2020-2021学年北京市第八中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年北京市第八中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算．

【详解】，所以．

故选：A．

【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．

2．(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可．

【详解】解：

故选：．

【点睛】本题考查了向量的加减运算，属于基础题．

3．已知角的终边经过点，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义即可求解.

【详解】解：根据三角函数的定义：，

.

故选：D.

4．，，，则与的夹角（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量数量积定义计算两向量夹角余弦后可得角的大小．

【详解】由已知，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量数量积的定义．

5．以下函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】选项A中，，满足，是偶函数，但由幂函数性质知在上单调递增，故不符合题意；

选项B中，由幂函数性质知，在定义域内单调递增，无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；

选项C中，由指数函数性质可知，在R上单调递减，但，故不是偶函数，不符合题意；

选项D中，定义域，满足，故是偶函数，当 时，，由对数函数性质可知，在上单调递减，故符合题意.

故选：D.

6．两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下边的茎叶图所示，若两人的平均成绩分别是，观察茎叶图，下列结论正确的是（   ）

A．，比成绩稳定 B．，比成绩稳定

C．，比成绩稳定 D．，比成绩稳定

【答案】A

【分析】计算A、B的平均数，并且观察A、B的五次成绩离散程度，即可得出正确的结论．

【详解】由茎叶图可知A平均成绩为92. B的成绩为98.

从茎叶图上可以看出B的数据比A的数据集中，B的成绩比A的成绩稳定，

故选A.

【点睛】本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应观察茎叶图中的数据，根据数据解答问题，是基础题．

7．函数的图象是（ ）

A．
 B．
 

C． D．

【答案】C

【分析】先由函数的图象平移得到的图象，再利用对称性画出的图象即可.

【详解】由函数的图象向右平移一个单位，即得到的图象，

保留x轴上方的图象，再将x轴下方部分的图象关于x轴对称到x轴的上方，即得到函数的图象.

故选：C.

8．设x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则x0所在的区间为（　　）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

【答案】C

【分析】由函数的解析式可得，再根据函数的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案．

【详解】因为是函数的零点，由，

所以函数的零点所在的区间为，

故选C．

【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

9．已知函数的定义域是，满足且对于定义域内任意x，y都有成立，那么的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据题意令，代入，即可得出，即可求出的值.

【详解】解：对于定义域内任意x，y，都有成立，

令，

得：，

.

故选：C.

10．已知函数，，若存在2个零点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先令得到，即等价于与有两个交点，然后画出函数图像，根据图像即可求解.

【详解】解：令，

即，

即与有两个交点，

分别画出与的图象，如下所示：

由图可知：当时，即时，与有两个交点，

故.

故选：C.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、填空题

11．已知幂函数的图象经过点，则________.

【答案】

【分析】将点代入函数求出，即得解析式.

【详解】点代入，得，故，故.

故答案为：.

12．设，向量，，若.则m等于_____.

【答案】

【分析】根据两个向量平行的计算公式，即可求解.

【详解】解：，

，

解得：.

故答案为：.

13．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：

则至少派出医生2人的概率是________.

【答案】

【分析】从频率分布表中找出至少派出医生2人的情况，将其对应概率相加即得结果.

【详解】由题意可知，事件“至少派出医生2人”包含“派出的医生数是2、3、4、5人及以上”，这几个事件是互斥的，概率之和为，故至少派出医生2人的概率是.

故答案为：.

14．已知点A，B分别在函数和的图像上，连接A，B两点，当轴时，A，B两点的距离是__________.

【答案】

【分析】根据轴，得到，再两边同时取对数，即可得到，即可求出A，B两点的距离.

【详解】解： 点A，B分别在函数和的图像上，

，

当轴时，即，

两边同时取对数得：，

即，

即，

，

即，

故A，B两点的距离为：.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用轴，得到.

15．如图，向量若 则_____

【答案】-.

【分析】运用向量的线性运算进行求解

【详解】由题,所以,整理得

,故,所以x=,

y=,x-y=-.

三、双空题

16．已知数集其中，，2，，n，，若对任意的2，，都存在，，使得下列三组向量中恰有一组共线：

向量与向量；

向量与向量；

向量与向量，则称X具有性质P，例如2，具有性质P．

若3，具有性质P，则x的取值为______

若数集3，，具有性质P，则的最大值与最小值之积为______．

【答案】，，9;    .   

【分析】(1)直接根据性质的定义，利用向量共线的坐标表示列方程求解即可；（2）由（1）可得，，9，当时，具有性质的，，，，9，27；时，具有性质的，，，，，9；当时，具有性质的，，，，，27，81，综合三种情况可得结果.

