新高考数学培优专练38 利用正态分布三段区间的概率值求概率

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专题38 利用正态分布三段区间的概率值求概率
一、多选题
1．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有( ).
参考数据：①；②；③
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【答案】BC
【分析】
根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】
选项A；因为正态分布曲线关于对称，
所以这次考试标准分超过180分的约有人，故本说法不正确；
选项B：由正态分布N，可知：，
所以，
因此这次考试标准分在内的人数约为人，故本说法正确；
选项C：因为正态分布曲线关于对称，
所以某个人标准分超过180分的概率为，
因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为，故本说法正确；
选项D：由题中所给的公式可知：
，
，
所以由正态分布的性质可知：
所以本说法不正确.
故选：BC
【点睛】
本题考查了正态分布的性质应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
2．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．已知，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.
【答案】BCD
【分析】
对于选项A：利用二项分布的期望和方程公式列出关于的方程，解方程即可判断；
对于选项B：根据排列数和组合数的计算公式计算即可作出判断；
对于选项C：利用正态分布图象的对称性即可判断；
对于选项D：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出，，时的概率，通过解不等式求出的范围即可判断.
【详解】
对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，故选项A错误；
对于选项B：根据排列数和组合数的计算公式可得，
，，
因为，所以有，即
解得，故选项B正确；
对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，即，故选项C正确；
对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，
当时，对应的概率，
所以当时，，
由得，即，
因为，所以且，
即时，概率最大，故选项D正确．
故选：BCD.
【点睛】
本题考查二项分布的期望和方差公式、考查排列数和组合数的计算公式、正态分布图象的对称性的应用和独立重复实验的概率计算公式，考查分析问题和解决问题的能力，熟练掌握统计的相关知识是求解本题的关键，考查计算能力，属于常考题.
3．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则.
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为
【答案】ABD
【分析】
利用正态分布的知识点，代表平均数，图像关于对称，代表标准差，越小图像越集中，选出正确答案.
【详解】
对于选项A：，正确；
对于选项B C：利用越小越集中，小于，B正确，C不正确；
对于选项D：，正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查利用正态分布曲线解决实际问题.属于较易题.
4．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ）
附：随机变量服从正态分布N(，)，则P()＝0.6826，P()＝0.9544，P()＝0.9974.
A．该市学生数学成绩的期望为105
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.99
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
【答案】AD
【分析】
根据正态分布的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，.
期望为105，选项A正确；方差为100，标准差为10，选项B错误；
该市85分以上占，故C错误；
由于，根据对称性可判断选项D正确.
故选：AD
【点睛】
本小题主要考查正态分布，属于基础题.

二、单选题
5．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：服从正态分布，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在，内的个数约为　　
附：若，则，．
A．134 B．136 C．817 D．819
【答案】B
【分析】
由题意可得，，则，再由与原则求解．
【详解】
解：由题意，，，
则
．
故直径在，内的个数约为．
故选：．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6．若，则，，已知，则（ ）
A．0.4077 B．0.2718 C．0.1359 D．0.0453
【答案】C
【分析】
由已知求得正态分布曲线的对称轴，然后结合与原则求解．
【详解】
解：若，则正态分布曲线的对称轴为，
又，，
．
故选：．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
7．已知随机变量服从正态分布，则（ ）
参考数据：，，
A．0.6827 B．0.3173 C．0.15865 D．0.34135
【答案】C
【分析】
根据正态分布得和，再计算即可.
【详解】
随机变量服从正态分布，故，，
则，
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查了正态分布，属于基础题.
8．已知某公司生产的一种产品的质量（单位：千克）服从正态分布，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有（ ）
附：若，则，
A．8718件 B．8772件 C．8128件 D．8186件
【答案】D
【分析】
根据正态分布模型，计算对应的概率值，从而求得所需的概率，即可得答案.
【详解】
由题意可得：，
则质量在（82,98）内的概率，
质量在（74,106）内的概率，
所以质量在（82，106）内的概率
，
所以质量在区间（82，106）内的产品估计有件，
故选：D
【点睛】
本题考查正态分布中原则的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
9．若随机变量服从正态分布，则（ ）
附：随机变量，则有如下数据：，，
A．0.4472 B．0.3413 C．0.1359 D．1
【答案】C
【分析】
先将，用、表示，然后利用题中的概率求解即可.
【详解】
解：根据题意得，
所以
.
故选：C.
【点睛】
本题考查正态分布的原则求概率，是基础题.
10．在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入由曲线（曲线为正态分布的概率密度曲线）与直线、及所围成的封闭区域内的点的个数的估计值为（ ）

