2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题.，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期末数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝　 　．
2．集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x＞a}，若A⊆B，则a的取值范围是　 　．
3．已知函数f（x）与y＝ln（x﹣1）是互为反函数，则f（x）＝　 　．
4．方程lgx＝4﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k＝　 　．
5．函数，满足f（x）＞1的x的取值范围是　 　．
6．已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为　 　．
7．若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣1|＞a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
8．化简：＝　 　．
9．已知在[3，4]上是严格减函数，则实数a的取值范围是　 　．
10．已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）＝a|x|恰有3个互异的实数根，则实数a的取值范围为　 　．
11．设方程x2﹣2ax﹣1＝0的两根为x1、x2，且x1＜﹣2，0＜x2＜，则实数a的取值范围是　 　．
12．已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为　 　．
二、选择题
13．已知实数x、y，则“|x|+|y|≤1”是“”的（　　）条件
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
14．函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝﹣logax在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
15．函数是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（　　）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
16．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）＝log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（﹣∞，） C．（0，] D．（﹣∞，]
三、解答题
17．已知sinα+cosα＝，0＜α＜π．
（1）求sinα﹣cosα的值；
（2）求tanα﹣cotα的值．
18．已知实数x满足9x﹣12•3x+27≤0．
（1）求x的取值范围；
（2）若函数，求f（x）的是大值和最小值，并求此时x的值．
19．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，x（单位：天）时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y＝．根据经验，当水中含有物质N的量不低于4mol/L时，物质N才能有效发挥作用．
（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？
（2）若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．
20．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（x∈R，a＞0且a≠1）．
（1）若0＜a＜1，判断y＝f（x）的奇偶性和单调性；
（2）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围；
（3）若，g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．
21．已知函数f（x）＝x2﹣1﹣k|x﹣1|，k∈R．
（1）若y＝f（x）为偶函数，求k的值；
（2）若y＝f（x）有且仅有一个零点，求k的取值范围；
（3）求y＝f（x）在区间[0，2]上的最大值．


参考答案
一、填空题
1．设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝　{x|1＜x≤3}　．
解：∵A＝{x|x＞1}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤3}，
故答案为：{x|1＜x≤3}．
2．集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x＞a}，若A⊆B，则a的取值范围是　a≤﹣1　．
解：∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，
若A⊆B，
则a≤﹣1，
故答案为：a≤﹣1．

3．已知函数f（x）与y＝ln（x﹣1）是互为反函数，则f（x）＝　ex+1，x∈R　．
解：由y＝ln（x﹣1）得x﹣1＝ey，所以x＝ey+1，
所以函数y＝ln（x﹣1）的反函数为y＝ex+1，所以f（x）＝ex+1，x∈R．
故答案是：ex+1，x∈R．
4．方程lgx＝4﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k＝　3　．
解：设函数f（x）＝lgx+x﹣4，则函数f（x）单调递增，
∵f（4）＝lg4+4﹣4＝lg4＞0，f（3）＝lg3+3﹣4＝lg3﹣1＜0，
∴f（3）f（4）＜0，
在区间（3，4）内函数f（x）存在零点，
∵方程lgx＝4﹣x的解在区间（k，k+1）（k∈Z），
∴k＝3，
故答案为：3．
5．函数，满足f（x）＞1的x的取值范围是　x＜﹣1或x＞1　．
解：①x＞0时，f（x）＝＞1，得x＞1；
②x≤0时，f（x）＝2﹣x﹣1＞1，即2﹣x＞2，得x＜﹣1，
综上x的取值范围是x＜﹣1或x＞1．
故答案为：x＜﹣1或x＞1
6．已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为　　．
解：根据扇形的弧长公式可得l＝αr＝×2＝
根据扇形的面积公式可得S＝lr＝××2＝．
故答案为：．
7．若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣1|＞a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣2）　．
解：由题意，设f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，x∈R，
则f（x）＝，画出f（x）的图象，如图所示：

由图象知，f（x）的最小值为f（x）min＝﹣2，
所以不等式|x+1|﹣|x﹣1|＞a对任意x∈R恒成立，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）．
8．化简：＝　1　．
解：＝••＝1，
故答案为：1．
9．已知在[3，4]上是严格减函数，则实数a的取值范围是　（0，）　．
解：∵已知在[3，4]上是严格减函数，
∴y＝1﹣ax2在[3，4]上大于零且是是严格减函数，
∴a＞0，且y＝1﹣ax2在[3，4]上的最小值 1﹣16a＞0，
∴0＜a＜，
故答案为：（0，）．
10．已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）＝a|x|恰有3个互异的实数根，则实数a的取值范围为　（0，3）∪（3，+∞）　．
解：函数f（x）＝|x2+3x|，
当x＝0时，满足f（x）＝a|x|，故方程f（x）＝a|x|有一个根为0；
当x≠0时，则方程f（x）＝a|x|恰有2个互异的实数根，即方程a＝|x+3|（x≠0）恰有2个互异的实数根，
等价于函数y＝a与y＝|x+3|（x≠0）的图象有2个不同的交点，
作出函数y＝|x+3|（x≠0）的图象如图所示，
由图象可知，实数a的取值范围为（0，3）∪（3，+∞）．
故答案为：（0，3）∪（3，+∞）．

11．设方程x2﹣2ax﹣1＝0的两根为x1、x2，且x1＜﹣2，0＜x2＜，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣）　．
解：设f（x）＝x2﹣2ax﹣1，
∵关于x的方程x2﹣2ax﹣1＝0的两根为x1、x2，
且x1＜﹣2，0＜x2＜，
∴，即，
解得a∈（﹣∞，﹣）．
故答案为：（﹣∞，﹣）．

12．已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为　[，+∞）　．
解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，
若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，
则y＝f（x+a）与y＝x有交点，
所以，
即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，
故答案为：[，+∞）．

