2021年内蒙古乌兰察布市中考数学真题 (含解析)

这是一份2021年内蒙古乌兰察布市中考数学真题 (含解析)，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．下列运算结果中，绝对值最大的是（　　）
A．1+（﹣4） B．（﹣1）4 C．（﹣5）﹣1 D．
3．已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
4．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣
6．若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（　　）
A．7 B．4 C．3 D．3﹣2
7．定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
8．如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
9．下列命题正确的是（　　）
A．在函数y＝﹣中，当x＞0时，y随x的增大而减小
B．若a＜0，则1+a＞1﹣a
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．各边相等的圆内接四边形是正方形
10．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：
①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．
其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。
13．因式分解：+ax+a＝　 　．
14．化简：＝　 　．
15．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 　 　．
16．某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为 　 　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　 　．

18．如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为 　 　．

19．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 　 　．

20．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 　．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
21．（8分）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b＝2a．请根据所给信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩（分）
70
80
90
100
人数
3
a
b
5
（1）求统计表中a，b的值；
（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；
（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

22．（8分）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（+）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离；
（2）求隧道AB的长度．

23．（10分）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
24．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．

25．（12分）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，连接DP，求∠CPD的度数；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，当BP＝CP时，连接EP并延长，交AC于点F，若AB＝4BP，求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，连接MP．若∠CMP＝150°，AB＝6a，MP＝a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点．
（1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时，
①求点M的坐标；
②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE平分∠AFG．


2021年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：因为46.61万＝466100＝4.661×105，
所以将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于5．
故选：B．
2．下列运算结果中，绝对值最大的是（　　）
A．1+（﹣4） B．（﹣1）4 C．（﹣5）﹣1 D．
【分析】先计算各个选项，再求计算结果绝对值，最后比较大小得出答案．
【解答】解：因为|1+（﹣4）|＝|﹣3|＝3，|（﹣1）4|＝|1|＝1，|（﹣5）﹣1|＝|﹣|＝，||＝|2|＝2，
且＜1＜2＜3，
所以绝对值最大的是选项A．
故选：A．
3．已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【分析】根据题意可分为两种情况，①点C在线段AB上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案；②BC在线段AB的延长线上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案．
【解答】解：根据题意分两种情况，
①如图1，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝＝；
②如图2，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝＝×6＝3．
∴线段AD的长为1或3．
故选：C．


4．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】两双不同的鞋用A、a、B、b表示，其中A、a表示同一双鞋，B、b表示同一双鞋，画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的鞋是同一双的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：两双不同的鞋用A、a、B、b表示，其中A、a表示同一双鞋，B、b表示同一双鞋，
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4，
所以取出的鞋是同一双的概率＝＝．
故选：A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣
【分析】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC），将相关量代入求解即可．
【解答】解：根据题意可知AC＝＝＝1，则BE＝BE＝AD＝AC＝1，
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝﹣（）＝1﹣＝1﹣，
故选：D．
6．若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（　　）
A．7 B．4 C．3 D．3﹣2
【分析】利用条件得到x﹣1＝，两边平方得x2﹣2x＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝+1，
∴x﹣1＝，
∴（x﹣1）2＝2，即x2﹣2x+1＝2，
∴x2﹣2x＝1，
∴x2﹣2x+2＝1+2＝3．
故选：C．
7．定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可．
【解答】解∵a⊗b＝a﹣2b，
∴x⨂m═x﹣2m．
∵x⨂m＞3，
∴x﹣2m＞3，
∴x＞2m+3．
∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，
∴2m+3＝﹣1，
∴m＝﹣2．
故选：B．
8．如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】由题意得，∠2＝60°，由平角的定义可得∠5＝70°，再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图，