（附：若，则，，
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用正态分布原则求得封闭区域的面积，再将所得结果乘以可得结果.
【详解】
由正态分布原则可知，封闭区域的面积为，
正方形的面积为，因此，落入封闭区域的点的个数的估计值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查随机模拟，考查正态分布原则求概率，考查计算能力，属于基础题.
11．已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额（单位：元）服从正态分布，则该市某居民手机支付的消费额在内的概率为（ ）
附：随机变量服从正态分布，则，，．
A．0.9759 B．0.84 C．0.8185 D．0.4772
【答案】C
【分析】
由已知可得，，然后结合与原则求解．
【详解】
解：服从正态分布，，
，，
则
．
故选：C．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的运用、与原则的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．如果随机变量，则等于（ ）（注：）
A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215
【答案】B
【分析】
根据正态分布列的对称性可得：，进而得出．
【详解】
8．
故选：．
【点睛】
本题考查了正态分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．下列判断错误的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，，则；
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；
C．若随机变量服从二项分布：，则；
D．已知直线经过点，则的取值范围是
【答案】B
【分析】
本题根据选项逐一判断，A选项根据正态分布曲线的对称性有，再求解；B选项根据题意判断充分性成立；C选项根据公式直接求出；D选项先建立，的方程，再运用基本不等式解题即可.
【详解】
A选项：若随机变量服从正态分布，，根据正态分布曲线的对称性有，所以，A选项正确；
B选项：因为，直线平面，所以直线平面，又直线平面，所以，充分性成立，B不正确；
C选项：因为，所以，C正确；
D选项：由题意知，因为，，所以，当且仅当，时取等号，D正确，
故选：B.
【点睛】
本题考查了正态分布、二项分布、是的什么条件、基本不等式，是中档题.
14．理查德·赫恩斯坦（Richard J.Herrn stein），美国比较心理学家和默瑞（Charles Murray）合著《正态曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈正态分布.假设犹太人的智力服从正态分布，从犹太人中任选一个人智力落在以上的概率为(附：若随机变量服从正态分布，则，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据正态分布的对称性与原则求解即可.
【详解】
解：根据正态分布的对称性与原则得：
.
所以从犹太人中任选一个人智力落在以上的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正态分布的性质，是基础题.
15．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用正态分布密度函数的对称性将求 转化为，根据条件做差即可.
【详解】
如图，正态分布的密度函数示意图所示，

函数关于直线对称，所以，并且
则
故选：C.
【点睛】
本题考查正态分布密度函数求具体区间的概率，应用正态分布的对称性是解题的关键，属于基础题.
16．据统计2019年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1700的概率为（ ）
附：，，，
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据正态分布的对称性得出，从而可求出.
【详解】
解：因为X服从正态分布，且
所以 ，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】
此题考查了正态分布的对称性，属于基础题.
17．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若在边长为1的正方形内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为（ ）
附：若随机变量，则，.

