【2022版】专题18三角恒等变换-高三数学万能解题模板（原卷+解析版）

这是一份【2022版】专题18三角恒等变换-高三数学万能解题模板（原卷+解析版），文件包含专题18三角恒等变换-高三数学万能解题模板2022版原卷版docx、专题18三角恒等变换-高三数学万能解题模板2022版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共256页， 欢迎下载使用。
专题18 三角恒等变换

【高考地位】
三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.
方法一 运用转化与化归思想
万能模板
内 容
使用场景
含不同角的三角函数式类型
解题模板
第一步 利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式；
第二步 运用有关公式进行变形，主要是角的拆变；
第三步 得出结论.
例1 已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】第一步，利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式：

第二步，运用有关公式进行变形，主要是角的拆变：


第三步，得出结论:
，故答案为.
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑．
【变式演练1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】广东省广州市省实、广雅、执信、六中四校2022届高三上学期8月联考数学试题
【答案】A
【分析】
根据二倍角公式求出，结合诱导公式即可得解.
【详解】
由题，，
.
故选：A
【变式演练2】【2020届吉林省高三第二次模拟】设，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
，，
，，
，，，
，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
方法二 运用函数方程思想
万能模板
内 容
使用场景
一般三角函数类型
解题模板
第一步 将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程；
第二步 求解方程组；
第三步 得出结论.
例2 已知，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】第一步，将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程：
由可得：

第二步，得出结论：
所以原式，故选：B
【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可
以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.
【变式演练3】若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性月考（六）数学试题
【答案】A
【分析】
由题意可得，再利用二倍角公式、二次函数的性质，求得的范围．
【详解】
解：∵，
∴，设，
即有，
只需要，解得.
故选：A.
【变式演练4】设α是第一象限角，满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六）理科数学试题
【答案】C
【分析】
用两角和与差的正弦余弦公式展开化简，可得，结合以及角的范围，求解，，即可计算.
【详解】
，
，
∴，
联立，
∵设α是第一象限角，
∴，，即，，
∴.
故选：C.
方法三 运用换元思想
万能模板
内 容
使用场景
一般求值题
解题模板
第一步 运用换元法将未知向已知转化；
第二步 利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换；
第三步 得出结论.
例3 若求的取值范围.
【答案】.
【解析】第一步，运用换元法将未知向已知转化：
令，则
第二步，利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换：
即，所以
所以，即
第三步，得出结论：
所以
【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过
代数、三角变换等手段求出取值范围.
【变式演练5】【江苏省2020届高三下学期6月高考押题】已知，则的值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先平方求出，再利用二倍角公式求出，即可求解.
【详解】

