【2022版】专题21平面向量中最值、范围问题-高三数学万能解题模板（原卷+解析版）
展开专题21 平面向量中最值、范围问题
【高考地位】
平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.
方法一 利用基本不等式求平面向量的最值
万能模板 | 内 容 |
使用场景 | 一般平面向量求最值问题 |
解题模板 | 第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系； 第二步 运用基本不等式求其最值问题； 第三步 得出结论. |
例1、已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________
【变式演练1】在中，点是边上的点，满足，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）
【变式演练2】【浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶】若，，平面内一点，满足，的最大值是（ ）
A． B． C． D．
方法二 建立直角坐标系法
万能模板 | 内 容 |
使用场景 | 一般向量求最值或取值范围类型 |
解题模板 | 第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标； 第二步 将平面向量数量积的运算坐标化； 第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可. |
例2 （1）在中， ， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， （ ）
A. B. C. D. 24
例2 （2）在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.
【变式演练3】【2020届河南省开封市高三二模】己知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练4】【浙江省2020届高三新高考模拟试题心态卷】已知AB是半圆O的直径，AB=2，等腰三角形OCD的顶点C､D在半圆弧上运动，且OC=OD，∠COD=120°，点P是半圆弧上的动点，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
方法三 构造目标函数求最值
万能模板 | 内 容 |
使用场景 | 一般向量求最值或取值范围类型 |
解题模板 | 第一步 根据条件设变量； 第二步 利用平面向量的运算法则列出关系式； 第三步 根据函数求出最值或范围. |
例3 【山东省济宁市第一中学2020届高三考前冲刺测试】在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式演练5】【浙江省杭州二中2020届高三下学期高考仿真考】面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线EF上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【高考再现】
1.【2020年高考山东卷7】已知是边长为的正六边形内的一点，则取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
2.【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（ ）
A． B． C． 2 D．
3.【2017全国II卷理，12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4.【2018年天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
5.【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．
6.【2020年高考浙江卷17】设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ▲ ．
7.【2020年高考天津卷15】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
8.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若
则点的横坐标的取值范围是 .
9.【2017北京文，12】已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________．
10.【2018年上海卷】已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．
11.【2018年上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为____．
【反馈练习】
1.【2020届湖南省怀化市高三下学期4月第一次模拟考试】已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．【甘肃省静宁县第一中学2020届高三第十次模拟】已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．【2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第二次考试】已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．【西南名校联盟2020届3 3 3高考备考诊断性联考卷】已知向量，满足，，且，则，的夹角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三下学期第四次模拟】在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．【2020年山东省聊城市高考模拟考试（三模）】已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟】设，，，且，则向量在上的投影的取值范围（ ）
A． B． C． D．
9．【甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试】已知线段是垂直平分线上的两个动点，且的最小值（ ）
A． B． C． D．
10．【甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（二）】在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．【河南省2020届高三考前适应性考试】已知点，若双曲线的右支上存在两动点M，N，使得，则的最小值为（ ）
A． B．15 C．16 D．
12．【河南省大联考2020届高三阶段性测试】已知内接于半径为3的圆，，为圆上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在平面四边形中，.若点E为边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二）数学试题
14．的外接圆的半径等于3，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】辽宁省铁岭市2021届二模数学试题
15．如图，在正方形中，边长为，是边上的一点，，以为圆心，为半径画弧交于点，
25．已知中，，点M、N满足，且，则的最大值为_________．
【来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测数学试题
26．在直角三角形中，，，，点是外接圆上的任意一点，则的最大值是__________．
【来源】数学-学科网2021年高三5月大联考考后强化卷（广东卷）
27．已知，，是空间单位向量， ，若空间向量满足，（，），，则的最大值是________．
【来源】浙江省路桥中学2021届高三下学期数学综合练习试题（五）
28．在△ABC中，，△ABC的面积为，D为线段BC上一点，且CD=2BD，点E在线段AD的延长线上，满足，则的最小值为___________.
【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）
29．在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，设，，若，，，则xy的最小值为_________．
【来源】浙江省温州市瑞安中学2021届高三下学期5月考前适应性考试数学试题
30．已知向量垂直，且，若，则的最小值为_________．
【来源】浙江省温州中学2021届高三下学期四模数学试题
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