2020-2021学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合A并求出其补集，然后求得解.

【详解】因，则，于是得，

而，所以.

故选：D

2．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解.

【详解】设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长，而，

由此得，所以扇形的面积.

故选：B

3．下列函数是偶函数且在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性对各个选项进行检验，把满足在上为增函数的找出来.

【详解】函数在上是减函数；在上是减函数；是偶函数，当时，在上是增函数；在上是减函数.只有选项C满足条件.

故选：C.

4．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.

【详解】，

令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点，

所以可以取的一个区间是.

故选：B

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的单调性，与特殊值比较大小，即可判断选项.

【详解】，，，

所以最小，又，，即，

所以，即.

故选：C

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的定义域，单调性以及特值，结合选项得到答案．

【详解】函数定义域为

，则为奇函数，排除选项C，D

又

故选：A

7．已知实数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将所求代数式变形，结合基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为，则，

则，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.

故选：A.

8．我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（    ）

A．8080 B．4040 C．2020 D．1010

【答案】B

【分析】根据对称性的定义求出对称中心，再结合对称性进行分组计算函数值可得答案．

【详解】若的对称中心为，则，即

为奇函数的，必有且，解得，

则的对称中心为，所以，

，，，

，，所以

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的计算，解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数得出对称中心，然后函数值配对求和．

二、多选题

9．下列命题是真命题的有（    ）

A．

B．命题“”的否定为“”

C．“”是“”成立的充分不必要条件

D．若幂函数经过点，则

【答案】AC

【分析】A选项利用对数的四则运算即可求出；B项根据全称命题的否定直接判断；C项根据充分不必要条件的概念进行判断；根据幂函数求参数.

【详解】对A： ，故A正确；

对B：命题“”的否定为“”，故B错误；

对C：，但是，例如：，但，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故C正确；

对D：因为幂函数经过点，所以，即，所以

，故D错误.

故选：AC.

10．若角为钝角，且，则下列选项中正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用平方关系得到的值，再求解，即可解得.

【详解】，解得：，故D正确；

，

是钝角， ，即，

联立，解得： ，.

故选：BD

11．设，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据不等式的可加性和取倒的性质可判断AB，作差可判断C，用的单调性可判断D.

【详解】由，不等式的可加性可知A正确；

由，可得，所以，故B不正确；

由，由于的正负不能确定，所以与的大小不能确定，故C不正确；

因为在上单调递增，所以当时，，所以D正确.

故选：AD.

12．三元均值不等式：“当、、均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】将各选项中的代数式变形，利用三元均值不等式可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，因为，，

当且仅当时，即当时，等号成立，A选项正确；

对于B选项，因为，则，

当且仅当时，即当时，等号成立，B选项错误；

对于C选项，因为，则，

当且仅当时，即当时，等号成立，C选项正确；

对于D选项，因为，则，

当且仅当，即当时，等号成立，D选项错误.

故选：AC.

三、填空题

13．函数的值域为___________.

【答案】

【分析】由函数定义域求出的取值范围，再由的单调性即可得解.

【详解】函数的定义域为R，而，当且仅当x=0时取“=”，又在R上单调递减，

于是有，

所以函数的值域为.

故答案为：

14．已知函数若，则实数___________.

【答案】或16

【分析】分两种情况分别求出的表达式，得到关于的方程，解方程即可.

【详解】当时，由题意知，，解得符合题意；

当时，由题意知，，

解得（舍），符合题意；

综上可知，实数a的值为16或.

故答案为: 16或.

15．已知函数.若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】设的值域为A,设的值域为B,求出集合B，由题意分析出，由得到只需，列不等式组求出的范围.

【详解】设的值域为A,

设的值域为B,

因为所以在单调递减，所以.

因为对任意，总存在，使得，

所以.

因为，时，，所以在恒成立，

所以只需，只需，解得：，

故实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）相等关系

记的值域为A, 的值域为B,

①若，，有成立，则有；

②若，，有成立，则有；

③若，，有成立，故；

（2）不等关系

(1)若，，总有成立，故；

(2)若，，有成立，故；

(3)若，，有成立，故；

(4) 若，，有成立，故．

四、双空题

16．若，则___________，_________.

