2020-2021学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2020-2021学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据交集的定义可求.

【详解】因为，故中的元素为大于或等于的奇数，

故，

故选：D.

2．方程组的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解出方程组 得解，再表示成集合的形式即可.

【详解】由方程组可得或

所以方程组的解集是

故选：C

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出的取值范围即为定义域.

【详解】因为，所以或，所以函数的定义域为：，

故选：C.

【点睛】结论点睛：常见函数的定义域分析：

（1）偶次根式下被开方数大于等于零；

（2）分式分母不为零；

（3）对数式的真数大于零；

（4）中.

4．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图.则图中a的值为（    ）

A．0.028 B．0.030 C．0.280 D．0.300

【答案】A

【分析】根据五个矩形的面积和为1列式可得结果.

【详解】由得.

故选：A

5．若，则一定有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用不等式的性质或反例逐项检验后可得正确的选项.

【详解】取，则，，，故A、B、C均错误，

由不等式的性质可得，故D正确.

故选：D.

6．在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算可得正确的选项.

【详解】

因为四边形为平行四边形，故，

故，

故选：B.

7．设，则m，n的大小关系一定是（    ）

A． B． C． D．以上答案都不对

【答案】D

【分析】根据可分三种情况讨论：，根据指数函数的单调性分析出每一种情况下的大小关系，由此得到的大小关系.

【详解】当时，因为为上增函数，所以，所以，所以，所以；

当时，，所以，所以；

当时，因为为上增函数，所以，所以，所以，所以，

故选：D.

【点睛】方法点睛：已知或，比较大小的常用方法：

（1）分类讨论法：，根据指数函数的单调性分析出的大小关系；

（2）数形结合法：在同一平面直角坐标系作出的图象，作直线与两图象相交，根据交点横坐标的大小关系判断出的大小关系.

8．从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x，那么x满足的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题设逐年列出生产总值能耗后可得正确的选择.

【详解】设2015年该企业单位生产总值能耗为，则2016年该企业单位生产总值能耗，

2017年该企业单位生产总值能耗，2018年该企业单位生产总值能耗，

2019年该企业单位生产总值能耗，2020年该企业单位生产总值能耗，

由题设可得即，

故选：D.

9．设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.

【详解】存在实数，使得，

说明向量共线，当同向时，成立，

当反向时，不成立，所以，充分性不成立.

当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，

即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.

故选B.

【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论：

①；

②；

③函数的图象关于原点对称；

④函数的图象关于点对称；

其中，正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】令，①：根据求解出的值并判断；②：根据为奇函数可知，化简此式并进行判断；根据与的图象关系确定出关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.

【详解】令，

①因为为上的奇函数，所以，所以，故正确；

②因为为上的奇函数，所以，所以，即，故正确；

因为的图象由的图象向左平移一个单位得到的，

又的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故③错误④正确，

所以正确的有：①②④，

故选：C.

【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：

（1）若为偶函数，则函数的图象关于直线对称；

（2）若为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称.

二、填空题

11．已知向量，，那么__________.

【答案】5

【分析】求出的坐标后可得.

【详解】因为，，故，故，

故答案为：5

12．若方程有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据条件可得，列出不等式求解即可.

【详解】由方程有两个不相等的正实数根，设为

则 ，即，解得

故答案为：

13．设定义在上的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.

【答案】

【详解】定义在上的奇函数在上为增函数，

则，且在为增函数，

由于，则 ，

函数图象关于原点对称， 画出函数的模拟图象可知，

不等式的解集为.

故答案为：.
 

14．某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：

①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐;

②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：

③如果购买罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数.（其中表示不大于x的最大整数）

则所有正确说法的序号是__________.

【答案】②③.

【分析】①罐可乐有个可乐空罐，第一次可换罐可乐还剩个空罐，第二次可换罐可乐还剩个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；

②：先分析购买罐可乐的情况，再分析购买罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买的可乐罐数；

③：先分析购买到罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出的结果.

【详解】①：购买罐可乐时，第一次可换罐还剩个空罐，第二次可换罐还剩个空罐，所以最多可饮用罐可乐，故错误；

②：购买罐时，第一次可换罐可乐，第二次可换罐可乐还剩个空罐，

第三次可换罐可乐还剩个空罐，第四次可换罐可乐还剩个空罐，所以一共可饮用罐；

购买罐时，第一次可换罐可乐还剩个空罐，第二次可换瓶可乐还剩个空罐，

第三次可换罐可乐，第四次可换罐可乐还剩个空罐，所以一共可饮用罐；

所以至少需要购买罐可乐，故正确；

③：购买到罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示：

由表可知如下规律：

（1）当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为，当购买的可乐罐数为偶数时，此时剩余的空罐数为；

（2）实际饮用数不是的倍数；

（3）每多买罐可乐，可多饮用罐可乐，

（4）实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的倍少或；

设购买了罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为，

所以，即，即，

又因为可看作，即不大于的最大整数，所以成立，故正确；

故答案为：②③.

【点睛】关键点点睛：解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数，另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数的关系，从而解决问题.

三、双空题

15．已知函数，那么_________;当函数有且仅有三个零点时，实数a的取值范围是__________.

【答案】       

【分析】由可得结果，函数有且仅有三个零点，即函数的图象与 的图象仅有三个交点，作出函数的图象，根据图象可得答案.

【详解】

函数有且仅有三个零点，即函数的图象与 的图象仅有三个交点.

