2020-2021学年山东省潍坊市高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年山东省潍坊市高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省潍坊市高一上学期期末数学试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合并集运算求解即可得答案.【详解】解：根据题意，故选：C2．函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数有意义的条件求解即可得答案.【详解】解：要使函数有意义，则需满足，解得且.故函数的定义域是.故选：B.3．把，两支篮球队在一个赛季十场比赛中的得分情况绘成如图所示的茎叶图，设A队得分的极差为，队得分的25%分位数为，则，的值分别为（    ）A．42  66.5 B．47  66.5 C．42  69 D．47  69【答案】D【分析】由茎叶图中的数据，利用极差与百分位的定义求解即可.【详解】由茎叶图可知，A队得分的极差因为所以队得分的25%分位数为从小到大的第三位数，所以，故选：D.4．方程的根所在的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意结合零点存在性定理确定方程的根所在区间即可.【详解】方程的根所在的区间即函数的零点所在的区间，由于：，，，，，由函数零点存在性定理可得函数零点所在区间为.故选：C5．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（    ）A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699【答案】B【分析】根据指对数互化公式得，再结合换底公式计算即可得答案.【详解】解：由指对数互化公式得 故选：B6．函数的图像大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数为奇函数排除C，再结合排除B，最后根据排除D，进而得答案.【详解】解：由题知函数的定义域为， ，所以函数为奇函数，故排除C选项，由于时，，且，故排除B,D.故选：A7．城镇化是国家现代化的重要指标，根据资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿，假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，由此估算2035年我国城镇常住人口数为（    ）A．10.82亿 B．10.66亿 C．10.98亿 D．9.12亿【答案】A【分析】依题意常住人口数与年份成一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入计算即可；【详解】解：设年份为，常住人口为（亿），则，因为函数过点，所以，解得，所以，当时，.所以2035年我国城镇常住人口数为亿.
故选：A．8．已知函数，且函数的图像与的图像关于对称，函数的图像与的图像关于轴对称，设，，．则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的对称性求出以及的解析式即可求解.【详解】由函数，则关于对称的函数，关于轴对称的函数，，，，所以.故选：D 二、多选题9．若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据不等式的性质，并结合指数函数与幂函数的单调性依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于B选项，因为，所以，故B选项正确；对于C选项，由于函数是增函数，所以当，，故C选项正确；对于D选项，由于函数在单调递减，所以，，故D选项正确；故选：BCD10．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（    ）A．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件D．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件【答案】BD【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【详解】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，可能结果有：二个红球，一个红球一个黑球，二个黑球；对于，“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误；对于，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故正确；对于，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，但是可以同时都不发生，是互斥事件，但不是对立事件，故错误；对于，“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生，但是一定有一个要发生，是对立事件，故正确．故选：．11．若函数（且）在上为单调函数，则的值可以是（    ）A． B． C． D．2【答案】ABD【分析】根据指数函数与一次函数的性质得到不等式组，需注意断点处函数值的大小关系；【详解】解：因为函数（且）在上为单调函数，所以或，解得或，所以满足条件的有ABD；故选：ABD12．已知为奇函数，且为偶函数，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】综合已知，利用奇偶性的定义和性质判定f(x)的周期为4，进而可求得,然后即可判定AB；根据周期性可判定C;根据已得数据可以判定时D中的方程不成立，从而判定D不正确.【详解】因为函数为偶函数，所以，又因为f(x)是R上的奇函数，所以，所以，所以f(x)的周期为4，又故A，B正确；,∴C正确；,同时根据奇函数的性质得既相等又互为相反数，故f(2)=0,所以，即对于不成立，故D不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，关键难点在于结合奇偶性得到周期性，同时注意，定义域为R的周期为奇函数，必有这一结论值得记忆.  三、填空题13．______．【答案】2【分析】根据对数与指数的运算法则计算即可【详解】解：.故答案为：14．若“，”的否定是真命题，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】先写出已知命题的否命题，然后结合二次函数的图象利用判别式得到关于a的不等式，解得其取值范围.【详解】由已知“”为真，故，解得,故答案为：.15．如图所示是某商家根据去年甲、乙两种产品的月销售额（单位：万元）作出的统计图（称为雷达图），根据图中信息，写出一个关于甲、乙两种产品销售额比较的统计结论：____________．【答案】结论一：甲产品的月销售额的平均水平高于乙产品；结论二：甲产品的月销售额的方差小于乙产品，比较稳定；乙产品月销售额的方差大于甲产品，波动性较大；结论三：甲产品的月销售额的极差小于乙产品的月销售额的极差．【分析】可以从平均值估计，或方差观察，或者极差观察得到不同的结论(答案不唯一)【详解】从图观察，可以看出：甲产品的月销售额的平均水平高于乙产品；甲产品的月销售额的方差小于乙产品，比较稳定；乙产品月销售额的方差大于甲产品，波动性较大；甲产品的月销售额的极差小于乙产品的月销售额的极差．故答案为：（以下结论任选一个即可，答案不唯一)结论一：甲产品的月销售额的平均水平高于乙产品；结论二：甲产品的月销售额的方差小于乙产品，比较稳定；乙产品月销售额的方差大于甲产品，波动性较大；结论三：甲产品的月销售额的极差小于乙产品的月销售额的极差．16．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】由已知可得、恒成立，可求得实数的取值范围.【详解】因为函数和之间存在隔离直线，所以，当时，可得对任意的恒成立，则，即，当时，可得对恒成立，令，则有对恒成立，所以或，解得或，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：. 