∵l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠1+∠2+∠3＝240°，
∴∠2＝240°﹣（∠1+∠3）＝60°，
∵∠3+∠2+∠5＝180°，∠3＝50°，
∴∠5＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠4＝∠5＝70°，
故选：B．
9．下列命题正确的是（　　）
A．在函数y＝﹣中，当x＞0时，y随x的增大而减小
B．若a＜0，则1+a＞1﹣a
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．各边相等的圆内接四边形是正方形
【分析】利用反比例函数的性质、不等式的性质、圆的切线的判定定理及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．
【解答】解：A、在函数y＝﹣中k＝﹣＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故原命题错误，不符合题意；
B、若a＜0，则1+a＜1﹣a，故原命题错误，不符合题意；
C、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线，故原命题错误，不符合题意；
D、各边相等的圆内接四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
10．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：∵点（1，﹣b）在第一象限．
∴﹣b＞0．
∴b＜0．
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b）．
∴﹣b＝a﹣b+c．
∴a+c＝0．
∵a≠0．
∴ac＜0．
∴一次函数y＝bx﹣ac的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由轴对称的性质可得AC＝CD，AB＝BD，可证四边形ABDC是菱形，由菱形的性质可得AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，在Rt△BOD中，利用勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求EO，AE的长，即可求解．
【解答】解：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，
∴AC＝CD，AB＝BD，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝AB＝BD，
∴四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，
∴BD＝＝＝5，
∵CE⊥CD，
∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO，
∴∠CAO＝∠ECO，
∴tan∠ECO＝＝，
∴，
∴EO＝，
∴AE＝，
∴＝＝，
故选：D．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：
①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．
其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①根据矩形的性质计算CD，OD和BC的长，利用三角函数定义可作判断；
②利用待定系数法可得OB的解析式，列方程组可得交点E的坐标，根据中点坐标的性质可知：E是OB的中点，可作判断；
③根据三角形面积公式计算△BEF和△DOE的面积，可作判断；
④根据勾股定理计算OD和DF的长，相比可作判断．
【解答】解：①矩形OABC中，
∵B（4，2），
∴OA＝4，OC＝2，
由勾股定理得：OB＝＝2，
当y＝2时，2＝，
∴x＝1，
∴D（1，2），
∴CD＝1，
由勾股定理得：OD＝＝，
∴sin∠DOC＝＝＝，
cos∠BOC＝＝，
∴sin∠DOC＝cos∠BOC，
故①正确；
②设OB的解析式为：y＝kx（k≠0），
把（4，2）代入得：4k＝2，
∴k＝，
∴y＝x，
当x＝时，x＝±2，
∴E（2，1），
∴E是OB的中点，
∴OE＝BE，
故②正确；
③当x＝4时，y＝，
∴F（4，），
∴BF＝2﹣＝，
∴S△BEF＝（4﹣2）＝，
S△DOE＝﹣﹣
＝4﹣1﹣
＝，
∴S△DOE＝S△BEF，
故③正确；
④由勾股定理得：DF＝＝，
∵OD＝，
∴＝，
即OD：DF＝2：3．
故④正确；
其中正确的结论有①②③④，共4个．
故选：A．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。
13．因式分解：+ax+a＝　a（x+2）2　．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x2+4x+4）＝a（x+2）2，
故答案为：a（x+2）2．
14．化简：＝　1　．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：原式＝•（m+2）
＝
＝1．
故答案为1．
15．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 　2　．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a的值；将a、b的值代入计算得出a+b的值，再求其立方根即可．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，
∴2b﹣1+b+4＝0，
∴b＝﹣1．
∴b+4＝﹣1+4＝3，
∴a＝9．
∴a+b＝9+（﹣1）＝8，
∵8的立方根为2，
∴a+b的立方根为2．
故答案为：2．
16．某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为 　3.6　．
【分析】根据题意，由中位数的定义可得x的值，计算出这组数据的平均数，再根据方差计算公式列式计算即可．
【解答】解：根据题意，数据5，10，7，x，10的中位数为8，
则有x＝8，
这组数据的平均数为（5+10+7+8+10）＝8，
则这组数据的方差S2＝[5﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2]＝3.6，
故答案为：3.6．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　　．

【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CD，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，从而得△MAC∽MBD，△CMN∽CDB，由相似比，得到MN的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CD，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，
∴△MAC∽MBD，△CMN∽CDB，
∴，，
∴，
∴，
∴MN＝．
故答案为：．
18．如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为 　24+6　．

【分析】连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，利用平行四边形的性质和切线的性质证明四边形OECF为矩形，利用勾股定理求得OC，进而求得平行四边形的周长．
【解答】解：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EOD+∠OEC＝180°，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∴∠OEC＝90°
∴∠EOD＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFO＝90°，
∴四边形OECF为矩形，
∴FC＝OE，
∵AD为直径，AD＝12，
∴FC＝OE＝OD＝AD＝6，
∵OC＝AB，CF⊥AD，
∴OF＝OD＝3，
在Rt△OFC中，由勾股定理得，
OC2＝OF2+FC2＝32+62＝45，
∴AB＝OC＝3，
∴▱ABCD的周长为12+12+3+3＝24+6，
故答案为：24+6．
19．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 　22.5°　．

