2020-2021学年山东省青岛市高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年山东省青岛市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；

【详解】解：因为，所以，又

所以

故选：B

2．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得.

【详解】根据全称命题的否定为特称命题，

则命题“”的否定为“”.

故选：A.

3．若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据任意角的三角函数的定义计算可得；

【详解】解：角的终边经过点，所以

故选：C

4．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简可得，即可求出周期.

【详解】

.

的最小正周期为.

故选：C.

5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断，再由可得.

【详解】，，

，，

，

.

故选：C.

6．已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先设，求得，再计算，结合，即求得.

【详解】函数中，定义域为，

设，则，故，

故.

由知，，故，

而，故.

故选：D.

【点睛】方法点睛：

函数，是常数，是奇函数，此类函数已知的值，求的值，通常利用奇函数定义整理利用计算的值，再计算即可.

7．基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（    ）(参考数据：)

A．2天 B．3天 C．4天 D．5天

【答案】D

【分析】根据已知数据先求出，可得，则由解出即可.

【详解】，，即，解得，

，则，

解得，则，

故累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为5天.

故选：D.

8．已知函数，若方程有4个不相同的解，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】在一个坐标系内分别作出和的图像,观察二者有4个交点时m的范围．

【详解】
 

在一个坐标系内分别作出和的图像如上图示:

要使方程有4个不相同的解，

只需和的图像有4个交点，

所以0<m≤1．

故选:A．

【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为，分别作出和的图像，观察交点的个数即为零点的个数．

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C． D．是的充分不必要条件

【答案】BCD

【分析】利用作差法比较大小判断AB的正误，利用基本不等式判断C的正误，利用充分条件和必要条件的定义判断D的正误即可.

【详解】选项A中，若，则，其中分子，分母不确定符号，故大小不确定，A错误；

选项B中，若，则由，得；由，得；故，B正确；

选项C中，由根式有意义可知，，即，当或时，，当时，利用基本不等式得成立，当且仅当即时等号成立，故成立，C正确；

选项D中，若，则，则，可推出；反过来，推不出，故可能没意义，推不出，故是的充分不必要条件，D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：

不等式比较大小的方法：

（1）作差法；（2）作商法；（3）利用基本不等式进行比较；（4）构造函数，利用函数单调性进行比较.

10．下列函数既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用幂函数的性质判断A；利用正切函数的单调性判断B；利用指数函数的性质判断C； 利用单调性的定义判断D.

【详解】由幂函数的性质可知定义域为，且在上递增，，所以是奇函数又是增函数，A符合题意；

在区间上递增，但不能说是增函数，例如，而，B不符合题意；

与在上都递增，所以在上递增，又定义域为，，故为奇函数，即是奇函数又是增函数，C符合题意；

因为，所以，而，故不是增函数，D不合题意.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断与是否具有等量关系．

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (奇函数)或 (偶函数)是否成立.

11．已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ）

A． B．

C．函数为偶函数 D．

【答案】AD

【分析】先利用图象得到，，求得，再结合时取得最大值求得，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可.

【详解】由图象可知，，，即,，

由时，，得，

即，而，故，故，A正确；

，故B错误；

由知，不是恒成立，故函数不是偶函数，故C错误；

由时，，故是的对称中心，故，故D正确.

故选：AD.

【点睛】方法点睛：

三角函数模型求解析式时，先通过图象看最值求A，b，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求，最后利用五点特殊点求初相即可.

12．已知定义在R上的函数同时满足下列三个条件：①是奇函数；②；③当，时，；

则下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期 B．在上单调递增

C．的图象关于直线对称 D．当时，

【答案】ABD

【分析】先根据奇函数性质得到，，再利用周期性定义判断A的正误，结合题意，利用奇函数的对称性研究函数的单调性、对称轴和对称中心即可.

【详解】定义在R上的函数是奇函数，则，.

选项A中，，将代换x，则，即，故的最小正周期，正确；

选项B中，结合知，当时，，易见在上单调递增，又由函数是奇函数，图象关于原点中心对称可知，在上也是单调递增，即在上单调递增，B正确；

选项C中，，则将代入得，即是函数的对称轴，又在上单调递增，，故函数的对称轴为，故不是对称轴，故C错误；

选项D中，是奇函数，对称轴为，，可知，对称中心为，，即当时，，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题的解题关键在于熟练掌握奇函数的性质，才能突破函数的单调性和对称性.

三、填空题

13．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为___________.

【答案】3

【分析】根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果．

【详解】因为，

由弧长公式知，

这条弧所在圆的半径，

故答案为：3．

14．已知为第二象限角，，则___________.

【答案】

【分析】先利用诱导公式化简求得，再结合角所在的象限，利用同角三角函数的平方关系求余弦即可.

【详解】依题意可得，，即，解得，

又为第二象限角，，则，.

故答案为：.

15．计算：___________.

【答案】

【分析】直接利用对数的运算性质求解即可.

【详解】

，

故答案为：.

四、双空题

16．某种物资实行阶梯价格制度，具体见下表：

则一户居民使用该物资的年花费y(元)关于年用量x(千克)的函数关系式为___________；若某户居民使用该物资的年花费为100(元)，则该户居民的年用量为___________千克.

