2020-2021学年上海市杨浦区高一上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市杨浦区高一上学期期末教学质量检测数学试题

一、单选题

1．“”是“”成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论．

【详解】解：，

，，

“”是“”成立的充分非必要条件，

故选：．

【点睛】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．

2．关于函数，下列说法正确的是（　　）

A．是奇函数且在区间上是严格增函数

B．是偶函数且在区间上是严格增函数．

C．是非奇非偶函数且在区间上是严格增函数．

D．是非奇非偶函数且在区间上是严格减函数．

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性的判定方法和幂函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为，则定义域不关于原点对称，

所以函数为非奇非偶函数，排除A、B；

又由幂函数的性质，可得幂函数在上是严格增函数．

故选：C.

3．函数的大致图像是（　　）

A．
 B．
 

C．
 D．
 

【答案】A

【分析】根据特值，以及函数单调性即可容易判断.

【详解】取，得到，即函数过点，排除C和D，

因为为单调增函数，故在和上单调递减，排除B.

故选：A.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

4．定义在上的函数、是严格增函数，﹐若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”，已知，下列四个函数：

①；②；③；④

其中是在上的“追逐函数”的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①④ D．①②

【答案】D

【分析】根据新定义进行判断，即判断在上严格递增，，且存在，使．且是任意的实数．可作出函数图象，作直线与它们相交，观察可得．

【详解】在上，与四个选项中的函数都是严格单调递增的，且．

其中时，，因此只要则不存在，使得成立，④不是上的“追逐函数”，

对于函数，由于与在时有两个交点，因此的图象向下平行1个单位所得图象与的图象仍然有两个交点，其中一个交点为，另一交点横坐标设为，显然，但，取，不存在，使得，③不是上的“追逐函数”，

对和，作出它们的图象，同时作出的图象，如图，再作直线，直线与的交点横坐标为，与的交点的横坐标为，满足，同样直线与的交点的横坐标为，也满足，因此①②是上的“追逐函数”，

故选：D．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是理解新定义，用已学函数知识解决新定义问题．解题方法是根据新定义的理解判断，也可转化为直线与函数图象交点问题，利用数形结合思想求解．

二、填空题

5．函数的定义域为_______．

【答案】

【分析】将函数解析式变形为，即可求得原函数的定义域.

【详解】，所以，.

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

6．设函数，（），若其零点为2，则a=__________．

【答案】2

【分析】解方程得解.

【详解】由题得或，

因为，所以.

故答案为：2

7．函数的值域为__________．

【答案】

【分析】结合基本不等式，求得，进而求得函数的值域，得到答案.

【详解】因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，

所以函数的值域为.

故答案为：.

8．全集，，则__________．

【答案】

【分析】先解绝对值不等式确定集合，然后由补集定义计算．

【详解】由得，即，∴，

∴．

故答案为：．

9．已知函数为幂函数，且为奇函数，则实数a的值__________．

【答案】1

【分析】解方程再讨论函数的奇偶性得解.

【详解】因为函数为幂函数，

所以或.

当时，为偶函数，不符合题意，所以舍去；

当时，为奇函数，符合题意.

故答案为：1

10．函数的最小值等于__________．

【答案】4

【分析】利用绝对值不等式求解.

【详解】因为,

当时，取等号，

所以的最小值为4

故答案为：4

11．函数，且）图象恒过定点P，点P的坐标为__________．

【答案】

【分析】令可得，计算可得．

【详解】令，即，则，

∴函数过定点．

故答案为：．

12．已知是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，那么使得成立的实数的取值范围是_________

【答案】

【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．

【详解】∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．

∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），

即2≤|a|，

∴a≤﹣2或a≥2，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f（a）＝f（|a|）是解决偶函数问题的关键．

13．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为=__________．

【答案】

【分析】设，则，得到，再根据函数是定义在R上的奇函数求解.

【详解】设，则，

所以，

又因为函数是定义在R上的奇函数，

所以，

又，

所以=，

故答案为：

14．若是定义在R上的奇函数，当时，，则__________．

【答案】

【分析】由函数是定义在R上的奇函数，求得，再由，求得的值，即可求解.