即


故答案为：
【点睛】
此题考查二倍角公式，关键熟记二倍角的各种变形，属于简单题目.
【高考再现】
1．（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
2．（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC.
3.【2020年高考全国Ⅲ卷理数9】已知，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．
【解析】，，令，则，整理得，解得，即．故选D．
【专家解读】本题考查了三角函数知值求值问题的解法，考查两角和的正切公式，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数有关公式进行计算．
4.【2017全国III文，4】已知，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 .
所以选A.
【考点】二倍角正弦公式
【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
5.【2018年全国I卷】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A1 ，  a，B2 ，  b，且cos2α=23，则a-b=
A． 15 B． 55 C． 255 D． 1
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据两点都在角的终边上，得到b=2a，利用cos2α=23，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得a2=15，从而得到a=55，再结合b=2a，从而得到a-b=a-2a=55，从而确定选项.
【详解】
由O,A,B三点共线，从而得到b=2a，
因为cos2α=2cos2α-1=2⋅(1a2+1)2-1=23，
解得a2=15，即a=55，
所以a-b=a-2a=55，故选B.
【点睛】
该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
6.【2018年全国卷Ⅲ】若sinα=13，则cos2α=
A． 89 B． 79 C． -79 D． -89
【答案】B
【解析】
分析：由公式cos2α=1-2sin2α可得。
详解：cos2α=1-2sin2α=1-29=79
故答案为B.
7.【2020年高考江苏卷8】已知，则的值是________．
【答案】
【解析】∵，由，解得．
【专家解读】本题考查了二倍角公式，考查数学运算学科素养．
8.【2020年高考浙江卷13】已知，则 ； ．
【答案】；
【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得
【解析】，，故答案为：； ．
【专家解读】本题考查了二倍角公式，考查两角差的正切公式，考查数学运算学科素养．
9.【2018年全国卷II】已知tan(α-5π4)=15，则tanα=__________．
【答案】32.
【解析】
分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得tanα=32.
详解：tan(α-5π4)=tanα-tan5π41+tanα⋅tan5π4=tanα-11+tanα=15，
解方程得tanα=32.
点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.
10..【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-35，-45）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．
【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）-5665 或-1665 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sinα，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cosα，再根据同角三角函数关系得cos(α+β)，最后根据β=(α+β)-α，利用两角差的余弦公式求结果.
详解：（Ⅰ）由角α的终边过点P(-35,-45)得sinα=-45，
所以sin(α+π)=-sinα=45.
（Ⅱ）由角α的终边过点P(-35,-45)得cosα=-35，
由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.
由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα，
所以cosβ=-5665或cosβ=-1665.
点睛：三角函数求值的两种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
【反馈练习】
1．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第五次模拟】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角和的正弦公式计算可得；
【详解】
解：因为，所以，解得或，因为，所以，
所以
故选：B
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.
2．【2020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测】若，则（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由二倍角正切公式计算出的值，再将所求分式变形为，然后利用弦化切的思想即可求出所求分式的值.
【详解】
由二倍角的正切公式得，整理得，
解得或，所以，.
当时，原式；当时，原式.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用二倍角的正切公式以及弦化切思想求值，解题的关键就是求出的值，考查计算能力，属于中等题.
3．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
化简式子，可得，由平方关系求出，最后利用二倍角的余弦公式，可得结果.
【详解】
由
因为，则，所以
所以，
又
所以
则
化简可得：，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，本题关键在于根式里使用平方关系以及二倍角的正弦公式化简，考查计算能力，属中档题.
4．【2020届山西省晋中市高三下学期一模】已知为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数；再利用辅助角公式化简，根据其最值，求得即可.
【详解】
由条件知，则由，
得，
即，
解得或（舍去），
则．
因为，
所以．
则当，即时，
函数取得最大值，
故选：C．
【点睛】
本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解，属综合中档题.
5．已知函数，则的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．2
【来源】江苏省常州市前黄高级中学2021届高三下学期学情检测（一）数学试题
【答案】D
【分析】
将解析式进行变形可得，即可得到答案；
【详解】


．
，
故选：D
6．已知，其中是第三象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）数学试题
【答案】A
【分析】
先由正切的二倍角公式得到，从而求得，，再由诱导公式化简即可求得答案.
【详解】
解：由，且是第三象限角，
可得，
可得：，，，
因此．
故选：A．
7．（多选）以下式子均有意义，则下列等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】专题5.8—三角恒等变换2-2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】BCD
【分析】
利用正弦的两角和差公式即可判断选项A，利用同角三角函数关系即可判断选项B，利用弦化切以及二倍角公式即可判断选项C，利用两角和差公式以及角的变换即可判断选项D．
【详解】
解：对于A，因为，，
所以，故选项A错误；
对于，因为，
所以，故选项B正确；
对于C，，
所以，故选项C正确；
对于D，
，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
8．【卓越高中千校联盟2020届高考文科数学终极押题】已知函数，，则的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用降幂公式、两角和差余弦公式以及辅助角公式，将所求的函数式化为余弦型函数，根据余弦函数的性质，即可求解.
【详解】


.
所以，当时，
取最大值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角恒等变换化简三角函数，以及余弦函数的性质，考查计算求解能力，属于基础题.
9．【2020届山西省运城市高中联合体高三模拟】，是方程的两个根，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数关系，得到，，再由两角和的正切公式，即可计算出结果.
【详解】
因为，是方程的两个根，
所以，，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记两角和的正切公式即可，属于常考题型.
10．【2020届重庆市第八中学高三6月三诊】若，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程结合，解出后可求的值．
【详解】
由可以得到，
故，
也就是，
整理得到，故或．
又，所以

故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数给值求值问题，三角函数中的化简求值问题，往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，属于中档题.
11．【江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期四模】已知锐角满足，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切思想可得出关于的二次方程，可解出正数的值，然后利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】
，，
即，即，
整理得，
为锐角，所以，解得，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用二倍角公式以及两角差的正切公式求值，利用弦化切思想求出的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
12．【黑龙江省绥化市2020届全市普通高中高三模拟联考质量检测】已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
等式平方相加得到，解得答案.
【详解】
由平方相加得，
即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
13．【2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学样卷】平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用任意角的三角函数的定义可知，同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的正余弦公式求得的值，两者相加即可得解．
【详解】
由题意知：，，
由，得，
，