四、解答题17．已知全集为，，．（1）若，求；（2）从下面所给的两个条件中选择一个，并说明它是的什么条件？（只需说明充分必要性，无需证明）．①；②．【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析.【分析】（1）由可直接求得，进而求得；（2）若选①，可以证得，同时，故可得是的既不充分也不必要条件；若选②，可以证得，但是，故可得是的充分不必要条件．【详解】（1）由题意可得，所以；（2）由得.若选择①：取，，显然，所以；反过来，由于，取，此时，所以.故是的既不充分也不必要条件.若选择②：当时，，显然，都有，即，所以；反过来，由于，取，此时，所以.故是的充分不必要条件．18．已知函数，且关于的不等式的解集为．（1）求实数，的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据韦达定理求解即可；（2）转化为在上恒成立，利用均值不等式求的最小值即可.【详解】（1）由题意得，1是方程的根，由韦达定理得，所以，又，解得．所以，．（2）由题意得，在上恒成立，令，只需即可，由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立．所以，所以实数的取值范围是．19．有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有1个红球，4个白球除颜色外球的质地大小完全相同）．（1）从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，则至少取得一个红球的概率是多少？（2）现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一球．如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？做出你的判断，并说说你的想法，你认为能否做出完全正确的判断？【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析.【分析】（1）列举可得总的样本点，从反面计数取到的两个球都是白球的情况种数，进而得到至少有一个红球的事件的样本点，从而得到概率；（2）根据概率的意义，可知无法判断.【详解】（1）甲盒中的3个红球记为，，；2个白球记为，；从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，样本空间每个点用有序组，其中，N都是取自5个球中的任意一个，且不能重复，即对于的每一种情况，都有4种不同的情况与之对应，而有5种不同的情况，列举可知共有个样本点，取到的两个球都是白球的情况有,两种不同情况，故至少取得一个红球的事件则共18个样本点，所以至少取得一个红球的概率；（2）参考答案一：选择的是甲盒，理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为，在乙盒中摸到红球的概率为，在甲盒中摸到红球的概率大于乙盒，故选择的应是甲盒，但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择乙盒的可能性．参考答案二：选择的是乙盒，理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为，在乙盒中摸到红球的概率为，虽然在乙盒中摸到红球的概率较低，但是不为0，所以存在选择乙盒的可能性，但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择甲盒的可能性．参考答案三：无法判断，理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为，在乙盒中摸到红球的概率为，都是概率不为0的随机事件，都有可能发生，所以可能无法判断．20．已知函数．（1）若，求函数的零点；（2）探索是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出实数的值并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析.【分析】（1）由题知，再令解方程即可得答案；（2）假设存在，再结合函数的定义域为，得，再检验即可得.【详解】（1）当时，，由得，所以，即，解得，所以函数的零点为．（2）假设存在实数，使得函数为奇函数，因为的定义域为，关于原点对称，则，所以，此时，又因为，此时为奇函数，满足题意．故存在实数，使得函数为奇函数．21．某市约有万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法，即制定每户居民月用电量的临界值，若居民某月用电量不超过度则按第一阶梯电价标准收费，价格为元/度；若某月用电量超过度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为元/度，未超出部分按第一阶梯电价标准收费．为此，相关部门在该市随机调查了户居民的某月用电量，以了解这个城市家庭用电量情况，进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）若该市政府希望让全市70%的居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值应定为多少？并估计全市居民月用电量的众数和平均数；（2）在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过度的居民用电量保持不变；月用电量超过度的居民节省“超出部分”的，试估计全市居民每月节约的电量；（3）在（1）（2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价．（结果保留两位有效数字）【答案】（1）的值为，众数为度，平均数为度；（2）（万度）；（3）.【分析】（1）根据频率分布直方图分析当频率之和刚好为时对应的用电度数即为的值，再根据频率分布直方图直接估计月用电量的众数，将每组数据的组中值乘以对应频率然后相加即可求得月用电量的平均数；（2）分别计算月用电量在、内的居民每月节约的电量，然后可得户居民每月所节约的电量，由此可估计全市居民每月节约的用电量；（3）根据题意分析得到“超出部分的电量”对应的总电费在采用阶梯电价前后相同，由此列出关于的方程并求解出的值.【详解】（1）由频率分布直方图可得，区间的频率总和为，由样本估计总体，可得临界值的值为，众数为的中间值度，平均数为度．（2）由（1）知，月用电量在内的居民在使用阶梯电价前后用电量不变，节电量为度；月用电量在内的户居民，平均每户用电度，超出部分为度，根据题意，每户每月节电（度），户每月共节电（度）；月用电量在内的户居民，平均每户用电度，超出部分为度，根据题意，每户每月节电（度），户每月共节电（度）故样本中户居民每月共节电（度），用样本估计总体，得全市居民每月节电量约为（万度）．（3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不变，故“超出部分”对应的总电费也不变，在户居民组成的样本中，每月用电量共超出度，实行“阶梯电价”后，共节约度，剩余度，所以，解得．22．已知函数（且）．（1）当时，解不等式；（2），，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不存在满足题意的实数，，理由见解析．【分析】（1）把代入，然后结合对数函数的单调性即可求解不等式；（2）由已知不等式恒成立转化为最值成立，结合复合函数的单调性即可求解；（3）结合对数函数单调性代入后，结合已知等式特点构造函数，结合二次函数性质可求．【详解】（1）时，，所以，解得即函数定义域为，因为，即，所以，即，解得或，又，所以不等式的解集为．（2），，即成立，又函数在上为增函数，①若，则，所以，即，则，解得或．又，所以．②若，则，所以，即，则，解得，又，所以．综上的取值范围为．（3）假设存在，满足题意，由（2）知，所以在上是减函数，则，所以，即，是方程的大于的两个不等实根，设，其对称轴为，由题意得所以或，又，所以．综上，不存在满足题意的实数，．