【答案】       

【分析】分析所求值的角与已知值的角的关系，借助三角函数诱导公式即可作答.

【详解】因，

则；

.

故答案为：；

五、解答题

17．已知角终边上一点.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）4；（2）.

【分析】(1)根据三角函数的定义可求出，然后分子分母同时除以，将弦化切，即可求出结果；

(2) 根据三角函数的定义可求出，，再利用诱导公式将表达式化简，即可求出结果.

【详解】解：（1）因为终边上一点，所以，

所以.

（2）已知角终边上一点，则，

所以，，

所以

18．已知集合.

（1）当时，求；

（2）是否存在实数，使得________成立？

请在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）分别求解两个集合，再求交集；（2）若选择条件①，则，利用包含关系求实数的取值范围，若选择条件②，讨论求解集合，根据，求实数的取值范围，若选择条件③，同样是分情况求解集合，利用包含关系求实数的取值范围.

【详解】解：（1）若，则，

解不等式，得，

所以；

（2）显然，

若选①，则，

当时，集合，

要使，则需，所以；

当时，集合，此时

所以若选①，则实数的取值范围为；

若选②，

当时，集合，

要使，则需，所以；

当时，集合，此时

所以若选②，则实数的取值范围为；

若选③，

当时，集合，

要使，则需，所以；

当时，集合，此时，不满足题意；

当时，集合，此时

所以若选③，则实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，本题的关键是讨论求解集合，再分类，利用数轴，结合集合的包含关系或是运算结合求参数的取值范围.

19．已知函数.若函数在区间上的最大值为，最小值为.

（1）求函数的解析式；

（2）求出在上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）和.

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数的解析式；

（2）由可计算出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间.

【详解】（1）由题意知，若，则，所以，

又因为，所以，得，所以；

（2）因为，所以，

正弦函数在区间上的单调递增区间为和，

此时即或，得或，

所以在上的递增区间为和.

20．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.

（1）求的函数关系式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）4千克，505元.

【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；

（2）判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．

【详解】解：（1）由题意得：，

（2）由（1）中

得

（i）当时，；

（ii）当时，

当且仅当时，即时等号成立.

因为，所以当时，，

所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下：

（1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；

（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.

21．已知一元二次函数.

（1）若，证明：函数在区间上单调递减；

（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】(1)在给定区间内任取两个自变量值并规定大小，再作对应函数值的差，利用函数单调性定义即可作答；

(2)按二次函数图象的开口方向及对称轴与区间的关系，分类讨论在区间上的最小值即可得解.

【详解】（1），且，

则，

因，则有，，而，

于是得，即，

从而有成立，即，

所以函数在区间上单调递减；

（2）因，则二次函数f(x)的图象对称轴为，

当时，，函数在区间上单调递减，，得，不符合题意；

当时，，函数在区间上单调递减，，得，符合题意；

当时，，函数的最小值为，得，不符合题意；

当时，，函数在区间上单调递增，，不符合题意，

综上得，

所以当函数在区间上的最小值为时，实数.

22．函数的定义域为，若，满足，则称为的不动点.已知函数.

（1）试判断不动点的个数，并给予证明；

（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）3个，证明见解析；（2）.

【分析】（1）分、、三种情况，利用构造函数，利用函数的单调性可得答案；

（2）解法1：转化为成立，解不等式组，再由可得答案；

解法2：转化为成立，等价于，使成立，构造函数，并利用函数的单调性，由可得答案.

【详解】（1），

若，则，所以，

由得，即，

因为在是单调递增函数，

所以函数在是单调递增的，

，

所以在内存在唯一零点；

若，则，所以，

由得解得；

若，则，所以，

由得；因为在是单调递增的，

，

所以在内有唯一零点；

综上所述，有3个不动点.

（2）由（1）可知，当，

若“”是真命题，

就是，使不等式成立，

等价于成立，

即，不等式组成立，

，

解得，

因为，保证，所以

因为，

，

所以，

所以，解得：.

所以实数的取值范围是.

解法2：由（1）可知，当，

若“”是真命题，

就是，使不等式成立，

等价于成立，

等价于，使成立，

且也成立，

由得，设，

，使成立，

只要即可，函数在上单调递减，

所以，所以，

，使在区间成立，

只需要即可，即得，

所以实数的取值范围是.