A．0.1359 B．0.6587 C．0.7282 D．0.8641
【答案】D
【分析】
由题意根据正态曲线的性质求出概率，即可求解．
【详解】
解：因为
由题意，
故选：D
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
三、填空题
18．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的A先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟.现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大.则以上说法中正确的序号是_____.
参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974
【答案】②④
【分析】
利用正态分布对每一个说法求解其概率，逐项分析，即可选出正确答案．
【详解】
解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间服从正态分布，
故，
∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误；
②若8：02出门，江先生乘坐公交，
∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间服从正态分布，
故当满足P（Z≤41）时，江先生乘坐公交不会迟到；
若8：02出门，江先生乘坐地铁，
∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间服从正态分布，
故当满足P（Z≤48）时，江先生乘坐地铁不会迟到，
此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确；
③若8：06出门，江先生乘坐公交，
∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘坐公交不会迟到；
若8：06出门，江先生乘坐地铁，
∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到，
此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误；
④若8：12出门，江先生乘坐公交，
∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘坐公交不会迟到，
而；
若8：12出门，江先生乘坐地铁，
∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间服从正态分布，
故当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到，
由，
∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确；
故答案为：②④．
【点睛】
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，属于中档题．
19．一批电池（一节）用于无线麦克风的寿命服从均值为34.3小时，标准差为4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30个小时的概率_______.（参考数据：，）
【答案】0.8413
【分析】
利用正态曲线关于对称，求可转化为，代入数据即可.
【详解】
由题意知，,
从而,
故.
故答案为：0.8413.
【点睛】
本题主要考查利用正态分布曲线的特点求概率.属于较易题.
20．某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布，任意选一袋这种大米，质量在49.8～50.1kg的概率为_____．
【答案】0.8185
【分析】
由正态分布，可得选项.
【详解】
由题意得．
，
，
故答案为：0.8185.
【点睛】
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
21．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布，现任取一名学生，则他的数学成绩在区间内的概率为______.（附：若，则，.）
【答案】
【分析】
本题首先可根据题意得出以及的值，然后结合正态分布的对称性即可得出结果.
【详解】
因为所有学生的数学成绩服从正态分布，
所以，，
所以根据正态分布的对称性可知，，
故答案为：.
【点睛】
本题考查正态分布的相关性质，考查根据正态分布求概率，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.

四、解答题
22．据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：
质量指标





产品等级
级
级
级
级
废品
频数






试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）.
（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.记表示某天从生产线上随机抽取的个包装胶带中质量指标值在区间之外的包装胶带个数，求及的数学期望（精确到）；
（2）已知每个包装胶带的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示：.
质量指标





利润






假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，，，，.
【答案】（1），；（2）不能，理由见解析.
【分析】
（1）计算出样本的平均数，可得出，利用原则可求得的值，利用独立重复试验的概率公式可求得的值，利用二项分布的期望公式可求得的值；
（2）求得每个包装胶带的利润关于的函数关系式，利用导数求得的最大值，由此可求得该生产线的年盈利的最大值，进而可得出结论.
【详解】
（1）由题意可得
中间值





