【2022版】专题19解三角形-高三数学万能解题模板（原卷+解析版）

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专题19   解三角形【高考地位】正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.:类型一  判断三角形的形状学万能模板内      容使用场景已知边与三角函数之间的等式关系解题模板第一步   运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式；第二步   利用三角函数的图象及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状；第三步   得出结论.例1在中，已知，那么一定是（   ）A．等腰三角形                     B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形         D．等腰直角三角形【变式演练1】【上海市虹口区2021届高三上学期一模】在中，若，则的形状一定是（    ）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【变式演练2】在△中，若满足，则该三角形的形状为（    ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【来源】西南名校联盟“3 3 3”2021届高三5月份高考数学（文）诊断性试题（三）类型二  解三角形中的边和角万能模板内      容使用场景解三角形中的边和角解题模板第一步   直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理；第二步   利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论.例2、 设的内角， ， 所对的边长分别为， ， ，若， ， ，则（   ）A.     B.     C.     D. 或【变式演练3】【广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测】在中，，，，则（    ）A．2 B． C． D．3【变式演练4】【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2020-2021学年高三（上）第一次联考】在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，．若点在边上，且，则（    ）A． B． C． D．【变式演练5】某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（    ）A． B． C． D．【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期开学摸底数学试题类型三  解决与面积有关问题万能模板内      容使用场景解决与面积有关问题解题模板第一步   主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边；第二步   结合三角形的面积公式直接计算其面积.例3  在中，内角的对边分别为，且，若，则的面积为____________．【变式演练6】【云南省文山州2021届高三年级10月教学质量检测】已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（    ）A．1 B．2 C．4 D．6【变式演练7】（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则三角形的面积不可能是（    ）A． B． C． D．【来源】重庆市缙云教育联盟2022届高三上学期8月月度质量检测数学试题【变式演练8】【普通高等学校招生国统一考试 2020-2021学年高三上学期数学（理）考向卷（四）】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（    ）A． B． C． D．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ）A．346 B．373 C．446 D．4733．（2021·浙江高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.4．（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.6．（2021·北京高考真题）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为.7．【2020年高考全国Ⅲ卷文数11】在中，，则 （   ）A．                B．                 C．                 D．8.【2020年高考全国Ⅲ卷理数7】在中，，则 （   ）A．                B．             C．           D．9.【2020年高考北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达方式是              （   ）A．           B．C．           D． 10.【2020年高考山东卷15】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点， 四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为              ．11.【2020年高考全国Ⅰ卷文数18】的内角的对边分别为．已知．（1）若，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求．12.【2020年高考全国Ⅱ卷文数17】△的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，证明：△是直角三角形．13.【2020年高考全国Ⅱ卷理数17】中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．14.【2020年高考江苏卷16】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的值．16.【2020年高考山东卷17】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，          ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【反馈练习】1．【广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试】在中，角，，的对边为，，着，，，则（    ）A． B． C． D．12．【宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考】已知中，，，分别为角，，的对边，若，且满足，则边上的高为（    ）A．1 B． C． D．3．【四川省巴中市2021届高三零诊考试数学（文）】在中，，，，则（    ）A． B． C．或 D．4．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△的面积为，则（    ）A． B． C．或 D．或5．【安徽师大附中2020届高三高考数学（文科）九模】已知分别为内角的对边，的面积为3，则（    ）A． B． C． D．6．【重庆市第一中学2020届高三下学期5月月考】锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（    ）A． B． C． D．7．【重庆市巴蜀中学2020届高三下学期适应性月考九】在中，角、、对应的边分别为、、，若，，则的外接圆面积为（    ）A． B． C． D．8．【江西省南昌二中2020届高三数学（文科）校测】已知的外接圆直径为1，是的中点，且，则（    ）A． B． C． D．9．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则（    ）A． B．1 C． D．2【来源】河南省2021-2022学年高三入学考试数学（理科）数学试题10．圭表（如图）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为（    ）A． B．C． D．【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期开学摸底数学试题11．已知在中，角的对边分别为则边上的高为（    ）A．1 B． C． D．2【来源】“陕西名校”2021届高三5月检测数学（理）试题12．【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2020-2021学年高三（上）第一次联考】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则__．13．【吉林省通化市梅河口五中2020届高三数学（文科）五模】在中，，，则面积的最大值为____________.14.【西藏山南市第二高级中学2020届高三第三次模拟考试】在中，内角所对的边分别是，且 ，，则的面积为___________.15.【2020届河北省承德市围场卉原中学高三模拟自测联考】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则取最小值时，______．16．已知外接圆的半径为，且，若的面积为，则的值为________．【来源】四川省绵阳中学2021届高三高考仿真模拟试卷数学（文）试题（一）17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则b＝___，C＝___.【来源】全国2021届高三高考数学信心提升试题18．已知，，是中点，，则___________，___________.【来源】浙江省稽阳联谊学校2021届高三4月联考数学试题19．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则________，若，则三角形的形状为________．【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期高考仿真最后一卷数学试题20.【广西北海市2021届高三第一次模拟考试】已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求面积的最大值.21.【四川省广元市川师大万达中学2020-2021学年高三第一次诊断性考试】在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.22.【广西名校2021届高三上学期第一次高考模拟】在中，角、、的对边分别为、、，已知，且为钝角.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.23.【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】已知中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，为外一点，如图所示，且，，的面积为，求.24．已知中，，的平分线交于点，．（1）若，求的长度；（2）求面积的最小值．【来源】广东省2022届高三上学期8月阶段性质量检测数学试题25．如图所示，在四边形中，，且，，.（1）若，求的长；（2）求四边形面积的最大值.【来源】广东省广州市省实、广雅、执信、六中四校2022届高三上学期8月联考数学试题26．如图，在中，，点D在BC边上，且，，（1）求AC的长；（2）求的值.【来源】湖南省2021年普通高等学校对口招生考试数学试题27．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．【来源】四川省九市资阳、雅安、乐山、内江、眉山、广安、遂宁、自贡、广元2021届高三二模数学（理科）试题28．在①2asinC＝ctanA；②2acosB＝2c﹣b；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知____．（1）求A的值；（2）若面积为，周长为5，求a的值．【来源】山东省百师联盟2021届高三二轮联考数学试题（二）