2020-2021学年北京市大兴区高一上学期期末检测数学试题（解析版）

2020-2021学年北京市大兴区高一上学期期末检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据交集运算直接求解.

【详解】，，

，

故选：C

2．等于 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式计算即可.

【详解】

故选：B

3．等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数幂运算，以及对数运算，可直接得出结果.

【详解】.

故选：B.

4．下列函数中，值域为区间的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本初等函数的性质，可直接求出ABC对应的函数的值域，判断AB不满足题意，C正确；由特殊值，可判断D选项不满足题意.

【详解】A选项，因为，即其值域为，故A不满足题意；

B选项，因为指数函数的值域为，所以的值域为，故B不满足题意；

C选项，因为，所以，即其值域为，故C正确；

D选项，当时，，因此函数在定义域内的值域不是，故D不满足题意；

故选：C.

5．命题“，使得x2＋2x<0”的否定是（    ）

A．使得 B．使得

C．都有 D．都有

【答案】C

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以，命题“∃x∈R，x2+2x＜0”的否定是：∀x∈R，使x2+2x≥0．

故选C．

【点睛】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．属于基础题．

6．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】按照集合间的关系判断即可

【详解】由可得或

记，

故是的真子集

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

7．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】化简各选项中的函数的解析式，利用正弦型、余弦型、正切型函数的基本性质求出各选项中函数的最小正周期，并判断出各选项中的奇偶性，由此可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，该函数为奇函数，不合乎要求；

对于B选项，，函数的最小正周期为，且该函数为奇函数，不合乎要求；

对于C选项，，函数的最小正周期为，且该函数为奇函数，不合乎要求；

对于D选项，，函数的最小正周期为，且该函数为偶函数，合乎要求.

故选：D.

8．方程的解所在的区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，根据函数零点存在定理判断函数的零点所在区间即可判断方程的解所在区间.

【详解】令，在定义域上单调递增，

，，

，函数在上有一个零点，即方程的解所在的区间是.

故选：C

9．已知函数是上的减函数，则a的范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据分段函数的单调性建立不等式组求解即可.

【详解】因为函数是上的减函数，

所以满足，

解得，

故选：D

10．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（　　）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】C

【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．

【详解】由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，

故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图 (3)成本保持不变，但提高了票价，即③对；

故选：C．

【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．

二、填空题

11．函数的定义域为________

【答案】

【分析】保证真数大于零即可.

【详解】故

故定义域为：

故答案为：

12．三个数按照由小到大的顺序排列是________．

【答案】

【分析】可按照函数的单调性比较，或者利用中间值1作比较.

【详解】在上为减函数

故

故从小到大排序为：

故答案为：

13．若二次函数f（x）的图象关于x＝2对称，且f（a）≤f（0）＜f（1），则实数a的取值范围是_____．

【答案】a≤0或a≥4

【分析】分析得到二次函数f（x）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．再对分类讨论得解.

【详解】由题意可知二次函数f（x）的对称轴为x＝2，

因为f（0）＜f（1），所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，

所以二次函数f（x）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．

①当a∈时：，解得a≤0．

②当a∈（2，+∞）时：因为f（4）＝f（0），

所以，解得a≥4．

综上所求：a≤0或a≥4．

故答案为a≤0或a≥4．

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、双空题

14．已知角终边与单位圆的交点为，则________；________．

【答案】       

【分析】根据三角函数定义直接求解，利用诱导公式求.

【详解】由终边与单位圆的交点可知，

，，

所以.

故答案为：；

15．已知函数，，且，，则________；的一个解析式可以是________．

【答案】48       

【分析】根据题意可逐项求出，利用累乘法可得，令可求出函数的一个解析式.

【详解】根据题意得

，

，

累乘可得，又，，

令，则，，

的一个解析式可以是.

故答案为：48；

四、解答题

16．（1）已知，求的值；

（2）若，求的一个值．

【答案】（1）；（2）（答案不唯一）.

【分析】（1）根据角的范围，由平方关系求出余弦值，再利用商的关系可得答案；

（2）逆用两角和的正弦公式化简原等式，可得，得到，进而可得答案.

