2020-2021学年山东省威海市高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年山东省威海市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】全称命题的否定是特称命题

【详解】命题“”的否定是“”.

故选：B

2．已知集合，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得集合M ，根据交集运算的定义，即可求得答案.

【详解】因为，所以，所以，

所以，

故选：B

3．从含有件正品件次品的件产品中，任意取出件产品，则取出的件产品中至少有一件次品的概率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设3件正品为，2件次品为，列出所有情况，求出至少有一件次品的情况，即可得出概率.

【详解】设3件正品为，2件次品为，

则任意取出件产品的情况有

共10种，

其中至少有一件次品的情况有共7种，

则取出的件产品中至少有一件次品的概率为.

故选：A.

4．“恒成立”的一个充分不必要条件是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先讨论和时求出“恒成立”对应的的范围，即可得出.

【详解】恒成立，

当时，恒成立，满足题意，

当时，，解得，

综上，“恒成立”对应的的范围为，

则它的一个充分不必要条件是的真子集，只有C选项满足.

故选：C.

5．如图所示的四组数据，标准差最小的是（  ）

A． B．
 

C． D．

【答案】A

【分析】根据图形计算出各组数据的标准差即可判断.

【详解】对A，，

，

对B，，

，

对C，，

，

对D，，

，

所以标准差最小的是A.

故选：A.

6．已知，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数的运算性质、指数的运算性质，结合指数函数的单调性进行求解即可.

【详解】是减函数，

，

故选：D

7．函数的图像大致为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数奇偶性，可排除D，再取特殊值判断正负可排除AC.

【详解】的定义域为，且，则是偶函数，图象关于轴对称，故D错误；

，故A错误；

，故C错误.

故选：B.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

8．已知点是以为直径的圆上任意一点，若则的最大值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆的几何性质可得，利用基本不等式链，即可求得答案.

【详解】根据圆的几何性质可得，所以，

由基本不等式链可得：，

因为，所以，

整理可得，

当且仅当时等号成立，

所以的最大值为.

故选：A

二、多选题

9．中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况.下图是2019年1月至2020年6月中国仓储业务量指数走势图，则（  ）

A．2019年全年仓储业务量指数的极差为

B．两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，3月份最高

C．两年上半年仓储业平均业务量指数相比，2019年高于2020年

D．2019年仓储业务量指数的分位数是

【答案】BC

【分析】通过观察折线图依次分析各选项，即可判断ABC,根据百分位数的概念计算即可判断选项D.

【详解】2019年全年仓储业务量指数为3月份最高为，2月份最低为，所以极差为，A错误；

2020年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，3月份最高，所以两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，3月份最高，B正确；

两年上半年仓储业平对应的2019每个月均高于2020对应每个月的业务量指数，所以C正确；

2019年仓储业务量指数按从小到大的顺序排列为42,51,51,56,57,58,58,58,59,60,60,66，分位数为，所以取第9，10项数据的平均数，即2019年仓储业务量指数的分位数是，故D错误.

故选：BC.

10．已知函数，则（  ）

A．

B．若，则

C．在上是减函数

D．若关于的方程有两解，则

【答案】ABD

【分析】根据函数解析式，代入数据可判断A、B的正误，做出的图象，可判断C、D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：由题意得：，

所以，故A正确；

对于B：当时，，解得a=1，不符合题意，舍去

当时，，解得，符合题意，故B正确；

对于C：做出的图象，如下图所示：

所以在上不是减函数，故C错误；

对于D：方程有两解，则图象与图象有两个公共点，

如下图所示

所以，故D正确.

故选：ABD

11．若则 （  ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质、作商比较法，结合对数函数、指数函数的单调性进行判断即可.

【详解】A：当时，显然不等式不成立，所以本选项不正确；

B：因为，所以，因为，所以当时，

，所以，即，所以本选项正确；

C：因为所以因此，所以，因此本选项正确；

D：当时，显然不等式不成立，所以本选项不正确.

故选：BC

12．已知函数，其反函数满足.定义在上的奇函数满足:当时，，则（  ）

A．

B．当时，

C．若，则

D．函数在上单调递增

【答案】AC

【分析】对A，由可求；对B，根据时的解析式结合函数是奇函数即可求出；对C，分和两种情况根据函数解析式结合指数函数的单调性可解；对D，由在单调递增可判断.

【详解】，，即，解得，故A正确；

当时，，

则当时，，，

是奇函数，，故B错误；

若，则当时，，即，解得或，，

当时，，即，解得或，，

若，则，故C正确；

当时，，在单调递增，则在单调递增，在单调递减，即在上单调递减，故D错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的应用，解题的关键根据奇函数求出函数解析式，即可根据指数函数的性质求解.

三、填空题

13．函数的定义域为________．

【答案】

【分析】保证真数大于零，分母不等于0，根号下数大于等于0，即可

【详解】，得

故答案为：

14．求值:____________．

【答案】3

【分析】根据对数运算法则直接计算即可.

【详解】原式.