概率






则样本平均数，
，
而，
从而质量指标值在区间之外的概率为，
则，
X的数学期望为；
（2）由题意可得该包装胶带的质量指标值与对应的概率如下表所述
质量指标





利润












故每个包装胶带的利润，
则，令，可得，
故当时，则，当时，.
所以当时，取得最大值，
（元）,
由已知可得改生产线的年产量为万个，
故该生产线的年盈利的最大值为（万元），
而万元万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资.
【点睛】
本题考查利用原则求概率，利用二项分布的期望公式计算随机变量的数学期望，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于中等题.
23．为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：）.根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径服从正态分布.如果加工的零件内径小于或大于均为不合格品，其余为合格品.
（1）假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少；
（2）若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损.已知每件产品的利润（单位：元）与零件的内径有如下关系：.求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润.
附：若随机变量服从正态分布，有，，.
【答案】（1）26；（2）元.
【分析】
（1）根据正态分布的原则，零件的尺寸在之内的概率为，从而可得不合格品的概率为，即可求解.
（2）根据正态分布的原则，求出对应的概率，再利用均值的计算公式即可求解.
【详解】
（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为，
从而抽取一个零件为不合格品的概率为，
因此一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为：.
（2）结合正态分布曲线和题意可知：
，
，
，
，
故随机抽取10000个零件的平均利润：
元.
【点睛】
本题考查了正态分布曲线的性质以及应用、正态分布期望的求法、原则的综合应用，属于中档题.
24．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．
（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于克该海产品的概率．
（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入（千元）与年收益增量（千元）（）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，且，，，，，， ，其中， =．根据所给的统计量，求关于的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．
附：若随机变量，则，；
对于一组数据，，，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】（1）0.0129（2）， 千元.
【分析】
（1）由正态分布的对称性可知，，设购买10只该商家海产品，其中质量小于的为只，故，由此可求出答案；
（2）根据最小二乘法可求出回归方程，由此可求出答案．
【详解】
解：（1）由已知，单只海产品质量，则，，
由正态分布的对称性可知，
，
设购买10只该商家海产品，其中质量小于的为只，故，
故，
所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于克的概率为；
（2）由，，，，
有，
且，
所以关于的回归方程为，
当时，年销售量的预报值千元，
所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为千元．
【点睛】
本题主要考查标准正态分布及其应用，考查最小二乘法求线性回归方程，属于基础题．
25．“全面小康路上一个也不能少”是习近平总书记向全国人民作出的郑重承诺！是对全面建成小康社会的形象表达，其中一个重要指标，就是到2020年我国现行标准下农村贫困人口全面脱贫.目前，全国还有一些贫困县未摘帽，不少贫困村未出列，建档立卡贫困人口尚未全部脱贫.某市为了制定下一步扶贫战略，统计了全市1000户农村贫困家庭的年纯收入，并绘制了如下频率分布直方图：

（1）若这1000户家庭中，家庭年纯收入不低于5（千元）的家庭，且不超过7（千元）的户数为40户，请补全频率分布图，并求出这1000户家庭的年纯收入的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为这1000户的家庭年纯收入服从正态分布，其中近似为年纯收入的平均值近似为样本方差，经计算知；设该市的脱贫标准为家庭年纯收入为千元（即家庭年纯收入大于千元，则该户家庭实现脱贫，否则未能脱贫），若根据此正态分布估计，这1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫，试求该市的脱贫标准；
（3）若该市为了加大扶贫力度，拟投入一笔资金，帮助未脱贫家庭脱贫，脱贫家庭巩固脱贫成果，真正做到“全面小康路上一个也不能少”，方案如下：对家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭每户家庭给予扶持资金15千元，对家庭年纯收入超过5.92千元，但不超过8.96千元的家庭每户家庭给予扶持资金12千元，对家庭年纯收入超过8.96千元，但不超过15.04千元的家庭每户家庭给予扶持资金8千元，对家庭年纯收入超过15.04千元的家庭不予以资金扶持，设为每户家庭获得的扶持资金，求（结果精确到0.001）.
附：若随机变量，则.
【答案】（1）直方图见解析，12；（2）8.96；（3）7.434
【分析】
（1）先计算频率，再补全图形，再利用直方图平均值公式求解即可；
（2）由和可知；
（3）根据正态分布分别计算需要补助的各种家庭所占的比例，再计算数学期望．
【详解】
（1）家庭年纯收入不低于5（千元）且不超过7（千元）的频率为，
纵坐标为0.02；家庭年纯收入超过15（千元），但不超过17（千元）的家庭频率为
，纵坐标为0.05，
补全频率分布直方图如下图：

这1000户家庭的年纯收入的平均值为：．
（2）1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫，
则未脱贫概率为，
设该市的脱贫标准为，则，
根据，
得脱贫标准．
（3），
，
家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭频率为
，
家庭年纯收入超过5.92千元，但不超过8.96千元的家庭频率为
，
家庭年纯收入超过8.96千元，但不超过15.04千元的家庭频率为

家庭年纯收入超过15.04千元的家庭频率为
，
则每户家庭获得的扶持资金的数学期望
千元．
【点睛】
本题考查了古典概型，频率分布直方图，正态分布的性质，数学期望计算，考查运算求解能力，属于中档题．
26．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.