【详解】（1）因为，

所以

所以；

（2）因为

，

即，

所以，

时，.

【点睛】方法点睛：同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.

17．已知关于x的不等式（）

（1）若，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为R，求实数a的范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）移项、配方、分解因式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可．

（2）转化为一元二次方程无实数根，利用判别式小于零列不等式求解即可．

【详解】（1）当时，不等式即为，

可得，即 ，

解得或．

即不等式的解集为．

（2）因为不等式的解集为，

所以恒成立

则函数的图象恒在轴上方，与轴无交点；

从而一元二次方程无实数根，

，

解得：．

即实数的取值范围为．

【点睛】结论点睛：解一元二次不等式时首项分解因式，若，则的解集是；的解集是.

18．已知函数，，其中且，．

（Ⅰ）求函数和的解析式；

（Ⅱ）在同一坐标系中画出函数和的图象；

（Ⅲ）设，写出不等式的解集．

【答案】(1) (2)图象见解析   (3)

【分析】（1）由解出a，即可求出解析式；

（2）根据解析式作出大致图象；

（3）由图象可得出的解.

【详解】(1) ,,

,解得，

.

(2)作出图象如下，

(3)因为当时，，

由图象可知， 的解为.

19．已知函数．

（1）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；

（2）说明函数的图像可以通过的图像经过怎样的变换得到？

（3）若，写出的值.

【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析；（3）.

【分析】（1）令分别等于0，，，，，求出对应的坐标，再描点作图即可作出函数在一个周期上的简图．

（2）将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，再将得到的图象向左平移得，然后将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍即可．

（3）由，可得或，结合即可得答案.

【详解】（1）列表：

描点，连线，作图如下：

（2）将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，再将得到的图象向左平移得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，；

（3）因为，所以，

或，

即或，

又因为，

所以的值为.

【点睛】方法点睛：三角函数图象变换步骤：先向左()或向右()平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来(横坐标不变)，这时的曲线就是的图象．

20．已知函数．

（1）判断在内的单调性，并证明你的结论；

（2）是否存在实数a使函数为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）在内为增函数，证明见解析（2）

【分析】（1）在内任取两个变量x1，x2，并设，作差，差式变形成分式，利用指数函数的单调性判断正负，进而得函数的单调性；

（2）因为定义域为R，所以 ，解方程求得 ．利用奇函数定义证明．

【详解】（1）在内为增函数.

证明：设任意x1，x2∈，且，

则=．

∵是R上的增函数，且，

∴，

∴

即，

∴函数为上的增函数；

（2）由函数定义域为R知，若函数为奇函数，

则，

∴a=1．

当a=1时，．

∴，

此时为奇函数，满足题意，

∴a=1．

21．在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价2万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）.在甲提供的资料中，有：①这种消费品进价每件14元；②该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系如图；③每月需要各种开支2000元.

（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？

（Ⅱ）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额.

（Ⅲ）若乙只依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还完转让费）？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当商品价格每件元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，且最大余额为元；（Ⅲ）不能.

【分析】根据题中条件，先确定月销量（百件）与销售价格（元）的函数关系式，设每月的利润余额为，得出与之间函数关系式；

（Ⅰ）令，求解对应不等式，即可求出结果；

（Ⅱ）根据与之间函数关系式，结合二次函数的性质，求出的最大值，以及取最大值时的值，即可确定结果；

（Ⅲ）由（Ⅱ）中最大值，计算三年的利润余额的最大值，即可判断出结果.

【详解】由该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系图可得，

当时，；

当时，，

设每月的利润余额为，由题意，，

（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，则；

当时，由得，整理得，解得，则；

当时，由得，整理得，解得，则，

综上，，

即为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在内；

（Ⅱ）当时，，当且仅当（元）时，；

当时，，当且仅当（元）时，；

因为，所以当商品价格每件元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，且最大余额为元；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，月利润余额最大为元，则三年利润余额的总和最大为，故不能在3年内脱贫.

【点睛】思路点睛：

求解函数模型问题时，通常需要根据题中所给条件，建立适当的函数模型（有时题中会给定函数模型），再利用函数基本性质，即可求解.