河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高三上学期第四次月考理科数学试题

阳一中2021—2022学年高三第四次月考

理数答案

BDBAC    ABCAD      AB

13. 2   14.    15．   16.

17．解：（1）因为①，

所以 ②，

①②两式相减，得 ，

所以③．

又当时，得，不满足上式．

所以数列的通项公式为．

（2）由（1）知，，所以不成立，

当时，

，

由，得．

令，则为增函数，

又．

因此要使成立，只需，

故使成立的正整数的最小值为7．

18.解：（1）根据可得，

∴，

∴，∴，

即，∴.

又∵，∴.

（2）设，.

在中，由余弦定理可得.

在中，由余弦定理可得.

由于，故，

即，

整理可得.①

在中，由余弦定理可知.

代入①式整理可得.所以.

据此可知的面积 .

19．（1）证明：因为，

所以平面，

又因为平面，所以.

又因为，

所以平面.

（2）因为，

所以是二面角的平面角，即，

在中，，

取的中点，连接，因为,

所以,由（1）知，平面，为的中位线，

所以，即两两垂直，

以为原点建立如图所示的坐标系，设，则

，

，设平面的一个法向量为，

则由得令，得，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．（1）解：，则，

又，

所以曲线在处的切线方程为，即．

（2）证明：令，则．

当时，，单调递增，，，所以在上恰有1个零点．

当时，单调递增，，，

则存在，使得，则在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以存在，使得在上单调递增，在上单调递减，又，，所以在上恰有1个零点．

当时，，以在上单调递增，因为，所以在上没有零点．

综上，在上有且仅有2个零点．

21．解：（Ⅰ）依题意，，.

当时，.

所以当时，，当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

当时，令，解得或.

若，则，所以函数在上单调递增；

若，则，

所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；

若，则，

所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）依题意，得，所以.

要证，即证，即证，即证,

即证，所以只需证时，成立即可.

令，则.

令，则.

所以在上单调递增.

所以，即，所以.

所以在上单调递增.所以，

所以，即.

22．解：（1）曲线的参数方程为为参数）．转换为．所以①，②，

②①得：．

曲线的极坐标方程为．根据，转换为直角坐标方程为．

（2）点在直线上，转换为参数方程为为参数），

代入，得到和为点和对应的参数），

所以，，

所以．

23．解：

（1）因为，所以，

所以不等式等价于或或，

解得或.

所以不等式的解集为或.

（2）因为，所以，

根据函数的单调性可知函数的最小值为，

因为恒成立，所以，解得.

所以实数的取值范围是.