2020-2021学年上海市位育中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市位育中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．若函数的反函数为，则方程（    ）

A．有且只有一个实数解 B．至少一个实数解

C．至多有一个实数解 D．可能有两个实数解

【答案】C

【分析】利用函数定义可知每一个自变量都有唯一确定的一个数与之对应，再结合反函数的性质即得结果.

【详解】函数有反函数，可知是一个单射函数，设定义域为I，

故若，设，由函数定义知a有唯一值，故，且方程只有一实数解a；

若，无意义，故不存在x，使得，故方程无解.

故方程至多有一个实数解

故选：C.

2．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C.

3．若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则下列说法正确的是（    ）

A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0

B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)=0

C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0

D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0

【答案】C

【分析】根据零点存在性定理，直接判断命题是否正确.

【详解】根据函数零点存在定理进行判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0，但c的个数不确定，故B，D错误.若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0，如，f(-2)f(2)>0，但在区间(-2，2)内有两个零点，故A错误，C正确.

故选：C

【点睛】本题考查零点存在性定理的命题判断，属于基础题型，本题的关键是理解零点存在性定理.

4．已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（    ）

A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件

C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件

【答案】A

【分析】先由命题成立时，利用单调性和函数值为正，结合不等式性质即推出命题成立，再由命题成立时，利用单调性和函数零点，推出命题成立，即得结果.

【详解】命题成立，即在上是严格减函数，且恒成立，

故取时，对任意的，，则，即，

故，即命题可推出命题，是的充分条件；

命题成立，在上是严格增函数，且存在使得，

故取时，对任意的，，则，，

，即命题可推出命题， 是的充分条件；

故、都是的充分条件.

故选：A.

【点睛】本题解题关键在于分别由命题、，利用函数的单调性和值的分布特征去证明命题，即突破难点.

二、填空题

5．设全集，若集合，则________

【答案】

【分析】直接利用补集定义进行运算即可.

【详解】因为全集，若集合，

所以.

故答案为：.

6．不等式＞0的解集为___________．

【答案】(－3,2)

【解析】试题分析：，所以原不等式的解集为.

【解析】分式不等式.

7．函数的定义域是________.

【答案】且

【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.

【详解】由题意，要使函数有意义，则，

解得，且；

故函数的定义域为：且.

故答案为：且.

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

8．设且，，若，则________

【答案】125

【分析】先利用换底公式解得，再结合对数运算性质即得结果.

【详解】由知，，即，故.

故答案为：125.

9．函数，的反函数为________

【答案】

【分析】先利用已知函数关系解得x关于y的解析式，再将两个变量对换位置即得结果.

【详解】由题知，，，解得，

故函数，的反函数为.

故答案为：.

10．不等式的解集为________

【答案】

【分析】构造函数，，利用和函数单调性，即得不等式的解集.

【详解】构造函数，，则，故不等式即.

由指数函数和对数函数的单调性可知，函数在上单调递增，故不等式即得，故不等式的解集为.

故答案为：（0，1）.

11．函数的值域是________

【答案】

【分析】先求函数定义域，在定义域范围先求取值范围，再依次求得、的范围，即得结果.

【详解】函数定义域为，由，有，

故，即值域为.

故答案为：.

12．若函数的值域为则实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】先由分段函数值域的求法，求出各段上的值域，再由函数值域求参数的范围即可得解.

【详解】解：①当时，，即 ，

②当时，，即 ，

由函数的值域为，则，

故答案为.

【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，重点考查了由函数值域求参数的范围，重点考查了集合思想，属中档题.

13．函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数的图像关于轴对称，则________

【答案】

【分析】从出发，逆向探求即可.

【详解】函数图像关于轴对称的图像对应函数的表达式是，

函数向左平移1个单位长度得，即

14．设是定义在上的奇函数，当时，为常数），则________．

【答案】-3

【分析】根据函数是奇函数，求得参数，再结合已知函数解析式，求得的解析式，代值计算即可.

【详解】是定义在上的奇函数，

当时，为常数），

，

解得，

．

当时，，

，．

故答案为：

【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，以及函数解析式，属综合基础题.

15．已知定义在R上的偶函数在上是严格增函数，如果对于任意恒成立，则实数的取值范围是________

【答案】

【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反结合已知可得在R上是增函数，进而可将对于任意恒成立，转化为对任意都成立，进而可得，最后结合函数的单调性可得实数a的取值范围

【详解】因为定义在R上的偶函数在上是严格增函数，

因为对任意都成立，

所以对任意都成立，

即对任意都成立，

变形可得，

由函数在为增函数，在上为减函数，

故，所以.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题的解题关键是由函数为偶函数得出，进而结合单调性求出a的取值范围.