故答案为：3.

15．已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范围为_________．

【答案】

【分析】根据幂函数的定义，可求得a值，代入点坐标，可求得b值，根据的奇偶性和单调性，化简整理，即可得答案.

【详解】因为为幂函数，所以，解得a=2

所以，又在上，代入解得，

所以，为奇函数

因为，所以，

因为在R上为单调增函数，

所以，解得，

故答案为：

16．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，则该矩形的面积为___________．

【答案】12

【分析】设小正方形的边长为，在中由勾股定理得，则可求出面积.

【详解】设小正方形的边长为，

，，

在中，，

即，即，

则该矩形的面积为.

故答案为：12.

四、解答题

17．已知集合.

（1）求；

（2）若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求得集合A，B，根据补集的概念，可得，根据交集运算的概念，即可求得答案；

（2）因为恒成立，所以，根据，列出不等式组，即可求得答案.

【详解】（1）因为，等价于，解得，

所以，

因为，解得，

所以，所以，

所以，

（2）若，因为恒成立，所以

所以，解得.

【点睛】解题的关键是熟练掌握集合的运算法则，易错点为，若C集合含有参数，需检验C集合是否为空集，再进行求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.

18．已知函数.

（1）若关于的不等式的解集为，求关于的方程的解；

（2）若，且在上有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用韦达定理求出，代入中可得，从而解得不等式.

（2）由可得关于对称，求出值.再利用根的分布知识结合二次函数图象求解的取值范围.

【详解】解:（1）因为不等式的解集为，

所以和是方程的两解，

所以

即

所以，

因为，

所以，

故

因为，

所以的图像关于直线对称，

所以，得故有

因为在有两个零点，

所以即

解得.

【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

19．习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.

（1）求的值及频率分布直方图中的值；

（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?

（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)

【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.

【分析】（1）由调查评分在的市民为人及频率可得样本容量；根据频率和为1可得t；

（2）由（1）知，根据调查评分在有人，有人，计算出

心理等级均达不到良好的概率，由对立事件的概率可得答案；

（3）由频率分布直方图估计市民心理健康问卷调查的平均评分及平均值与0.8作比较可得答案.

【详解】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，

所以，解得.

（2）由（1）知，

所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，

若按分层抽样抽取人，

则调查评分在有人，有人，

因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，

所以选出的人经过心理疏导后，

心理等级均达不到良好的概率为，

所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.

（3）由频率分布直方图可得，

，

估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，

所以市民心理健康指数平均值为，

所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.

【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及相互独立事件概率的求解，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力.

20．已知函数.

（1）当时，求函数的值域；

（2）若函数的最小值为，求实数的值.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）利用换元法设，令，由可得答案；

（2）由，讨论对称轴的位置，利用单调性结合动轴定区间可得答案.

【详解】（1）因为，

设，因为，所以 ，

令，

当时，，由，得，

所以的值域为，即函数的值域为.

（2）由（1）得，

因为，为对称轴，

当时，，解得，

当时，，解得，

当时，，解得，不满足，

综上可知，当或时，函数的最小值为.

【点睛】本题考查了二次函数求最值的问题，利用换元法求解析式要注意定义域，对于动轴定区间：比较区间端点值与对称轴的大小关系，然后根据函数的单调性求y的范围。

21．物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度满足:(为常数)，若经过分钟后物体的温度满足:，则称为半衰期，经测定.

（1）求的值；

（2）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，等茶水降至时饮用，可以产生最佳口感.那么在的空气温度下，用的水泡制该绿茶，大约需要放置多长时间茶水才能达到最佳饮用口感?

(附:参考值)

【答案】（1）；（2）8分钟.

【分析】（1）将代入可得，解出即可；

（2）由题可得，解出即可.

【详解】解:（1）由题意可知，

所以，

解得

（2）设刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感，

由题意可知，，

所以，

，，

所以，

所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.

22．已知函数.

（1）判断的奇偶性，并证明在上单调递增；

（2）设函数，求使函数有唯一零点的实数的值；

（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）为偶函数；证明见解析；（2）-1，1，0；（3）.

【分析】（1）直接由函数奇偶性的定义判断的关系，可判断奇偶性，任取，作差化简判断符号，得出单调性结论；

（2）有唯一零点，即有唯一的解，可化为，由偶函数可知，化简计算可得结果；

（3）设，不等式等价为恒成立，构造函数，只需，求解即可得出结果.

【详解】解:由题意可知的定义域为，，则，

，

所以，

所以为偶函数；

任取，

则，

因为

当时，

所以

所以，

所以在上单调递增﹒

函数的零点就是方程的解，

因为有唯一零点，

所以方程有唯一的解，

因为函数为偶函数，

所以方程变形为，

因为函数在上的单调递增，

所以，

平方得，，

当时，，

经检验方程有唯一解，

当时，

解得，

综上可知，的值为.

设，则，

所以原命题等价于时，不等式恒成立，

令，

即，

则或

或，

综上可知.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.