2020-2021学年天津市部分区高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年天津市部分区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则集合（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先求出，再根据并集的定义计算可得；

【详解】解：因为全集，集合，

所以

所以

故选：D

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．，  D．，

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定判断即可.

【详解】根据特称命题的否定是全称命题可知，“，”的否定是“，”.

故选：B.

3．已知角的终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义先求出，由诱导公式可得，从而得出答案.

【详解】角的终边过点，则

所以，又

故选：C

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由，解得的范围，即可判断出结论．

【详解】解：因为，解得或，

因为

“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

5．已知，，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指对数函数的单调性，借助中间量比较大小即可得答案.

【详解】解：因为指数函数在定义域内是增函数，所以；

由于对数函数在定义域内是减函数，所以；

由于对数函数在定义域内是减函数，所以；

所以.

故选：B.

【点睛】本题解题的关键在于根据题意，借助中间量比较大小.

6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ）

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度

【答案】C

【分析】由于函数，，进而根据函数平移变换即可得答案.

【详解】解：由于，，

故为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得.

故选：C.

【点睛】易错点点睛：本题考查三角函数平移变换，解题时需要注意时，到平移的单位为个单位.

7．已知，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据同角三角函数基本关系得出的值，再用两角差的余弦公式即可解题.

【详解】因为，所以，

又，所以，

所以

.

故选：D

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下：

（1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得的值；

（2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.

8．已知扇形的圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据弧长求出半径，再由扇形的面积公式求出答案.

【详解】设扇形的半径为，扇形的圆心角为150°，即

所以弧长为，则

这个扇形的面积为

故选：B

9．已知函数为偶函数，当时，，则的值为（    ）

A．-1 B．-2 C．1 D．2

【答案】A

【分析】由函数为偶函数，则，得出答案.

【详解】函数为偶函数，则

所以

故选：A

10．已知函数若关于方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】方程恰有三个不同的实数解，即函数的图象与的图象有三个交点, 作出函数图象,数形结合可得答案.

【详解】根据函数，作出函数图象，如图.

方程恰有三个不同的实数解，即函数的图象与的图象有三个交点

如图，，

当时，函数的图象与的图象有三个交点

故选：D

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

二、填空题

11．函数，的最小正周期为______.

【答案】

【分析】利用正切函数的周期公式计算即可．

【详解】解：，

其最小正周期．

所以函数，的最小正周期为：．

故答案为：

12．已知为自然对数的底数.计算：______.

【答案】1

【分析】根据对数的运算法则及指数幂的运算法则计算可得；

【详解】解：

故答案为：

13．______.

【答案】

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数计算可得；

【详解】解：

故答案为：

14．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式______.

【答案】

【分析】由五点法求得周期，由振幅可求A，再由最低点可求得φ．

【详解】由振幅得：

由图象可得：，

∴2，

∴y＝sin（2x+φ），

当时，y＝，

∴，

∴解析式为：

【点睛】本题关键点是利用五点法确定周期与φ.

15．有下列命题：

①当，且时，函数的图象恒过定点

②；

③幂函数在上单调递减；

④已知，，则的最大值为

其中正确命题的序号为______(把正确的答案都填上)

【答案】①③

【分析】分别利用指数函数过定点（0，1），三角函数在各象限正负，幂函数单调性即及基本不等式判断各个命题的正误即可.

【详解】①由于函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（0，1），

所以当，且时，函数的图象恒过定点正确；

②由于，所以，所以，故②错误；

③幂函数在上单调递减正确；

④因为当且仅当，即时等号成立，此时有，即的最大值为，但条件中，所以此命题错误.

故答案为：①③

【点睛】运用基本不等式求最值时，一定要保证等号能成立.

三、解答题

16．已知，且是第四象限角.

（1）求和的值；

（2）求的值；

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）根据象限和公式求出的正弦，再用倍角公式计算即可

（2）求出角正切值，再展开，代入计算即可.

【详解】解：（1），由得，

，

又是第四象限角，

，

，

，

.

（2）由（1）可知，

，

.

17．已知函数，其中，且.

（1）求的定义域；

（2）求的零点；

（3）比较与的大小

【答案】（1）；（2）零点为2；（3）答案见解析.

【分析】（1）根据对数式的真数大于零求解出的取值范围，则定义域可求；

（2）令，利用对数运算求解出对应的，则的零点可知；

（3）先计算出与，然后根据进行分类讨论，结合函数单调性即可比较出大小.

【详解】解：（1）由，得，

所以函数的定义域为.

（2）令，即，

则，所以，

所以函数的零点为2.

（3），

，

当时，函数是增函数，所以，即.

当时，函数是减函数，所以，即.

【点睛】关键点点睛：解答本题中的第三问的关键是处理好分类讨论，底数相同的对数式，需要对底数分：两种情况去比较大小.

18．某公司为了发展业务，制订了一个激励销售人员的奖励方案：①当销售利润不超过10万元时，不予奖励；②当销售利润超过10万元，但不超过20万元时，按销售利润的20%予以奖励；③当销售利润超过20万元时，其中20万元按20%予以奖励，超过20万元的部分按40%予以奖励.设销售人员的销售利润为万元，应获奖金为万元.

（1）求关于的函数解析式，并画出相应的大致图象；

（2）若某销售人员获得16万元的奖励，那么他的销售利润是多少？

【答案】（1），图象答案见解析；（2）50万元

【分析】（1）根据题意写出函数解析式，画出图象即可；

（2）先通过分析得到，再令，求解即可.

【详解】解：（1）根据题意，可得函数的解析式为：

，

即，

图象如下所示：

（2）由（1）可知，当时，，

，

，

令，

解得：，

故此销售人员为公司创造50万元的销售利润.

19．已知函数，.

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）最大值为，最小值为.

【分析】（1）先将函数恒等变换，化为，由得最小正周期为，再利用整体代换的方法，解不等式，求得单调递增区间；

（2）由（1）可知在区间上单调递减，上单调递增，即可求得在该区间的最小值为，再求出两个端点值和，经过比较可知最大值为.

【详解】解：

（1），所以的最小正周期为.

由，

可得，

的单调递增区间为；

（2）因为在区间上单调递减，

在区间上单调递增，

又，，.

所以在区间上的最大值为，最小值为-1.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是对所给函数进行恒等变换，得到，再利用整体代换的思想求得单调区间.