2020-2021学年北京市房山区高一上学期期末检测数学试题（解析版）

2020-2021学年北京市房山区高一上学期期末检测数学试题

一、单选题

1．已知，，则线段中点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用中点坐标公式即可求解.

【详解】由，，

则线段中点的坐标为.

故选：D

2．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为，“抽到二等品”的概率为，则“抽到不合格品”的概率为（    ）

A．0.05 B．0.25 C．0.8 D．0.95

【答案】A

【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可求解.

【详解】“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，

所以“抽到一等品或二等品”的概率为，

“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，

故其概率为.

故选：A．

3．某单位共有职工名，其中高级职称人，中级职称人，初级职称人．现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本，则从高级职称中抽取的人数为（    ）

A．6 B．9 C．18 D．36

【答案】C

【分析】计算出抽取高级职称人数所占的抽样比乘以样本容量可得答案.

【详解】依题意得：高级职称人数、中级职称人数、初级职称人数的比为，

高级职称人数的抽样比，采用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本，则从高级职称中抽取的人数为人.

故选：C.

4．已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】举反例可判断ACD选项；根据不等式的基本性质可判断B选项.

【详解】A选项，当时，，错误；

B选项，因为，由不等式的基本性质成立，正确；

C选项，当时，，错误；

D选项，当时，，错误，

故选：B.

5．如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数恒过，只需，解不等式即可.

【详解】函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

则，解得.

故选：B

6．如图，在中，，设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量基本定理将，再用，表示可得答案.

【详解】

因为，，，所以

.

故选：C.

7．已知，，则“”是“向量与共线”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件与必要条件的概念，由向量数量积运算法则，以及向量的线性运算法则，即可得出结果.

【详解】若向量与同向共线，由，，可得；

若向量与反向共线，由，，可得；

所以由“向量与共线”不能推出“”；

若，，，

则，所以，所以，

因为向量与夹角为，所以，即“向量与共线；

所以由“”能推出“向量与共线”；

因此，“”是“向量与共线”的充分而不必要条件.

故选：A.

8．根据气象学上的标准，连续天的日平均气温低于即为入冬．现有甲、乙、丙、丁四地连续天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

①甲地：个数据的中位数为，众数为；

②乙地：个数据的平均数为，极差为；

③丙地：个数据的平均数为，中位数为；

④丁地：个数据的平均数为，方差小于．

则肯定进入冬季的地区是（    ）

A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地

【答案】D

【分析】根据各地连续天的日平均温度的记录数据，通过特殊值法，可排除ABC选项；根据方差的计算公式，结合丁地的气温数据，可判断D正确.

【详解】①甲地：个数据的中位数为，众数为；则这个数据可能为，，，，；即连续天的日平均气温不是都低于，所以甲地不一定入冬，故A错；

②乙地：个数据的平均数为，极差为；则这个数据可能为，，，，；即连续天的日平均气温不是都低于，所以乙地不一定入冬，故B错；

③丙地：个数据的平均数为，中位数为；则这个数据可能为，，，，；即连续天的日平均气温不是都低于，所以丙地不一定入冬，故C错；

④丁地：个数据的平均数为，方差小于．如有数据大于等于，则方差必大于等于，不满足题意，因此丁地这续天的日平均气温都低于，所以丁地一定入冬，故D正确；

故选：D.

9．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（    ）

（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，得到，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果.

【详解】因为，所以.

故.

故选：D.

【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.

10．已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数的图象，根据题意，得到，结合图象求出的范围，即可得出结果.

【详解】假设，

作出的图象如下；

由，所以，则

令，所以，

由，所以，

所以，故.

故选：D.

【点睛】方法点睛：

已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、填空题

11．已知，则与方向相同的单位向量的坐标为__________．

【答案】

【分析】由条件设与方向相同的单位向量坐标为，再由条件列式求解.

【详解】设与方向相同的单位向量坐标为，

则，解得 或

因为与的方向相同，所以，

与同方向的单位向量是.

故答案为：

12．暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.

【答案】

【分析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件，则其对立事件为“暑假期间两人都未外出旅游”，先求得，再求解即可.

【详解】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件，则其对立事件

为“暑假期间两人都未外出旅游”，则，

所以.

故答案为：.

13．当时，，，的大小关系是___________．（请用“”连接）

【答案】

【分析】在同一直角坐标系中分别画出三个函数的图象判断即可.

【详解】在同一直角坐标系中分别画出三个函数的图象，如图：

由图可知：.

故答案为：.

14．定义在上的函数满足：①单调递减；②，请写出一个满足条件的函数__________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据指数函数恒过即可得出答案.

【详解】由函数满足：①单调递减；②，

则.

故答案为：

15．由于国庆期间有七天长假，不少电影选择在国庆档上映.已知A、B两部电影同时在月日全国上映，每天的票房统计如图所示：

有下列四个结论：

①这天A电影票房的平均数比B电影票房的平均数高；

②这天A电影票房的方差比B电影票房的方差大；

③这天A电影票房的中位数与B电影票房的中位数相同；

④根据这天的票房对比，预测月日B电影票房超过A电影票房的概率较大；

其中正确结论的序号为__________.