，

所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数的定义以及两角差的正弦、余弦公式，熟记公式，属基础题.
14．【广西桂林、崇左、防城港市2020届高三联合模拟】已知，分别是的两个实数根，则_______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据，分别是的两个实数根，利用韦达定理得到，再由两角和的正切公式求解.
【详解】
因为，分别是的两个实数根，
所以，
所以.
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15．【2020届江苏省苏州市三校高三下学期5月联考】己知为锐角，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由诱导公式将已知化简为，再由二倍角公式进一步得到，结合计算即可得到答案.
【详解】
由已知，，由二倍角公式，
得，因为为锐角，，所以，
又，所以，注意到，所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查三角恒等变换中的化简求值问题，涉及到同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
16．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先将原式展开，再由得到与之间关系，进而可得出结果.
【详解】
因为，
又，所以，
所以.
故答案为2
【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式，熟记公式即可，属于基础题型.
17．【百校联盟2020届高三开学模拟】如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地， 外的地方种草， 的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若， ，设的面积为，正方形的面积为，当固定， 变化时，则的最小值是__________．

【答案】
【解析】，令
，则，
， 函数在上递减，因此当时， 有最小值， ，此时， 当时，“规划合理度”最小，最小值为，故答案为.
18．已知=，且，则__________；__________．
【来源】浙江省2021届高三高考考前模拟数学试题
【答案】
【分析】
求出的范围可得，利用可得
；利用
可得第二空的答案.
【详解】
因为，所以，由=，
所以，所以
；


.
故答案为：①；②.
19．已知为锐角，且tan，则=___________.
【来源】新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学2021届高三上学期第四次月考数学（文）试题
【答案】
【分析】
根据诱导公式及二倍角公式化简可得，根据同角三角函数的关系，可得的值，即可得答案.
【详解】
由诱导公式及二倍角公式得，
因为tan，且为锐角，
所以，
所以.
故答案为：
20．已知，则______.
【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研数学试题
【答案】.
【分析】
令，则，，进而可求得结果.
【详解】
令，则，且，所以.
故答案为：.
21．设是函数的一个极值点，则______.
【来源】陕西省宝鸡市陈仓区2021届高三下学期教学质量检测（二）理科数学试题
【答案】
【分析】
求出导函数，根据是函数的一个极值点得出，将化简为即可得出结果.
【详解】
因为函数，所以，
因为是函数的一个极值点，
所以，，
所以
.
故答案为：.
22．已知，为锐角，且，则的最大值是___________.
【来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）
【答案】
【分析】
由可得，两边同除以，化简得，所以，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
两边同除以，得
，
所以，
所以


，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，
故答案为：
23．已知角，，若，，则___________.
【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）
【答案】
【分析】
根据的范围确定的范围，然后求出和，将变形为，结合两角和的余弦公式即可求解.
【详解】
∵，，
∴，，
又，，∴
∴，
，
∴


.
故答案为：.
24．设，向量，，若，则___________.
【来源】江苏省南通密卷2021届高三模拟试卷数学试题
【答案】
【分析】
利用二倍角公式求出的值，结合以及二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】
由已知可得，所以，，
，则，可得，
所以，，解得.
故答案为：.
25．【江苏省南京师大附中2020届高三下学期高考模拟】已知，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用向量数量积的坐标运算公式列出与的关系式，再联立
求解的值；
（2）利用、的值分别求出、、，再利用余弦的差角公式求解的值.
【详解】
解：（1）因为，所以，所以，又，得，
因为，所以，所以．
（2）由（1）知，因为，
所以，；
因为，，所以，
因为，，所以，
所以．
【点睛】
本题以平面向量为载体主要考察简单的三角恒等变换，难度一般，解答时要灵活运用同角三角函数关系式、和差角公式、二倍角公式等.
26.【2020届山东省高三下学期开学收心检测】在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_____，且a，b，c成等差数列，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】①；证明见解析
【解析】
【分析】
选择①：由余弦降幂公式代入即可求得，结合a，b，c成等差数列可得，，代入余弦定理公式，即可得，结合等式可求得，进而证明为等边三角形.
【详解】
选择①，
证明：则由余弦降幂公式可得，
即，
由可得，
又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角，
则，，
由余弦定理可知，
代入可得，即，
则，化简可得，
即，又因为，
所以为等边三角形.
【点睛】
本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.