2020-2021学年福建省莆田第一中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

莆田第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试试卷

数学

命题人：            审核人：高二数学备课组

试卷满分 150分   考试时间 120分钟

一、选择题(本大题共有8小题，每小题5分，共40分，每小题在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)

1.抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

2.已知，若共面，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

3.如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则为（    ）

A.      B.    C.     D.

4.在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后，两点间的距离为（     ）

A． B． C． D．

5.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

6.直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

7.已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（   ）

A． B． C． D．

8.已知水平地面上有一篮球，球的中心为，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长为（    ）

A． B． C． D．

二．选择题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分，在每小题在给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9.设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中正确的是（    ）

A．当n⊥时，“n⊥”是“∥”成立的充要条件

B．当时，“m⊥”是“”的充分不必要条件

C．当时，“n//”是“”必要不充分条件

D．当时，“”是“”的充分不必要条件

10．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若，，三点共线，则

C．若直线与的斜率之积为，则直线过点

D．若，则的中点到轴距离的最小值为2

11.已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（      ）

A．当轴时， B．离心率

C． D．点I的横坐标为定值a

12.在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（    ）

A．若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线

B．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆

C．若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆

D．若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线

二:填空题(本大题共有4个小题，每题5分，共20分)

13.已知命题p：，，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______.

14.已知双曲线的一条渐近线方程为，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线方程为______．

15.设A，B分别是直线y＝2x和y＝﹣2x上的动点，满足|AB|＝4，则A的中点M的轨迹方程为_____．

16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.①当在上时，______；②点的轨迹的长度为______.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．)

17.（本小题满分10分）已知命题实数满足，实数满足曲线为双曲线.

（1）若，且为假，求实数的取值范围；

（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18.（本小题满分12分）如图在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，，,，．

(1)  求二面角的大小；

(2)  求点到平面的距离．

19.（本小题满分12分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.

（1）求的方程；

（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.

20.（本小题满分12分）正四棱锥的底面正方形边长是4，是P在底面上的射影，，是上的一点，,过且与、都平行的截面为五边形．

（1）在图中作出截面(写出作图过程）；

（2）求该截面面积．

21.（本小题满分12分）在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，．

（1）求证：；

（2）若，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

22.（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为.抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为.若为一动点，点满足.试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.

莆田一中2020-2021学年度上学期第一学段考试试卷

高二           数学 选修2-1

二、选择题

BBDDD    CAB    ABD   BCD  BCD  ABD

三、填空题   13. 14.    15.  16．2   

三、解答题

17、解：（1）为假，∴为真，， 解得；

（2）由得

由实数满足曲线为双曲线.得解之

由且得，设，，

因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，

故有，得.

18. （1）以为原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

∴，，．

设平面的一个法向量为，

由，，

得，令，则.

所以，

取平面的一个法向量为，

设二面角的大小为，由图可知为锐角.

∴，∴，

即二面角的大小为．

（2）由（1）知平面的一个法向量为，

又，∴，

∴点到平面的距离．

19.（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，

因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，

所以的方程为

（2）由题意，设直线方程为，

由消去，得，

设，，则，

所以，

又因为为的中点，点的坐标为，

直线的方程为，

令，得，点的坐标为，

所以，

解得，所以直线的斜率为.

20、解：（1）由题可知，是上的一点，过且与、都平行的截面为五边形，过作，交于点，交于点，

过作，交于点，再过点作，交于点，

过点作交于点，连接，

，，，，

所以共面，平面，

，平面，

平面，同理平面.

所以过且与、都平行的截面如下图：

（2）由题意可知，截面，截面，

，，

而是在底面上的射影，，平面，，

，且，所以平面，则，

，又， 为正四棱锥，

，故，于是，

因此截面是由两个全等的直角梯形组成，

因，则为等腰直角三角形，

，同理得，，

设截面面积为，

所以，

所以截面的面积为.

21、（1）证明：，且为线段的中点，，

又，四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面，

又平面平面，，

又，且平面平面，平面平面，

平面，平面，

又平面， .

（2）存在，为的靠近点的三等分点．

，为线段的中点，，

又平面平面，平面，

以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，，

设，得，，

设平面的法向量为，

则即

令，可得为平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

于是有；

得或（舍），

所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，故为的靠近点的三等分点．

22.解：（1）抛物线的焦点为，∴

过垂直于轴的直线截所得的弦长为

所以，解得.

所以又∵椭圆的离心率为，∴

椭圆的方程为，.

（2）设，，，则由，

得，

∵点在椭圆上，

∴所以，，

故

.

设分别为直线的斜率，由题意知，

因此

所以..

所以点是椭圆上上的点，.

∵，又∵，∴.

∴恰为椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义，为定值.