2020-2021学年上海市川沙中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年上海市川沙中学高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市川沙中学高一上学期期末数学试题  一、单选题1．若，则下列不等式成立的是(　　　　).A． B． C． D．【答案】B【详解】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴．故选B．2．条件P：，条件Q：，则P是Q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先把P、Q对应的不等式的范围解出来，用集合法判断充要条件关系.【详解】记集合，或因为集合P是Q的真子集，所以P是Q的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．3．对于 ，下列结论正确的是(    )A．当 异号时，左边等号成立B．当 同号时，右边等号成立C．当 时，两边等号均成立D．当 时，右边等号成立；当 时，左边等号成立【答案】B【分析】采用特殊值法验证即可.【详解】当时，左边等号成立，故A不正确.当 时，右边等号不成立，故C不正确. 当 时，右边等号不成立；故D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，还考查了特殊与一般的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4．对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”判断下列三个函数：
；；中是位差奇函数的个数有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据题意，结合““位差奇函数”的定义依次分析3个函数是否是“位差奇函数”，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析3个函数；
对于，，有，
则对任意实数m，是奇函数，
即是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；
对于，，则，
设，不会是奇函数，
则不是“位差奇函数”；
对于，，记，
由，当且仅当等式成立，
则对任意实数m，都不是奇函数，则不是“位差奇函数”；
故选B．【点睛】本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题  二、填空题5．幂函数的定义域为________________.【答案】【分析】根据函数解析式，则被开方数大于等于零，即可求出函数的定义域；【详解】解：因为，所以，所以函数的定义域为故答案为：6．，且，则________________.【答案】【分析】直接由特殊角的三角函数值得到答案.【详解】因为，且所以.故答案为：7．已知且，若，，则_______________.【答案】6【分析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.【详解】，同理： ∴故答案为：6【点睛】对数运算技巧：(1)指数式与对数式互化；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．8．已知是第二象限角，，则_______________.【答案】【分析】由为第二象限角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值．【详解】解：是第二象限角，且，，则．故答案为：．9．集合，，且，则实数取值范围是_______________.【答案】【分析】由可得A⊆B，列不等式，即可解得.【详解】因为，所以A⊆B，即a≥2所以实数取值范围是.故答案为：【点睛】(1)离散型的数集用韦恩图，连续型的数集用数轴；(2)集合的交、并关系通常转化为子集（包含关系）．10．已知方程的两根为，，则_______________.【答案】-1【分析】直接利用韦达定理计算可得；【详解】解：因为方程的两根为，，所以，所以故答案为：11．若函数为偶函数，则_______________.【答案】2【分析】把展开，只需一次项系数为0即可.【详解】因为函数为偶函数，所以m-2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案为：2【点睛】函数奇偶性的应用:(1)一般用或;(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或 .12．已知，则的最小值为_______________.【答案】2【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】，，当且仅当时，取“”，所以的最小值为2，故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．关于的方程有负根，则的取值范围为________________.【答案】【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可.【详解】因为当时，，所以关于的方程有负根，一定有成立，解得，故答案为：14．设奇函数在是严格增函数，且，则不等式的解集为________________.【答案】【分析】首先根据奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且，得到，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为或，进而求得结果.【详解】因为f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是严格增函数，，所以，且在(－∞，0)上也是增函数.因为＝，即或解得.故答案为：.15．设集合，若A为单元素集，则实数a的取值范围________.【答案】【分析】A为单元素集转化为只有一解，再用换元法可得答案.【详解】∵集合为单元素集，∴只有一解，令，则，在时有一解，即，或，解得或，时，由得，解得，所以符合题意；时，由得，解得，所以符合题意；∴实数的取值范围是.故答案为：．16．已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】本题要根据数形结合法将函数的图象向下平移到一定的程度，使得函数的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m的取值范围．【详解】解：由题意，在区间上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解，则只要找到其中一个实数a，使得函数的最大值最小即可，如图，函数向下平移到一定才程度时，函数的最大值最小．此时只有当时，才能保证函数的最大值最小．设函数图象向下平移了个单位，（）．，解得.∴此时函数的最大值为．根据绝对值函数的特点，可知实数的取值范围为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题． 三、解答题17．已知，求（1）（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将分子、分母同除以即可求解. （2），再将分子、分母同除以即可求解.【详解】（1）；（2）.18．已知，，（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】先解出集合A和集合B，然后分别根据和。分别求实数的取值范围.【详解】，，（1）因为，所以又，所以实数的取值范围是；（2）因为，所以，所以，又，所以实数的取值范围是.【点睛】(1)离散型的数集用韦恩图，连续型的数集用数轴；(2)集合的交、并关系通常转化为子集（包含关系）．19．已知快递公司要从地往地送货，，两地的距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担，（1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系：（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少?最少费用为多少?【答案】（1），；（2）以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.【分析】（1）依题意设车速为，即可得到函数解析式；（2）利用基本不等式求最值，即可得解．【详解】解：（1）设车速为，则时间为， 依题意可得，；（2），当且仅当，即时取等号，所以以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．20．（1）解不等式：；（2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P；（3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值.【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或.【分析】（1）分，，三种情况求解即可；（2）根据三角不等式得，，由此可得，从而可求出的取值范围；（3）先解不等式.与|，可得，当时，符合题意，当时，构造函数，则有，从而可求出的值【详解】（1）若时，，符合题意；若时，，解得，故；若时，，无解；综上，的解是；（2）根据三角不等式得，，所以，解得或，∴集合；（3）由可得，由可得，故，若，，解得，符合题意；若，设，由于，所以只要即可即因为，可得或；综上，或或.【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是构造函数，可得，从而可求出的值，考查分类思想和计算能力，属于中档题21．已知函数（是常数）.（1）若，求函数的值域.（2）若为奇函数，求实数，并证明图像始终在的图像的下方.（3）设函数，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.【分析】（1）将函数化为，再利用反函数法即可求解.（2）由奇函数的定义可得，代入解析式化简整理可求；只需证出即可.（3）由题意只需，，令，，可得，讨论对称轴的取值范围，根据二次函数的性质求出的最值即可求解.【详解】（1）若，则，即，整理得，因为，所以，即，所以函数的值域为；（2）若为奇函数，则，即，整理得，因为恒不为0，所以，解得，此时，所以，所以图像始终在的图像的下方﹔（3）由题意得，，令，，则，其对称轴为，①当，即时，严格减，由得，解得或，所以，②当，即时，先减后增左端点高，由得，无解，③当，即时，先减后增右端点高，由得，无解，④当，即时，严格增，由得，解得或，所以，综上，.【点睛】关键点点睛：本题考查了求函数的值域、二次函数的最值以及不等式恒成立，解题的关键是得出，考查了分类讨论的思想、数学运算，此题综合性比较强.