝2.5m，
∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，
∴4+4m+2.5m+2.5m＝13，解得m＝1,
∴E′D′＝6.5,
∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．
故答案为：11.5．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．
【分析】先分别计算有理数的乘方，二次根式的化简，代入特殊角三角函数值，绝对值的化简，然后再计算．
【解答】解：原式＝﹣1+﹣4×+2
＝﹣1+2﹣2+2
＝1．
18．（6分）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）
＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2
＝﹣6x+2，
当x＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．
19．（6分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．

【分析】（1）根据矩形的性质求出AC＝2AO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO＝2，求出BD；
（2）根据勾股定理求出AD,然后根据等腰三角形的性质求得AE,然后解直角三角形求得tanα的值．
【解答】解：(1)∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝2，
∴BO＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴矩形对角线的长为4；
（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，
∵OA＝OD,OE⊥AD于点E，
∴AE＝DE＝AD＝,
∴tanα＝＝．
20．（8分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求小聪成绩的方差．
（3）现求得小明成绩的方差为S小明2＝3（单位：平方分）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．

【分析】（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可；
（2）根据方差的计算方法计算即可；
（3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小林的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定．
【解答】解：（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
小聪成绩的平均数：（7+8+7+10+7+9）＝8，
小明成绩的平均数：（7+6+6+9+10+10）＝8，
答：应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是8，8；
（2）小聪成绩的方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝；
（3）小聪同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差方差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定．故小聪同学的成绩较好．
21．（8分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．

【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离;
（3）代入x＝10求出y值，进而可得出点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上，将与1.8比较后即可得出顶部F不会碰到水柱．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．
又∵≈1.83＞1.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
22．（10分）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．

【分析】（1）①利用三角形内角和定理求解即可。
②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．想办法求出OH,PH,可得结论。
（2）如图2中，连接AD,OD．证明∠AOB＝72°可得结论。
【解答】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°,
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,
∵∠AOB＝75°,
∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
∴∠OPO′＝120°,
∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．

②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．
∵∠BHO＝90°,
∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,
∵FO＝FB,
∴∠FOB＝∠FBO＝15°,
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,
设OH＝m,则HF＝m,OF＝FB＝2m,
∵OB2＝OH2+BH2,
∴62＝m2+(m+2m)2,
∴m＝或﹣（舍弃），
∴OH＝,BH＝,
在Rt△PBH中，PH＝＝,
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．

(2)如图2中，连接AD,OD．
∵＝,
∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,
由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,
∵PD∥OB,
∴∠DPB＝∠OBP,
∴∠DPB＝∠PBD,
∴DP＝DB＝AD,
∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,
∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,
∴△AOD≌△BOD,
∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,
∵OB＝OD,
∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,
∴∠DOB＝36°,
∴∠AOB＝72°，
∴的长＝＝。


23．（10分）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可．
（2）①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可．
②描点法在车上的图象，根据函数图象可得结论（答案不唯一）．
③由题意可知直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,构建方程组，利用△＝0，求出k可得结论．
【解答】解：（1）∵AC＝4,CD＝3,
∴AD＝AC﹣CD＝1,
∵四边形ABED是正方形，
∴AB＝1,
∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°,
∴四边形ABOC是矩形，
∴OB＝AC＝4,
∴A(4,1),
∴k＝4．

(2)①由题意，A(x,x﹣z),
∴x(x﹣z)＝4,
∴z＝x﹣．

②图象如图所示．

性质1：x＞0时，y随x的增大而增大．
性质2：x＜0时，y随x的增大而增大．

③设直线的解析式为y＝kx+b,
把（3,2）代入得到，2＝3k+b,
∴b＝2﹣3k,
∴直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,
由,消去y得到，（k﹣1）x2+(2﹣3k)x+4＝0,
当△＝0时，(2﹣3k)2﹣4(k﹣1)×4＝0,
解得k＝或2，
当k＝时，方程为x2﹣x+4,解得x＝6．
当k＝2时，方程为x2﹣4x+4＝0,解得x＝2．
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或6．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）①由BC⊥AB,CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB,故∠ADB＝∠COD,从而可得∠COD＝∠CDO,CD＝CO；
②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m,m),可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝,即＝，设AM＝3n,则OM＝8n,Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）过A作AM⊥OB于M,设OB＝x,则BM＝8﹣x,AB＝,由△AMB∽△BOC,对应边成比例可得OC＝,Rt△BOC中，BC＝,以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝,则＝,可得OB＝4；②若＝,则＝,解得OB＝4+或OB＝4﹣．
【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB,CO⊥BO，
∴∠ABC＝∠BCO＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，
∵BA＝BO,
∴∠BAD＝∠DOB,
∴∠ADB＝∠COD,
∵∠ADB＝∠CDO,
∴∠COD＝∠CDO,
∴CD＝CO；
②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：

∵M在直线l：y＝x上，设M（m,m),
∴MN＝|m|＝﹣m,ON＝|m|＝﹣m,
Rt△MON中，tan∠OMN＝＝,
而OA∥MN,
∴∠AOM＝∠OMN,
∴tan∠AOM＝,即＝，
设AM＝3n,则OM＝8n,
Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，
又A的坐标为（﹣，0），
∴OA＝，
∴(3n)2+(8n)2＝()2,
解得n＝1（n＝﹣1舍去），
∴AM＝3，OM＝8，
∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB,∠CBO＝45°,
∴∠ABM＝45°，
∵AM⊥OB，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，
∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，
等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，
∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，
∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似,理由如下：
过A作AM⊥OB于M,如图：

由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x,则BM＝8﹣x,AB＝,
∵CO⊥BO，AM⊥BO,AB⊥BC,
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO,
∴△AMB∽△BOC,
∴＝,即＝,
∴OC＝,
Rt△BOC中，BC＝＝,
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：
①若＝,则＝,
解得x＝4,
∴此时OB＝4；
②若＝,则＝,
解得x1＝4+,x2＝4﹣,
∴OB＝4+或OB＝4﹣；
综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB 的长度为：4或4+或4﹣；