（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X（cm）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）求；
（ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率.
参考数据：若，则，，，，，.
【答案】（1），；（2）（i）；（ii）
【分析】
（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解；
（2）（i）由题意结合正态分布的性质即可得解；
（ii）由题意结合正态分布的性质可得，再由即可得解.
【详解】
（1）由题知第三组的频率为，
则第五组的频率为，
第二组的频率为，
所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，
故，

；
（2）由题知，，
（i）

；
（ii），
故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率：.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题.
27．绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值；
（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；
（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为，求；
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，其中，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）300；（2）（i）；（ii）；（3）见解析，此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
【分析】
（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出．
（2）（ⅰ）由，．利用正态分布的对称性可得．
（ⅱ）依题意有，再利用二项分布的期望公式计算可得；
（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为．②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为．可得：．变形为．即可证明时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列．利用，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率，失败的概率．进而得出结论．
【详解】
（1）（千米）.
（2）（i）由.

.
（ⅱ）依题意有，所以.
（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即.
遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种；
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为.
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为.
，.
时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列．
，，，…，.

.
∴获胜的概率，
失败的概率.
.
∴获胜的概率大.
∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的性质、正态分布图的性质、等比数列的定义通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
28．为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛.已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示.

（1）估计这60名参赛学生成绩的中位数；
（2）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格.60分以上（含60分）的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列与数学期望；
（3）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（同一组数据用该区间的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数（结果根据四舍五人保留整数）.
参考数据：，，.
【答案】（1）中位数为65；（2）分布列见解析；期望为；（3）.
【分析】
（1）由图中的数据可判断中位数在60分到80分之间，若设中位数为，则，从而可求得中位数；
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为6人，不合格的人数为4人，则的可能取值为0，1，2，3，4，求出各自的概率，从而可得的分布列与数学期望；
（3）由已知求出，从而可得，再利用正态分布的对称性可求得结果
【详解】
（1）设中位数为，则，解得，所以这60名参赛学生成绩的中位数为65.
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为.
由题意可知的可能取值为0，1，2，3，4.
则，，，，.
所以的分布列为

0
1
2
3
4








所以的数学期望.
（3）由题意可得，，，则，
由服从正态分布，得，则，，所以此次竞赛受到奖励的人数为.
【点睛】
此题考查频率分布直方图、分层抽样、离散型随机变量的分布列、正态分布等知识，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题
29．冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．出现的新型冠状病毒（nCoV）是从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标．现从采集的血液样品中抽取500份检测指标的值，由测量结果得下侧频率分布直方图：

（1）求这500份血液样品指标值的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，记作）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这项指标的值X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．在统计学中，把发生概率小于3‰的事件称为小概率事件（正常条件下小概率事件的发生是不正常的）．该医院非常关注本院医生健康状况，随机抽取20名医生，独立的检测血液中指标的值，结果发现4名医生血液中指标的值大于正常值20.03，试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并说明理由．
附：参考数据与公式：， ，；若，则①；②；③．，，，．
【答案】（1）17.4；6.92（2）该院医生的健康率是正常的．见解析
【分析】
（1）由频率分布直方图，直接利用平均数和方差公式，求出500份血液样品指标值的平均数和样本方差；