【分析】连接AE，根据SAS证△ADE≌△CDE，得出AE＝CE＝EF，再证△AEF为等腰直角三角形，得出∠AFB＝67.5°，即可求出∠BAF的度数．
【解答】解：如右图，连接AE，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°，
∵AD＝DE，∠ADE＝45°，
∴∠AED＝＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°．

20．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　4　．
【分析】解方程x2﹣2x﹣3＝0得A（﹣1，0），B（3，0），则抛物线的对称轴为直线x＝1，再确定C（0，﹣3），D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE+DE的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD的解析式为y＝x+1，则F（0，1），然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），
连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），
当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．
故答案为4．

三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
21．（8分）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b＝2a．请根据所给信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩（分）
70
80
90
100
人数
3
a
b
5
（1）求统计表中a，b的值；
（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；
（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

【分析】（1）根据每组学生均为20名求出a，b的和，由b＝2a即可求解；
（2）小明的计算不正确，根据加权平均数的计算方法可以解答本题；
（3）计算乙组20名学生竞赛成绩的平均分，比较即可得出答案．
【解答】解：（1）∵每组学生均为20名，
∴a+b＝20﹣3﹣5＝12（名），
∵b＝2a，
∴a＝4，b＝8；

（2）小明的计算不正确，
正确的计算为：＝87.5（分）；

（3）竞赛成绩较好的是甲组，
理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分：100×+90×+80×+70×＝10+22.5+20+28＝80.5（分），
80.5＜87.5，
∴竞赛成绩较好的是甲组．
22．（8分）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（+）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离；
（2）求隧道AB的长度．

【分析】（1）过A作AE⊥CD于E，由含30°角的直角三角形的性质得CE＝AC＝（km），AE＝CE＝（km），再证AE＝DE，即可求解；
（2）由（1）得AD＝AE＝（km），∠ADE＝45°，再证∠ADB＝90°，然后由勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示：
则∠AEC＝∠AED＝90°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝AC＝（km），AE＝CE＝（km），
∴DE＝CD﹣CE＝（+）﹣＝（km），
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝×＝（km）；
（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝（km），∠ADE＝45°，
∵∠CDB＝135°，
∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，
∴AB＝＝＝3（km），
即隧道AB的长度为3km．

23．（10分）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；
（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可．
【解答】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，
根据题意，得，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的根，
所以小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为1800÷150＝12（分），
骑自行车所用时间为12﹣4.5＝7.5（分），
∵在家取作业本和取自行车共用了3分，
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3＝22.5（分）．
又∵22.5＞20，
所以小刚不能在上课前赶回学校．
24．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．

【分析】（1）根据圆周角定理得出∠AGF＝∠ADF，再根据角之间的互余关系及等量代换推出∠GAD＝∠EAF，最后利用圆内接四边形的性质即可得证；
（2）作出辅助线OF，可得：△AHM∽△FOM，△AHM∽△ADB，根据相似三角形的性质得到三角形边之间的关系，最后根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，
∵四边形AEDF是圆的内接四边形，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠GAD+∠EDF＝180°．
（2）解：如图，

连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，GF⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴＝，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），
∴△AHM∽△FOM，
∴＝＝2，
∵AD＝4，
∴OF＝OA＝2，
∴＝2，解得OM＝1，AM＝OA﹣OM＝1，
设HM＝x，则AH＝2x，
在△AHM中有：AH2+HM2＝AM2，
即（2x）2+x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AH＝，
∵OF＝OA＝2，
∴AF＝2，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF2，
即（）2+HF2＝（2）2，
解得HF＝，或HF＝﹣（舍去），
故HF的长为．
25．（12分）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，连接DP，求∠CPD的度数；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，当BP＝CP时，连接EP并延长，交AC于点F，若AB＝4BP，求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，连接MP．若∠CMP＝150°，AB＝6a，MP＝a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．