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，

又由当时，，则，

所以.

故答案为：.

15．已知函数，的图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________．

【答案】.

【分析】根据和两种情况讨论，令，得出不等式，即可求解.

【详解】当时，令，可得，此时不等式的解集为空集，（舍去）；

当时，令，可得，即，即实数的取值范围，

综上可得，实数的取值范围.

故答案为：.

16．定义：区间的长度，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为__________．

【答案】3

【分析】解出不等式，画出函数图象，结合图象可知定义域的最大区间为，最小区间为，即可求出.

【详解】的值域为，

，则，解得，

画出函数的图象，

定义域为时值域为，

由图象可知，定义域区间长度的最大值为，最小值为，

则区间的长度的最大值与最小值的差为.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了对数函数的定义域即函数值域的求解，画出函数图象，利用数形结合是解题的关键.

三、解答题

17．已知函数的定义域为集合，集合，且.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：函数是奇函数但不是偶函数.

【答案】（1） ;（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合，再由集合的包含关系，可得的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得的定义域，计算与比较，即可得到所求结论．

试题解析：（1）令，解得，所以，

因为，所以，解得，即实数的取值范围是

（2）函数的定义域，定义域关于原点对称

而，，所以

所以函数是奇函数但不是偶函数.

18．科学家发现某种特别物质的温度（单位：摄氏度）随时间（时间：分钟）的变化规律满足关系式：（，）.

（1）若，求经过多少分钟，该物质的温度为摄氏度；

（2）如果该物质温度总不低于摄氏度，求的取值范围.

【答案】（1）经过分钟，该物质的温度为摄氏度；（2）.

【分析】（1）将代入函数解析式，令，结合解出的值；

（2）令，换元，于是得出，由参变量分离法得出，然后求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）由题意，当，令，

时，解得，因此，经过分钟时间，该物质的温度为摄氏度；

（2）由题意得对一切恒成立，

则由，得出，令，则，且，

构造函数，

所以当时，函数取得最大值，则.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查给定函数模型的应用，考查指数方程的求解以及指数不等式恒成立问题的求解，在含单一参数的不等式问题中，通常利用参变量分离法转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.

19．设函数．

（1）解不等式；

（2）关于x的方程在区间上有实数解，求实数λ的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据对数函数的性质求解．

（2）问题即为在上有解，利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值后可得结论．

【详解】解：（1）由题意，知，由函数单调性，则，

解得，

故，原等式的解集为．

（2），

即在上有解，

又函数在上递增，

时，；时，．

所以，实数λ的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解问题，解题方法是利用分离参数法转化为求函数的值域，从而得参数范围．而利用单调性是求函数值域的基本方法．

20．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．

（1）函数是否属于集合？说明理由；

（2）设函数求的取值范围；

（3）设函数图像与函数的图像有交点且横坐标为，证明：函数，并求出对应的（结果用表示出来）．

【答案】（1），答案见解析；（2）；（3）证明见解析；．

【分析】（1）集合M中元素的性质，即有成立，代入函数解析式列出方程，进行求解即可；

（2）根据和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；

（3）利用和，整理出关于的式子，利用图象与函数的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明.

【详解】（1）若在定义域内存在，

则方程无解，所以

（2）由题意得

当时，；

当时，由，得，解的

综上，；

（3）函数

又函数图像与函数的图像有交点且横坐标为

则，其中

即．

【点睛】此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.

21．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作．

（1）令，，求的取值范围；

（2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）当时，得到；当时，，利用对勾函数性质可求得，取并集得到结果；

（2）由（1）可将化为，得到的单调性后，可知最大值在或处取得；分别在和两种情况下确定的最大值，即，由得到不等式，解不等式求得结果.

【详解】（1）当时，

当时，

（当且仅当，即时取等号），又时，

综上所述：

（2）由（1）知：令，则，

当时，

当时，单调递减；时，单调递增

又，   

①当时，   

由得：   

②当时，   

由得：   

综上所述：当时，综合污染指数不超标

【点睛】本题主要考查了利用给定函数模型求解实际问题，涉及到函数值域的求解、根据函数性质求解不等式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．