2020-2021学年天津市西青区高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年天津市西青区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】已知全集，集合，，，

因此，.

故选：C.

2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是递增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．

【详解】对A:它不是奇函数也不是偶函数;

对B: 是奇函数，它在区间上递增，在定义域内不能说是增函数；

对C: 是增函数，它不是奇函数；

对D:是奇函数，在定义域内是增函数．

故选：D．

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

4．下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据已知条件结合不等式的性质可判断C正确；举反例可判断ABD错误.

【详解】对于A，若，则，故A错误；

对于B，若，则，故B错误；

对于C，若，则，故C正确；

对于D，若，则，故D错误.

故选：C.

5．设函数则（    ）

A．在区间内均有零点.

B．在区间内均无零点.

C．在区间内无零点，在区间内有零点.

D．在区间内有零点，在区间内无零点.

【答案】C

【分析】令，画出函数和的图像，观察两图像的交点所在的区间，即可得答案

【详解】解：令，得，作出函数和的图像，如图所示

根据图像可知，在区间内无零点，在区间内有零点，

故选：C

6．已知函数，则（    ）

A．是偶函数，最大值为1 B．是偶函数，最大值为2

C．是奇函数，最大值为1 D．是奇函数，最大值为2

【答案】B

【分析】利用诱导公式进行化简，得到，结合余弦函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，函数，

则，所以是偶函数；

又由的最大值为1，的最大值为2；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，以及三角函数的性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.

7．设，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.

【详解】，，，因此，.

故选：A.

8．对于函数,下列命题

①函数图象关于直线对称; ②函数图象关于点(,0)对称;

③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到;

④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍

 (纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( ▲ )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】【解析】正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：综合题．

分析：①把x=-代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；

②把x= ，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；

③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个 单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；

④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．

解答：解：①把x=-代入函数f（x）=sin（2x+）=0，所以，①不正确；

②把x=，代入函数f（x）=sin（2x+）=0，函数值为0，所以②正确；

③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）=sin（2x+），所以不正确；

④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数f（x）=sin（2x+），正确；

故选C．

点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．

9．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　）

A．f    B．f   

C．f     D．f   

【答案】A

【分析】根据题意，分析可得f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，据此分析可得f（x）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f（x）在（0，1）上是增函数即可得出f（sinα）＞f（cosβ），即可得答案．

【详解】根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），

则有f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，

又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，

若α，β是锐角三角形的两个内角，

则α+β，则有αβ，则有sinα＞sin（β）＝cosβ，

又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，

则f（sinα）＞f（cosβ）；

故选A．

【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．

二、填空题

10．已知幂函数的图象过点，则_____________．

【答案】（填亦可）

【分析】设出幂函数解析式，根据点求得幂函数的解析式.

【详解】由于为幂函数，设，将代入得，所以.

故答案为（填亦可）

【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.

11．______.

【答案】

【分析】根据指数、对数的运算性质计算即可得答案.

【详解】原式=.

故答案为：

12．命题“，，使得”的否定形式是__________．

【答案】，，使

【解析】因为“”的否定是“”，“”的否定是“”，“”的否定是“”，所以命题“，，使得”的否定形式是，，使，故答案为，，使．

13．用长度为28米的篱笆围成一边靠墙的矩形花园，墙长为16米，则矩形花园面积的最大值是______平方米.

【答案】98

【分析】设与墙平行的篱笆长为米，表示出矩形花园面积，利用二次函数的性质可求出.

【详解】设与墙平行的篱笆长为米，由题可得，

则花园面积，，

则当时，取得最大值为98，

故矩形花园面积的最大值是98平方米.

故答案为：98.

14．已知函数，若对任意的、，，都有成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】分析出函数为上的减函数，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】设，则，由可得，即，

所以，函数为上的减函数.

由于，

由题意可知，函数在上为减函数，则，

函数在上为减函数，则，

且有，所以，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.

三、双空题

15．函数的定义域为______；若，则______.

【答案】       

【分析】根据正切函数的性质可直接得出定义域，将化为关于的式子即可求出.

【详解】可知的定义域为，

，

.

故答案为：；.

四、解答题

16．已知，.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）若，，求.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】 ( 1 ) 根据同角的三角函数的关系即可求出； ( 2 ) 根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出； ( 3 ) 由 β=[(α+β)−α] ，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出．

【详解】(1)
，.

.

.

 ( 2) .

（3），

.

.

.

17．若，.

（Ⅰ）若的解集为，求的值；

（Ⅱ）求关于的不等式的解集.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.

【分析】（Ⅰ），1为方程的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可.

（Ⅱ），分、、、和五种情况讨论即可

【详解】（Ⅰ）的解集为，，1是的解.

.

解得：

（Ⅱ）当时，不等式的解为，解集为

当时，分解因式

的根为，.

当时，，不等式的解为或；解集为.

当时，，不等式的解为；解集为.

当时，，不等式的解为；等式的解集为.

当时，原不等式为，不等式的解集为.

综上：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

18．已知函数过定点，函数的定义域为.

（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；

（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；

（Ⅲ）解不等式.

【答案】（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.

【分析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；

（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；

（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.

【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，

，定义域为，

.

函数为奇函数.

（Ⅱ）在上单调递增.

证明：任取，且，

则.

，，

，，

，即，

函数在区间上是增函数.

（Ⅲ），即，

函数为奇函数

在上为单调递增函数，

， ，解得：.

故不等式的解集为：

【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.

19．已知函数.

（Ⅰ）函数是奇函数，当时，，求在上的解析式；

（Ⅱ）若，当时，若的最大值为2，求的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【分析】（Ⅰ）首先设，利用函数是奇函数，求函数的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，讨论对称轴和定义域的关系，讨论函数的最大值，列式求的值.

【详解】（Ⅰ）设则

函数是奇函数，

.

（Ⅱ），.

二次函数开口向下，对称轴，

在时，的最大值为2，

①当，即时，，解得；

②当，即时，，解得（舍）或（舍）；

③当，即时，，解得（舍）；

综上所述，的值为1，即.

【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是：因为重点求的解析式，所以设，而不要设；第二问的关键是讨论对称轴和定义域的关系，由函数在区间的单调性，求函数的最大值.

20．已知函数.

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间；

（Ⅲ）若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】利用三角恒等变换公式化简函数解析式，（1）利用周期公式求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.

【详解】解：（Ⅰ）

，

；

（Ⅱ）法一：

令；则.

，的单调增区间为.

，解得.

函数在上的单调递增区间.

法二：

，

，

画数轴与所有区间取交集可知：.

函数在上的单调递增区间；

（Ⅲ）是函数的一个零点

.

解得：.

.

，，当单调递减区间为.

，解得

在区间上为减函数.

函数在上的单调递增区间，单调递减区间

，，.

函数在上的值域为.

【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx的形式．