（2）由（1）得出指标的值服从正态分布，从而可求出，在根据独立重复试验中的概率求法，求出20名医生中出现4名医生血液中指标的值大于正常值20.03的概率，即可判断该院医生的健康率是否正常.
【详解】
解：（1）根据题意，由频率分布直方图可知，
500份血液样品指标值的平均数为：
，
500份血液样品指标值的样本方差为：
．
（2）由题意知：指标的值服从正态分布，
，，则，
所以，．
随机抽取20名医生独立检测血液中指标的值，就相当于进行了20次独立重复试验，
记“20名医生中出现4名医生血液中指标的值大于正常值20,03”为事件，
则
，
所以从血液中指标的值的角度来看：该院医生的健康率是正常的．
【点睛】
本题考查由频率分布直方图估计平均数和方差，考查对正态分布的理解和正态分布的实际应用，以及独立重复试验中的概率问题，考查理解分析和计算能力.
30．某企业生产的某种产品尺寸在（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产一件该产品，若是正品，则获利200元，若是次品，则亏本80元，现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：
分组







频数
2
9
22
33
24
8
2


（1）已算出这100件产品的尺寸的平均数为，求这100件产品的尺寸的方差；
（2）若该产品的尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率；
②设该企业每生产一件该产品的利润为X，求X的分布列.
参考数据：，若随机变量，则，，.
【答案】（1）37.5；（2）①0.9545；②分布列见解析.
【分析】
（1）根据方差公式可得结果；
（2）①根据，，以及可得结果；
②依题意得，，由①知，则，由此可得分布列.
【详解】
（1）这100件产品的尺寸的方差

所以；
（2）①因为该产品的尺寸符合正态分布，，，
所以，
由正态分布可知，每生产一件该产品，尺寸在内的概率，
即每生产一件该产品，该产品是正品的概率为0.9545.
②依题意得，，
由①知，则，
故X的分布列为：
X
200

P
0.9545
0.0455
【点睛】
本题考查了方差公式，考查了正态分布的三个特殊概率，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题.
31．某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，己知共有20000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下的统计数据.
得分（百分制）
[0，20)
[20，40)
[40，60)
[60，80)
[80，100]
人数
10
20
30
25
15

（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；
（2）由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中间值代替），且.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于72分的人数；
（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：
①参加复赛的学生的初始分都设置为100分；
②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第题时“花”掉的分数为；
③每答对一题得2分，答错得0分；
④答完题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.
已知学生甲答对每道题的概率均为0.75，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他的复赛成绩的期望值最大？
参考数据：若，则，，
【答案】（1）；（2）3173；（3）当他的答题数量时，他的复赛成绩的期望值最大.
【分析】
（1）由表可知，样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，再结合排列组合与古典概型即可得解；
（2）先求出样本中的100名学生预赛成绩的平均值，即为，从而推出，，再根据正态分布的性质即可得解；
（3）以随机变量表示甲答对的题数，则，记甲答完题所得的分数为随机变量，则，为了获取答道题的资格，甲需要“花”掉的分数为，设甲答完题后的复赛成绩的期望值为，则，最后利用配方法即可得解．
【详解】
解：（1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40分，其中成绩优良的人数为15人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件，则
答：“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”的概率为
（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：
，则，
由得，
所以，
所以，估计全市参加参赛的全体学生中，成绩不低于72分的人数为20000×0.15865=3173，
即全市参赛学生中预赛成绩不低于72分的人数为3173.
（3）以随机变量表示甲答对的题数，则，且，
记甲答完题所加的分数为随机变量，则，∴，
依题意为了获取答道题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，
设甲答完题后的复赛成绩的期望值为，
则，
由于，所以当时，取最大值104.9.
即当他的答题数量时，他的复赛成绩的期望值最大.
【点睛】
本题考查古典概型、正态分布的性质、二项分布的性质及数学期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．
32．以下是某一年A，B两地的气温曲线与降水量柱状图.