【答案】①②④

【分析】①根据折线图，分别求得这天A电影票房和B电影票房的平均数，比较判断；②根据折线图，分别求得这天A电影票房和B电影票房的方差，比较判断；③根据折线图，分别求得这天A电影票房和B电影票房的中位数，比较判断；④根据折线图，比较这天A电影票房和B电影票房的方差和从10月6日开始超过A电影票房判断.

【详解】①这天A电影票房的平均数为，

这天B电影票房的平均数为，

所以A的比B电影票房的平均数高，故正确；

②这天A电影票房的方差，

这天B电影票房的方差，

所以A的比B电影票房的方差大，故正确；

③这天A电影票房的中位数与B电影票房的中位数，不相同，故错误；

④根据这天的票房对比，B电影票房方差较小，波动较小，且从10月6日开始超过A电影票房，故正确；

故答案为：①②④

三、双空题

16．___________；___________．

【答案】       

【分析】（1）根据分数指数幂、根式的计算可得答案；

（2）根据分数指数幂的运算计算可得答案.

【详解】（1）；

（2）.

故答案为：①6；②.

四、解答题

17．设两个非零向量与不共线．

（1）若，，且与平行，求实数的值；

（2）若，，，求证：，，三点共线．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用与平行即可得到；（2）证明三点共线，只需证明与共线，对应写出坐标即可.

【详解】（1），，则，

因为与平行，所以有，解得．

（2）因为，，，所以

，即与共线，

因此，，三点共线．

18．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

（Ⅰ）求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；

（Ⅱ）估计这名同学周末学习时间的分位数；

（Ⅲ）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．

【答案】（Ⅰ）9；（Ⅱ）8.75；（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性.

【分析】（Ⅰ）首先求学习时间不少于20小时的频率，再根据样本容量乘以频率=人数，计算结果；（Ⅱ）首先估算学习时间在分位数所在的区间，再根据公式计算结果；（Ⅲ）根据样本的代表性作出判断.

【详解】（Ⅰ）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为  

则名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为．              

（Ⅱ）学习时间在小时以下的频率为，

学习时间在小时以下的频率为，

所以分位数在，

，

则这名同学周末学习时间的分位数为．

（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．

19．已知函数．

（Ⅰ）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）求解关于的不等式．

【答案】（Ⅰ）定义域为，函数既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）由解析式列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出定义域；进而可判断函数奇偶性；

（Ⅱ）先将所求不等式化为，根据对数函数的单调性，得出，求解，即可得出结果.

【详解】（Ⅰ）由，得函数的定义域为，

所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．

（Ⅱ）因为，

所以不等式可化为，

因为在是减函数，所以有，

解得，

因此不等式的解集为．

20．空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：

现分别从甲、乙两个城市月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取天的数据，记录如下：

（1）估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率；

（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；

（3）记甲城市这天空气质量指数的方差为．从甲城市月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为，试比较、、的大小．（结论不要求证明）

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）甲城市这天内空气质量类别为良的有天，利用频率估计概率的思想可求得结果；

（2）列举出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得结果；

（3）根据题意可得出、、的大小关系.

【详解】（1）甲城市这天内空气质量类别为良的有天，则估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率为；

（2）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，

用表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，

则事件包含的基本事件有：、、、，共个基本事件，

所以，；

（3）．

【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的问题有如下方法：

（1）列举法；

（2）列表法；

（3）树状图法；

（4）排列组合数的应用.

21．设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且，则称是上的“距增函数”．

（1）判断函数是否为上的“距增函数”？说明理由；

（2）写出一个的值，使得是区间上的“距增函数”；

（3）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若为上的“距增函数”，求的取值范围．

【答案】（1）是上的“距增函数”，理由见解析；（2）；（3）.

【分析】（1）根据“距增函数”的定义去判断即可；

（2）如，答案不唯一，不小于即可；

（3）先求出的表达式，通过讨论x的范围结合绝对值的几何意义，从而求出a的范围.

【详解】（1）函数是上的“距增函数”，

任意，有，且，

所以，

因此是上的“距增函数”．

（2）；函数的定义域为，有，且，

是上的“距增函数”．

（3），

因为为上的“距增函数”，

i)当时，由定义恒成立，

即恒成立，

由绝对值几何意义可得，.

ii)当时，分两种情况：

当时，由定义恒成立，

即恒成立，由绝对值几何意义可得，，

当时，由定义恒成立，

即恒成立，

当时，显然成立，

当时，可得，

综上，的取值范围为．

【点睛】本题主要考查函数有关的新定义的应用、分类讨论和绝对值的意义，弄清新定义的本质，根据绝对值的几何意义得到不等式是解本题的关键，综合性较强，考查了基础知识、基本技能.