【分析】（1）如图1，连接BD，先证明△BAP≌△BCD（SAS），进而可证明△BDP是等边三角形，由BC是⊙O的直径，可得∠BPC＝90°，即可求出答案；
（2）如图2，连接AP交BC于D，运用等边三角形性质可得BD＝AB，AD＝AB，由AB＝4BP，可得BP＝AB，运用勾股定理可得PD＝＝AB，得出点P是AD的中点，由EC＝3BE，得出点E是BD的中点，进而得出EF∥AB，△CEF∽△CBA，运用相似三角形性质即可证得结论；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，交AC于点F，作PH⊥AC于点H，运用三角函数和勾股定理可求得AD＝3a，PE＝a，再利用S1﹣S2＝S△ABC﹣S△BCP即可求出答案．
【解答】解：（1）如图1，连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
在△BAP和△BCD中，
，
∴△BAP≌△BCD（SAS），
∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD，
∵∠ABP+∠PBC＝60°，
∴∠CBD+∠PBC＝60°，
即∠PBD＝60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴∠BPD＝60°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC＝90°，
∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；
（2）如图2，连接AP交BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BP＝CP，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝AB，
∴AD＝AB•sin∠ABC＝AB•sin60°＝AB，
∵AB＝4BP，
∴BP＝AB，
∴PD＝＝＝AB，
∴PD＝AD，即点P是AD的中点，
∵EC＝3BE，
∴BE＝BC，BC＝4BE，
∵BD＝BC，
∴BE＝BD，即点E是BD的中点，
∴EP是△ABD的中位线，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝＝＝，
∴4EF＝3AB；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，交AC于点F，作PH⊥AC于点H，
由（2）得：AD＝AB＝3a，∠ACB＝60°，BC＝AC＝AB＝6a，
∵∠CMP＝150°，
∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°，
∵∠CHP＝90°，
∴PH＝PM•sin∠PMF＝a•sin30°＝a，
MH＝PM•cos∠PMF＝a•cos30°＝a，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CFE＝∠PMF，
∴PF＝PM＝a，
∴FH＝PF•cos∠PFH＝a•cos30°＝a，
∵AM＝2MC，
∴CM＝AC＝×6a＝2a，
∴CF＝CM++MH+HF＝5a，
∴EF＝CF•sin∠ACB＝5a•sin60°＝a，
∴PE＝EF﹣PF＝a﹣a＝a，
∴S1﹣S2＝S△ABC﹣S△BCP＝BC•AD﹣BC•PE＝BC•（AD﹣PE）＝×6a×（3a﹣a）＝a2．



26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点．
（1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时，
①求点M的坐标；
②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE平分∠AFG．

【分析】（1）①将点M坐标代入抛物线中得出n＝﹣m2+4m，再联立n＝3m，求解即可得出结论；
②先求出点B的坐标，进而求出直线BM的解析式，求出直线BM与x轴的交点P的坐标，判断出PO＝PM，再判断出PD＝PC，即可得出结论；
（2）先判断出点M是EN的中点，进而求出点M的坐标，进而求出直线EF的解析式，进而求出OL，OF，再用勾股定理求出FG，最后用面积法求出LQ，进而判断出LQ＝LO，即可得出结论．
【解答】解（1）①∵点M（m，n）在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴n＝﹣m2+4m（Ⅰ），
∵n＝3m（Ⅱ），
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，（舍去）或，
∴M（1，3）；

②OD＝MC，理由：
如图1，∵点B（，y）在该抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴y＝﹣（）2+4×＝，
∴B（，），
由①知，M（1，3），
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，则﹣x+＝0，
∴x＝5，
延长MB交x轴于P，
∴P（5，0），
∴OP＝5，
∵M（1，3），
∴PM＝＝5＝OP，
∴∠POM＝∠PMO，
∵CD∥MO，
∴∠PDC＝∠POM，∠PCD＝∠PMO，
∴∠PDC＝∠PCD，
∴PD＝PC，
∴PO﹣PD＝PM﹣PC，
∴OD＝MC；

（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴E（2，），
令y＝0，则﹣x2+4x＝0，
∴x＝0或x＝4，
∴A（4，0），
∵AN⊥x轴，
∴点N的横坐标为4，
由图知，NF＝EF+EM+MN，MF＝EF+EM，
∵EF+NF＝2MF，
∴EF+EF+EM+MN＝2（EF+EM），
∴MN＝EM，
过点M作HM⊥x轴于H，
∴MH是梯形EKAN的中位线，
∴M的横坐标为3，
∵点M在抛物线上，
∴点M的纵坐标为﹣32+4×3＝3，
∴M（3，3），
∵点E（2，），
∴直线EF的解析式为y＝x+1，
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣，
∴F（﹣，0），
∴OF＝，
∵令y＝0，则y＝1，
记直线EF与y轴的交点为L，
∴L（0，1），
∴OL＝1，
∵G（0，），
∴OG＝，
∴LG＝OG﹣OL＝，
根据勾股定理得，FG＝＝＝，
过点L作LQ⊥FG于Q，
∴S△FLG＝FG•LQ＝LG•OF，
∴LQ＝＝＝1＝OL，
∵OL⊥FA，LQ⊥FG，
∴FE平分∠AFG，
即射线FE平分∠AFG．