其中A地的气温u（单位：）与月份x的关系近似为函数，且A地的月平均降水量y（单位：）与月份x的关系近似为函数.
（1）求出A地月平均降水量y（单位：）与气温u（单位：）的函数关系式，并作线性变换，用线性函数预测当气温u为时，该月的平均降水量为多少？
（2）若两地的月降水量均符合正态分布，分别为，，试根据A，B两地的降水量柱状图判断，所对应的地区，并求出B地区月降水量超过的概率.
（附：对于函数，可变换为，令，，则.
参考数据：

若随机变量X服从正态分布，则
，

.
【答案】（1）；（2）约为.
【分析】
（1）先利用已知条件得到，两边同时取对数得，代入即可得出结果. （2）先由图判断出对应A地，对应B地，由，利用原则求解即可得出结果.
【详解】
（1）由，
知，
又，
所以，
两边同时取对数得，
当时，，
此时.
所以当气温u为时，该月的平均降水量为.
（2）分析A，B两地的降水量柱状图，
可知A地月平均降水量的波动（方差）较大，
B地月平均降水量的波动（方差）较小，
所以对应A地，对应B地.
由，
可知，
由，
可知，
即B地区月降水量超过的概率约为.
【点睛】
本题主要考查了正态分布在实际生活中的应用以及利用正态曲线求概率的方法.属于中档题.
33．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66

当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．
回归模型
模型①
模型②
回归方程



182.4
79.2

（附：刻画回归效果的相关指数，）
（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：，）
（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）．
（附：若随机变量，则，）
【答案】（1）见解析（2）技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．（3）2.27元
【分析】
（1）由表格中的数据，，所以，
转化，利用相关指数的定义即得解；
（2）当时，由已知可得，可得，可得y与x满足的线性回归方程，代入计算即得结论；
（3）由，，所以，即得解.
【详解】
解：（1）由表格中的数据，，所以，
所以．
可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．
所以回归模型②的拟合效果更好．
所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为
（亿元）．
（2）当时，由已知可得．
．
所以．
所以当时，y与x满足的线性回归方程为．
当时，科技升级直接收益的预测值为亿元．
当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，
所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．
（3）因为，，所以


；
．
所以（元）．
【点睛】
本题考查了线性回归方程、回归系数，正态分布等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
34．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的平均年收入（单位：千元）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得=6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入标准大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附参考数据：，若随机变量X服从正态分布，则，，.
【答案】（1）为17.40千元（2）①最低年收入大约为14.77千元②最有可能是978人
【分析】
（1）利用各组数据的中点值乘以该矩形的面积再相加即可得到结果；
（2）①根据可推得结果；②记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，则，其中，根据二项分布的概率公式分析可得结果.
【详解】
（1）千元.
故估计50位农民的年平均收入为17.40千元.
（2）由题意知，
①，
所以时，满足题意，
即最低年收入大约为14.77千元.
②由，
每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，
记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为
则，其中
于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为
，
从而由，得
而，所以，
当时，；
当时，，
由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.
【点睛】
本题考查了正态分布的概率公式，考查了二项分布的概率公式，属于中档题.

35．据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值，并分成以下5组：，，…，，其统计结果及产品等级划分如下表所示：
质量指标值





产品等级
级
级
级
级
废品
频数
160
300
400
100
40

试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：
（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.记表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值在区间之外的包装胶带个数，求及的数学期望；（精确到0.001）
（2）已知每个包装胶带的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示：
质量指标值





利润






假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，，，，.
【答案】（1），；（2）不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资，理由见解析.
【分析】
（1）本小题先求样本平均数，再根据正态分布直接求解即可.
（2）本小题根据题意利用导函数求函数最大值，进行比较，给出判断即可.
【详解】
（1）由题意知：
中间值
55
65
75
85
95
概率
0.16
0.3
0.4
0.1
0.04


∴样本平均数为.
∴，
而.
从而质量指标值在区间之外的概率为0.1814.
因此
的数学期望为.
（2）由题意可知，该包装胶带的质量指标值与对应概率如下表所示：
质量指标值





利润






0.16
0.3
0.4
0.1
0.04


故每个包装胶带的利润
则，
令，得，
故当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，（元），
由已知，该生产线的年产量为1000万个，故该生产线的年盈利的最大值为（万元），
而4160万元万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资.
【点睛】
本题考查正态分布的相关知识点，函数最值问题，是偏难题.