【答案】    15   

【分析】分段讨论根据阶梯价格制度即可求出，将代入可求该户居民的年用量.

【详解】由表可得，当时，，

当时，，

当时，，

，

若某户居民使用该物资的年花费为100(元)，

可得该户居民的年用量在内，则，解得，

则该户居民的年用量为15千克.

故答案为：；15.

五、解答题

17．从“①；②方程有两个实数根，；③”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.

已知函数为二次函数，，，___________.

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【分析】（1）设，若选择①，利用， ， 求出的值即可；若选择②，利用， ， 结合韦达定理求出的值即可；若选择③，利用， ， 结合对称轴为求出的值即可；

（2），等价于对一切实数恒成立，利用可得答案.

【详解】（1）若选择①：

设

因为，所以

因为，所以（i）

因为，所以图象的对称轴为

所以（ii）

由（i）（ii）解得，，所以

若选择②：

设

因为，所以

因为，所以（i）

因为方程有两个实数根满足

所以由韦达定理得：（ii）

由（i）（ii）解得，，所以

若选择③：

设

因为，所以

因为，所以（i）

因为，所以，图象的对称轴为

所以（ii）

由（i）（ii）解得，，所以

（2）因为三种不同的选择都能得到函数解析式，

所以，即对一切实数恒成立，

等价于对一切实数恒成立，

则的图象恒在轴上方，或在轴上，

所以无实根或有两个相等的根，

所以，

故所求实数k的范围为

【点睛】方法点睛：求二次函数的解析式往往利用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式时，主要利用以下几个条件列方程求解：1、特殊点；2、对称轴；3、函数的最值.

18．2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2018年已经上涨到每亩120万元.现给出两种地价增长方式，其中是按直线上升的地价，是按对数增长的地价，t是2006年以来经过的年数，2006年对应的t值为0.

（1）求，的解析式；

（2）2018年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在的10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型.(参考数据：)

【答案】（1），；（2）选择模型.

【分析】（1）利用，代入解析式求得，利用，，代入解析式求得即可；

（2）到2022年时，时分别计算和，再计算其对应的增长率，与10%比较进行判断即可.

【详解】解：（1）由题知：，

所以解得：

所以；

又，

所以解得：

所以；

（2）若按照模型，到2022年时，，

直线上升的增长率为，不符合要求；

若按照模型，到2022年时，，，

对数增长的增长率为，符合要求；

综上分析，应该选择模型.

19．已知函数，函数为奇函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，证明：当时，.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据为奇函数可得，则，再由可得答案；

（2）根据三角函数图象的变换规律可得，由，求出，进而可得结论.

【详解】（1）由题意知：为奇函数

所以，

因为，所以，

所以

由，

解得：，

所以的单调递增区间为；

（2）由题知：将的图象向右平移个单位得，

即,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的倍，

得，

因为，所以，

因此，

则且，

所以

【点睛】方法点睛：函数的单调区间的求法：,把看作是一个整体，由求得函数的减区间；求得增区间.

20．已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）若恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）是偶函数，理由见解析；（3）.

【分析】（1）根据对数的真数大于零可得，且，解不等式可得答案；

（2）证明，根据奇偶性的定义可得答案；

（3）利用对数的运算性质化简，然后得到，进而可得实数m的取值范围为.

【详解】（1）由题意知：且

解得：

所以的定义域为，

（2）因为，，

且

所以是偶函数

（3）因为

所以

因为(当且仅当时等号成立)

所以，

因为恒成立，

所以实数m的取值范围为.

【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .

21．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.

（1）求的值；

（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？

（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？

【答案】（1）；（2）分钟；（3）再经过分钟后盛水筒不在水中.

【分析】（1）先结合题设条件得到，，求得，再利用初始值计算初相即可；

（2）根据盛水筒达到最高点时，代入计算t值，再根据，得到最少时间即可；

（3）先计算时，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求，再由分钟后，进而计算d值并判断正负，即得结果.

【详解】解：（1）由题意知，，即，所以，

由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，

当时，，代入得，，

因为，所以；

（2）由（1）知：，

盛水筒达到最高点时，，

当时，，所以，

所以，解得，

因为，所以，当时，，

所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；

（3）由题知：，即，

由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，

所以，

所以，

所以，再经过分钟后，

所以再经过分钟后盛水筒不在水中.

【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.

22．若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间A为和的“区间”

（1）写出和在上的一个“区间”(无需证明)；

（2）若，是和的“区间”，证明：不是偶函数；

（3）若，且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点.

【答案】（1）(答案不唯一)；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）判断和在上的符号，结合“区间”的定义可得答案；

（2）根据当时，当时，结合奇偶性的定义可得答案；

（3）先证明存在唯一，使得，可得当时， 且存在使得；当时，且存在使得，从而可得结论.

【详解】（1）及其非空子集均可

（2）由题知：当时，，所以

当时，，所以

因为在任意区间上不恒为0，所以存在，使得

又因为，所以

所以不是偶函数

（3）当时，

当时，因为，

由已知，在区间上单调递增，

所以存在唯一，使得

且当时，；当时，；

当时，，所以且存在使得；

当时，，所以且存在使得；

所以存在，使得

所以，在区间上存在零点

【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.