河北省九校2021-2022学年高二上学期期中考试数学含答案

高二数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：新教材人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第2节。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线ax＋ay＋1＝0(a∈R且a≠0)的倾斜角为

A.     B.     C.     D.

2.如图，在四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G为MN上一点，且，若＝a，＝b，＝c，则＝

A.a＋b＋c    B.a＋b＋c    C.a＋b＋c    D.a＋b＋c

3.设P是椭圆C：上任意一点，F为C的右焦点，|PF|的最小值为，则椭圆C的离心率为

A.     B.     C.     D.

4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，|F1F2|＝10，点M是双曲线左支上的一点，若|OM|＝，4|MF1|＝3|MF2|，则双曲线的标准方程是

A.     B.     C.     D.

5.已知{a，b，c}为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是

A.a＋b，b＋c，a－c            B.a＋2b，b，a－c

C.2a＋b，b＋2c，a＋b＋c       D.a＋c，b＋2a，b－2c

6.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且∠BOC＝60°，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是

A.     B.     C.     D.

7.已知圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，直线l：(3－2t)x＋(t－1)y＋2t－1＝0恒过定点A，若一条光线从点A射出，经直线x－y－5＝0上一点M反射后到达圆C上的一点N，则|AM|＋|MN|的最小值是

A.3     B.4     C.5     D.6

8.已知双曲线C：等(a>0)的右焦点为F，过点F作直线l与C交于A，B两点，若满足|AB|＝5的直线l有且仅有1条，则双曲线C的离心率为

A.     B.     C.     D.或

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设直线l的方程为x－y＋m＝0，圆C的方程为x2＋y2－4x－4y＝0，圆C上存在4个点到直线l的距离为，则实数m的取值可能为

A.－1     B.－2     C.0     D.2

10.已知椭圆E经过A(－2，0)，B(－1，)，C(2，)，D(－，－)中的三个点，则下列命题为真命题的是

A.椭圆E的方程为＋x2＝1

B.点B不在椭圆E上

C.椭圆E上的点与其焦点距离的最大值为2＋

D.椭圆的一个顶点和它的两个焦点相连所得三角形的面积为

11.已知边长为2的菱形ABCD1中，∠AD1C＝60°(如图1所示)，将△AD1C沿对角线AC折起到△ADC的位置(如图2所示)，点P为棱BD上任意一点(点P不与B，D重合)，则下列说法正确的是

A.四面体ABCD体积的最大值为1

B.当BD＝时，Q为线段CA上的动点，则线段PQ长度的最小值为

C.当BD＝时，点C到平面PAB的距离为

D.三棱锥P－ACD的体积与点P的位置无关

12.已知双曲线C：(a>0，b>0)与椭圆有公共焦点，C的左、右焦点分别为F1，F2，且经过点T(，)，则下列说法正确的是

A.双曲线C的标准方程为x2－y2＝1

B.若直线y＝λx与双曲线C无交点，则|λ|>1

C.设A(，1)，过点B(0，1)的动直线与双曲线C交于P，Q两点(异于点A)，若直线AP与直线AQ的斜率存在，且分别记为k1，k2，则k1＋k2＝

D.若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，则△OMN(O为坐标原点)的面积为定值1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若倾斜角为α的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段长为2，则α＝          。(用弧度表示)

14.已知圆C1：x2＋(y－a)2＝9与圆C2：(x－a)2＋y2＝1有四条公共切线，则实数a的取值可能是          。(填序号)

①－3     ②－2     ③2     ④2

15.如图所示，二面角α－l－β为30°，A∈α，D∈β，过点A作AB⊥l，垂足为B，过点D作CD⊥l，垂足为C，若AB＝，BC＝1，CD＝1，则AD的长度为          。

16.已知椭圆E：＋y2＝1，P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为的直线l与E交于M，N两点，则|PM|2＋|PN|2的值为          。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

在△ABC中，已知A(3，－2)，B(5，4)，且边AB上的中线CD在y轴上的截距为2。

(1)求直线CD的一般式方程；

(2)若点C在x轴上方，△ACD的面积为，且过点C的直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程。

18.(本小题满分12分)

已知在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF＝ED＝1，CD＝3，EF//DC，ED⊥CD，点E，F在平面ABCD内的射影落在直线CD上。

(1)设G为AB边上任意一点，求证：三棱锥G－CEF的体积为定值；

(2)当G为AB中点时，求平面GCF与平面BCF夹角的余弦值。

19.(本小题满分12分)

已知圆C：x2＋y2－2x＋my＝0和圆外一点P(4，3)，过点P作圆C的切线，切线长为。

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆M：x2＋(y＋2)2＝8，求证：圆C和圆M相交，并求出两圆的公共弦长。

20.(本小题满分12分)

已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△P'AB为等边三角形(如图1所示)，△P'AB沿着AB折起到△PAB的位置，且使平面PAB⊥平面ABCD，M是棱AD的中点(如图2所示)。

(1)求证：PC⊥BM；

(2)求直线PC与平面PBM所成角的余弦值。

21.(本小题满分12分)

已知双曲线E：(a>0，b>0)的离心率为2，点P(2，3)在E上，F为E的右焦点。

(1)求双曲线E的方程；

(2)设Q为E的左顶点，过点F作直线l交E于A，B(A，B不与Q重合)两点，点M是AB的中点，求证：|AB|＝2|MQ|。

22.(本小题满分12分)

设线段GH的长为3，且其端点G，H分别在x轴和y轴上运动，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线E。

(1)求曲线E的方程；

(2)设圆O：x2＋y2＝5，过点C(0，1)作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与曲线E的一个交点为D(不与C重合)，l2与圆O相交于A，B两点，求△ABD的最大面积。