作出函数的图象,如图.

由图可知，当时，函数的图象与 的图象有三个交点.

所以函数有且仅有三个零点时，实数a的取值范围是

故答案为： ；   

四、解答题

16．某校高一年级1000名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下

（I）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；

（II）现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求其中恰有1人体育成绩在的概率.

【答案】（I）750；（II）

【分析】（I）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数，从而可以估计出该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生频率，进而得到学生人数.

（II）利用列举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率.

【详解】（I）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为，所以

该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数估计为：.

（II）体育成绩在和的人数分别为、3，分别记为

若随机抽取2人，则所有的基本事件为：

 ，

故基本事件的总数为.

其中恰有1人体育成绩在的基本事件的个数有6个，

设为：“恰有1人体育成绩在”，则.

【点睛】思路点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.

17．设函数

（1）求函数的图像与直线交点的坐标：

（2）当时，求函数的最小值

（3）用单调性定义证明：函数在上单调递增.

【答案】(1) 或   (2)  7     (3)证明见解析.

【分析】（1）由解出方程可得答案.
（2）利用均值不等式可得答案.

(3)由定义法证明函数单调性的步骤即可证明.

【详解】（1）由，即，解得或

所以函数的图像与直线交点的坐标为或

（2）当时，

当且仅当,即时，取得等号.

所以当时，函数的最小值为7.

(3) 任取，且

则

由，且，则，

所以，则

所以，即

所以函数在上单调递增

【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：

(1)在给定的区间内任取变量，且设.

(2)作差变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.

(3)判断符号，得出的大小.

(4)得出结论.

18．以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示.

（I）若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求a的值;

（II）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;

（III）当时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小.（结论不要求证明）

【答案】（I）；（II）；（III）甲组同学数学成绩的方差大于乙组同学数学成绩的方差.

【分析】（I）先求解出甲、乙两组的数学平均成绩，根据平均成绩相同求解出的值；

（II）先确定出的所有可取值，再求解出满足条件的的取值，根据满足条件的取值个数与总的可取值个数的比值求解出对应概率；

（III）根据数据的分布情况直接判断出甲、乙两组同学数学成绩的方差大小.

【详解】（I）因为，且，所以，所以；

（II）记“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，

因为乙组平均成绩超过甲组平均成绩，所以，所以，

所以的可取值有：，共个数，

又因为，集合中共有个元素，

所以；

（III）甲组同学数学成绩的方差大于乙组同学数学成绩的方差.

（理由如下：因为，所以，

，因为，所以）

19．设函数

（I）若，求实数a的值;

（II）判断函数的奇偶性，并证明你的结论;

（III）若对于恒成立，求实数m的最小值.

【答案】（I）；（II）奇函数，证明见解析；（III）.

【分析】（I）代入，得到，由此求解出的值，即可求解出的值；

（II）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；

（III）先求解出在上的最大值，再根据求解出的最小值.

【详解】（I）因为，所以，所以且，

所以，所以；

（II）为奇函数，证明如下：

因为，所以定义域为关于原点对称，

又因为，所以为奇函数；

（III）因为，

又因为在上递增，所以在上递减，所以，

又因为对于恒成立，所以，所以，

所以的最小值为.

【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的步骤如下：

（1）先分析的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若的定义域关于原点对称，则转至（2）；

（2）若，则为偶函数；若，则为奇函数.

20．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以x（单位：吨，）表示下一个销售季度内的市场需求量，y（单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润.

（I）将y表示为x的函数：

（II）求出下一个销售季度利润y不少于57000元时，市场需求量x的范围.

【答案】（I）；（II）.

【分析】（I）分情况考虑：，分别求解出每一种情况下的表示，由此可得到关于的分段函数；

（II）根据条件分段列出不等式，求解出每一个不等式的解集，由此求解出市场需求量的范围.

【详解】（I）当时，此时吨的该农产品售出吨，未售出吨，

所以，即；

当时，此时吨的该农产品全部售出，所以，即，

综上可知：；

（II）当时，令，解得，

当，此时符合，

所以市场需求量的范围是.

21．设函数的定义域为R．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质.记P为满足性质的所有函数的集合.

（I）判断函数和是否属于集合P？（结论不要求证明）

（II）若函数，证明：;

（III）记二次函数的全体为集合，证明：.

【答案】（I）不属于集合，属于集合；（II）证明见解析；（III）证明见解析.

【分析】（I）根据性质的定义判断与是否具有性质，由此判断出函数和是否属于集合；

（II）先根据定义证明函数具有性质，然后即可证明；

（III）将问题转化为证明二次函数不具备性质，先假设二次函数具备性质，然后通过已知条件推出与条件矛盾的结果，由此完成证明.

【详解】（I）不属于集合，属于集合；

（理由如下：设，若，则有，解得，不符题意，所以不具有性质，所以不属于集合；

设，若，则有，所以，所以具有性质，所以属于集合）

（II）证明如下：

因为，不妨令，所以，

所以，显然关于的方程有解：，所以具有性质，

所以；

（III）根据题意可知：二次函数不具备性质，

假设存在二次函数具备性质，所以存在常数对于任意都有成立，

所以存在常数使成立，

所以存在常数使成立，

所以，解得，这与假设中矛盾，

所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质，所以.

【点睛】关键点点睛：解答本题第三问的关键是将待证明的问题转化为分析二次函数是否具备性质，再通过“反证”的思想完成证明.