二、选择题
13．已知实数x、y，则“|x|+|y|≤1”是“”的（　　）条件
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
解：当|x|+|y|≤1时，则，故充分性成立，
当|x|＝1，|y|＝1时，满足，但是|x|+|y|＝2，故必要性不成立，
所以“|x|+|y|≤1”是“”的充分不必要条件．
故选：B．
14．函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝﹣logax在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：f（x）＝（）x，g（x）的定义域为（0，+∞），排除A，
若0＜a＜1，则f（x）为增函数，g（x）为增函数，
若a＞1，则f（x）为减函数，g（x）为减函数，
即f（x），g（x）的单调性相同，排除C，D，
故选：B．
15．函数是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（　　）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
解：由已知函数是幂函数，可得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1，
当m＝2时，f（x）＝x3；当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣3．
对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，
函数是单调增函数，
∴m＝2，f（x）＝x3．
a+b＞0，ab＜0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，
则f（a）+f（b）恒大于0．
故选：A．
16．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）＝log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（﹣∞，） C．（0，] D．（﹣∞，]
解：∵函数f（x）＝f（x）＝log2（2x+t）为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴，
即，
∴a，b是方程2x﹣+t＝0的两个根，
设m＝＝，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t＝0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；
∴，
解得：0＜t＜，
∴满足条件t的范围是（0，），
故选：A．
三、解答题
17．已知sinα+cosα＝，0＜α＜π．
（1）求sinα﹣cosα的值；
（2）求tanα﹣cotα的值．
解：（1）因为：sinα+cosα＝，
则两边平方，可得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，
解得：2sinαcosα＝﹣＜0，
因为：0＜α＜π，
可得：sinα＞0，cosα＜0，
可得：sinα﹣cosα＝＝＝．
（2）因为由（1）可得sinαcosα＝﹣，
所以tanα﹣cotα＝﹣＝＝＝﹣．
18．已知实数x满足9x﹣12•3x+27≤0．
（1）求x的取值范围；
（2）若函数，求f（x）的是大值和最小值，并求此时x的值．
解：（1）由9x﹣12•3x+27≤0，得（3x）2﹣12•3x+27≤0，
即（3x﹣3）（3x﹣9）≤0，∴3≤3x≤9，
解得x的取值范围为：1≤x≤2；
（2）因为f（x）＝log2（2x）•＝（log2x+1）（log2x﹣2）
＝（log2x）2﹣log2x﹣2＝（log2x﹣）2﹣，
∵1≤x≤2，∴0≤log2x≤1，
当log2x＝，即x＝时，f（x）min＝﹣，
当log2x＝1或log2x＝0，即x＝1或2时，f（x）max＝﹣2．
19．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，x（单位：天）时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y＝．根据经验，当水中含有物质N的量不低于4mol/L时，物质N才能有效发挥作用．
（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？
（2）若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．
解：（1）由题意x，（单位：天）时刻后水中含有物质N的量为．
解y≥4，得2≤x≤8．
所以若在水中首次投放1个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用7天．
（2）设第x（8≤x≤12）天水中所含物质N的量为ymol/L，
则，
，
当且仅当 ，即 x＝10∈[8，12]时，等号成立．即当x＝10时，ymax＝6．
所以第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过6mol/L．
20．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（x∈R，a＞0且a≠1）．
（1）若0＜a＜1，判断y＝f（x）的奇偶性和单调性；
（2）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围；
（3）若，g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．
解：（1）f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵0＜a＜1，∴y＝ax递减，y＝﹣a﹣x递减，
故f（x）是减函数；
（2）f（ x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．
∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，
又a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1，
故f（x）在R上单调递减，
不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），
∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，
∴△＝（t﹣1）2﹣16＜0，
解得﹣3＜t＜5；
（3）∵f（1）＝，∴a﹣＝，即2a2﹣3a﹣2＝0，
解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，
令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数，
∵x≥1，∴t≥f（1）＝，
令h（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2（t≥），
若m≥，当t＝m时，h（t）min＝2﹣m2＝﹣2，∴m＝2；
若m＜时，当t＝时，h（t）min＝﹣2，解得m＝＞，无解；
综上，m＝2．
21．已知函数f（x）＝x2﹣1﹣k|x﹣1|，k∈R．
（1）若y＝f（x）为偶函数，求k的值；
（2）若y＝f（x）有且仅有一个零点，求k的取值范围；
（3）求y＝f（x）在区间[0，2]上的最大值．
解：（1）因为y＝f（x）为偶函数，所以f（﹣1）＝f（1），解得k＝0，
经检验k＝0符合题意；
（2）由题意得，方程x2﹣1﹣k|x﹣1|＝0有且仅有一个解，
显然，x＝1已是该方程的解，
当x≥1时，方程变为（x﹣1）（ x+1﹣k）＝0，
当x＜1时，方程变为（x﹣1）（ x+1+k）＝0，
从而关于x的方程x+1﹣k＝0（x≥1）有且仅有一个等于1的解或无解，且x+1+k＝0（x＜1）无解，
又x＝1时，k＝2，此时x＝﹣3也是方程的解，不合题意，
所以关于x的方程x+1﹣k＝0（x≥1）无解，且x+1+k＝0（x＜1）无解，
所以，k＜2且k≤﹣2，
综上，k≤﹣2，即实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]．
（3）当x∈[0，2]时，f（x）＝，
因为y＝f（x）在区间[0，2]上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上，
所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（1）其中之一，
又f（0）＝﹣k﹣1，f（1）＝0，f（2）＝﹣k+3，显然f（2）＞f（0），
所以当k＜3时，所求最大值为f（2）＝﹣k+3；
当k≥3时，所求最大值为f（1）＝0．