【详解】由题意可得：与；与；与中恰有一组共线，

当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意，

当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意，

当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意，

故x的取值为：，，9；

由的求解方法可得，，9，

当时，由数集3，，具有性质P，

若与；与；与中恰有一组共线，可得，；

若与；与；与中恰有一组共线，可得，；

若与；与；与中恰有一组共线，可得，27；

故3，，具有性质P可得，，，，9，27；

同理当时，3，，具有性质P可得，，，，，9；

同理当时，可得，，，，，27，81；

则的最大值为90，最小值为，

故的最大值与最小值之积为．

故答案为，，9；．

【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

四、解答题

17．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，求：

（1）2人都未解决的概率；

（2）问题得到解决的概率.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由两个独立事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率乘积，即可求出2人都未解决的概率；

（2）根据问题能得到解决的对立事件为两人都未解决问题，再根据对立事件概率和等于，即可求解.

【详解】解：（1）由题意知：甲、乙两人都未能解决的概率为：；

（2）问题能得到解决，即至少有人能解决问题，

其对立事件为两人都未解决问题，

问题得到解决的概率为：.

18．某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：

（1）在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；

（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率.

（3）如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.

【答案】（1）20人；（2）；（3）餐厅用餐，理由见解析.

【分析】（1）计算前三个小矩形的面积和，即得结果；

（2）列举从这5人中随机选出2人的所有情况，利用古典概型的概率公式计算即可；

（3）分别计算两个餐厅得分低于分的人数所占的比例，再选择比例低的即可.

【详解】（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：

，

∴对餐厅评分低于的人数为人；

（2）对餐厅评分在范内的有人，设为、，

对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，

从这人中随机选出人的选法为：

、、、、、、、、、，共种，

其中恰有人评分在范围内的选法包括：

、、、、、，共种，

故人中恰有人评分在范围内的概率为；

（3）从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的人中，

餐厅评分低于的人数为，

∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为，

餐厅评分低于分的人数为，

∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为，

∴会选择餐厅用餐.

19．平面内给定三个向量.

（1）求；

（2）求满足的实数m和n；

（3）若，求实数k.

【答案】（1）6；（2）；（3）.

【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；

（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；

（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.

【详解】解：（1）由，得

，；

（2）， ，

，，

故，解得；

（3），，

，，

，，即，

解得.

【点睛】结论点睛：

若 ，则等价于；等价于.

20．已知函数为奇函数.

（1）函数的解析式；

（2）若，求x的范围；

（3）求函数的值域.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）先利用奇函数性质知，求出参数，再验证此时确实是奇函数；

（2）直接代入函数解不等式得，再利用指数函数性质解不等式即可.

（3）对函数分离常数，再利用，逐步计算的范围，即得值域.

【详解】解：（1）易见，的定义域为R，故在原点处有定义，

又由是奇函数知，，即，故，此时，，

对，有，故是奇函数.

故函数的解析式为；

（2）由，得，解得，又，故，

x的范围为；

（3），因为，，则，即，

，故，

所以函数的值域为.

【点睛】方法点睛：

已知函数奇偶性求参数常见方法：

（1）直接利用定义使（或）恒成立，系数对应相等解得参数即可；

（2）利用特殊值代入（或）计算参数，再将参数代入验证函数是奇（或偶）函数即可.

21．已知集合A是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数.使得成立.

（1）判断幂函数是否属于集合A，并说明理由；

（2）设，，若，求a的取值范围；

【答案】（1）,理由见解析；（2）

【分析】（1）令，得出方程，解出判断即可；

（2）先根据复合函数的单调性判断出的单调性，再根据得到，以及，化简得到，

令，根据的范围，求出的范围，原式等价于有一个根 ，求解即可.

【详解】解：（1）,理由如下：

令，

，

即，

化简得：，

解得：或，

即在定义域内存在实数，使得成立；

故；

（2），

在上单调递增，

在上单调递增，

在上单调递增，

又，

在定义域内存在实数.使得成立，

即，

即，

又，

即 ，

即，

令，

又，

，

即，

化简得：，

即，

解得：，，

从而，原问题等价于，或，

解得：，

又，在上恒成立，

故，

 综上所述：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数元素的性质进行化简.

22．已知M是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何(其中为函数的定义域)，均有成立.

（1）已知函数，判断与集合M的关系，并说明理由；

（2）是否存在实数a，使得属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）对于实数，用表示集合M中定义域为区间的函数的集合，定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数T称为的“绝对差上界”，T的最小值称为的“绝对差上确界”，符号.求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.

【答案】（1），理由见解析；（2）存在， （3）证明见解析；

【分析】（1）利用已知条件，通过任取，证明成立，说明属于集合；

（2）若，则有，然后可求出当时，；

（3）直接利用新定义加以证明，并求出的“绝对差上确界的值．

【详解】解：（1）设，

则，

，

，

，

函数属于集合；

（2）若函数，属于集合，

则当时，恒成立，

即，对恒成立，

，对恒成立，

，

，

，

解得：，

存在实数，使得，属于集合，

且实数的取值范围为；

（3）取，

则对区间的任意划分：

，

和式

，

集合中的函数是“绝对差有界函数”，且的“绝对差上确界”．

【点睛】本题考查新信息问题，考查阅读理解和应用能力，具有一定的综合性，解题的关键是弄懂给出的定义，解题时始终要围绕着给出的定义进行验证、求解等．