16．设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为________

【答案】

【分析】由题设且上有，所以，使得成立，只需即可，进而求得正整数的最大值.

【详解】由题意知：，使成立，

而当且仅当时等号成立，

∴，而，即，

∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有，即，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要即可求最值.

三、解答题

17．设为实数，，已知幂函数在区间上是严格增函数，试求满足的的取值范围．

【答案】．

【分析】根据幂函数的概念及单调性，由题中条件，求出的值，将所求不等式化为，直接解不等式，即可得出结果.

【详解】因为是幂函数，所以，解得或；

又在区间上是严格增函数，所以，则，所以；

因此不等式可化为，显然；

当时，，，所以恒成立；

当时，可化为，因此，

综上，满足的的取值范围是.

18．设，其中．

（1）若函数的图象关于原点成中心对称图形，求的值；

（2）若函数在上是严格减函数，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据函数的图象关于原点成中心对称，得到是奇函数，由此求出的值，再验证，即可得出结果；

（2）任取，根据函数在区间上是严格减函数，得到对任意恒成立，分离出参数，进而可求出结果.

【详解】（1）因为函数的图象关于原点成中心对称图形，

所以是奇函数，则，解得，此时，因此，所以是奇函数，满足题意；故；

（2）任取，因为函数在上是严格减函数，

则对任意恒成立，即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

因为，所以，则，

所以对任意恒成立，

又，所以，

为使对任意恒成立，只需.

即的取值范围是.

【点睛】思路点睛：

已知函数单调性求参数时，可根据单调性的定义，得到不等式，利用分离参数的方法分离出所求参数，得到参数大于（等于）或小于（等于）某个式子的性质，结合题中条件，求出对应式子的最值，即可求解参数范围.（有时会用导数的方法研究函数单调性，进而求解参数范围）

19．设，其中为实数．

（1）设集合，集合，若，求实数的取值范围；

（2）若集合中的元素有且仅有2个，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）化简集合A、B再由集合包含关系建立不等式，解不等式得解；

（2）转化为函数关系，变量分离，研究恰有两个交点的条件.

【详解】（1）化简，，

又，所以，

（2）由，

得，且，，

构造，对称轴，

在上单调增，在上单调减，

直线与函数在上恰有两个交点时，

，

20．某蔬菜种植基地共有甲、乙两个蔬菜大棚，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入万元与甲大棚的投入万元满足，种黄瓜的年收入万元与乙大棚的投入万元满足，现该基地准备每年共投入200万元到甲、乙两个蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，设甲大棚的投入为万元，每年两个大棚的总收入为万元．

（1）求的值；

（2）试问如何安排甲、乙两个蔬菜大棚的投入，才能使得总收入最大？

【答案】（1）；（2）甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收入最大．

【分析】（1）分别算出甲大棚的投入为50万元，乙大棚投入150万元后所收入；

（2）写出利润函数，研究函数的最值.

【详解】（1）甲大棚的投入为50万元，由万元，

乙大棚投入200-50=150万元，由万元；

故万元.

（2）依题意，

，

设，，

，，

对称轴，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

当时取最大值，所以万元.

答: 甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收入最大．

21．对于函数，若定义域中存在实数、满足且，则称函数为“函数”．

（1）判断，是否为“函数”，并说明理由；

（2）设且，若函数，为“函数”，且的最小值为5，求实数的取值范围．

【答案】（1）不是，答案见解析；（2）．

【分析】（1）反证法.假设其为“函数”，代入值得到两组等式，相减，分解因式得到，与题设矛盾.故不是“函数”.

（2）分类讨论分析的单调性，只有时符合题意.通过运算得到三者关系式，，，由的最小值为5，得到取值范围满足，从而得到的取值范围.

【详解】（1）若，是“函数”，

则满足

则，两式相减得

故

即，则这与矛盾

故，不是否为“函数”

（2），

①若，则，则在时单调递减，故不满足存在使得，不合题意

②若，因为，单调递减，且

故时，单调递减，故时，单调递增，

故，

，

，

若

则，则，故

得，不合题意

若

则，则，故

得.

故，，

若中存在实数、满足且，的最小值为5.

故在中存在满足，且

故，故

综上所述，的取值范围为

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.