浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高二（实验班）下学期期中考试数学试题 Word版含解析

这是一份浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高二（实验班）下学期期中考试数学试题 Word版含解析，共19页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
www.ks5u.com2019-2020学年绍兴市诸暨中学实验班高二下学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1.如果全集，，，则　　A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合A、B，根据补集和交集的定义写出．【详解】解：全集，，，，．故选B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.设复数的共轭复数为，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设，代入，化简后利用复数相等的条件求得的值，再求即可.【详解】设，则.由，得，所以，即，.所以．故选：C【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查了复数的相等和共轭复数，属于简单题.3.已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由，，成等差数列解出即可．【详解】根据，，成等差数列得到=，再根据数列是等比数列得到，因为等比数列的各项均为正，故得到，解得或（舍去），故得到公比为.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题．4.已知是正实数，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析】根据是正实数，由，可得：， ，可得.反之不成立，可举例否定，从而得到答案.【详解】因为是正实数，由，可得：，又因为，当且仅当取“”.所以，即：，可得．反之不成立，若，取，，可得．所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查了基本不等式，属于中档题.5.若平面向量，的夹角为，且，则（    ）A.  B. C. ） D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得 ，再根据，可得 ，从而得到答案．【详解】由题意可得 .因为，所以.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，同时考查了平面向量的垂直关系，属于简单题.6.如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（   ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.【详解】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.7.已知log43＝p，log325＝q，则lg5＝（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】计算,利用对数换底公式、对数运算性质变形，化为的式子后可得.【详解】解：（换底公式），∴，故选：D．【点睛】本题考查对数的换底公式，对数运算法则，属于基础题．8.已知夹角为60°，且，若，则的最小值（    ）A.  B. 4 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】设，则，求出，该式子可以看作点A（tm，0）到点B（）和点C（）的距离之和，设点B关于x轴的对称点为D（），则|AB|+|AC|＝|AD|+|AC|≥|CD|，然后利用两点间的距离公式算出|CD|的长度即可得解．【详解】解：设，则，∴，，∴，该式子可以看作点A（tm，0）到点B（）和点C（）的距离之和，如图所示，由于点（tm，0）在x轴上，且点B关于x轴的对称点为D（），所以|AB|+|AC|＝|AD|+|AC|≥|CD|．∴的最小值为．故选：A．【点睛】本题考查向量的模，解题关键是用坐标表示向量，模的运算转化为坐标运算后，再由所得式子的几何意义利用对称性求解．9.定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R，有f(x+2)＝f(x)﹣f(1)，且当x∈[2，3]时，f(x)＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f(x)﹣loga(|x|+1)至少有6个零点，则a的取值范围是(      )A. (0，) B. (0，) C. (0，) D. (0，)【答案】B【解析】【分析】令x＝﹣1，求出f(1)＝0，得出函数f(x)的周期为2，画出f(x)和y＝loga(|x|+1)的图象，利用数形结合的方法进行求解；【详解】解：∵f(x+2)＝f(x)﹣f(1)，∴f(﹣1+2)＝f(﹣1)﹣f(1)，即f(1)＝f(﹣1)﹣f(1)，∴2f(1)＝f(﹣1)．∵f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(﹣1)＝f(1)，∴2f(1)＝f(1)，f(1)＝0．∴f(x+2)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的偶函数．作出f(x)和y＝loga(|x|+1)的图象如图所示：∵函数y＝f(x)﹣loga(|x|+1)至少有6个零点，∴0＜a＜1．∴loga(2+1)＞﹣2，解得0＜a．故选：B．【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把问题时行转化，转化为函数图象交点个数问题，这样可作出函数图象通过观察函数图象交点个数得出结论．10.已知数列{an}满足：an（n∈N*）．若正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则k＝（    ）A. 16 B. 17 C. 18 D. 19【答案】B【解析】【分析】由题意可得a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，将n换为n+1，两式相除整理得an2＝an+1﹣an+1，n≥6，求得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5，结合已知条件，即可得到所求值．【详解】解：an（n∈N*），即a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，所以a1a2…an＝1+an+1，两式相除可得an，则an2＝an+1﹣an+1，n≥6，由a62＝a7﹣a6+1，a72＝a8﹣a7+1，…，ak2＝ak+1﹣ak+1，k≥5，可得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5a12+a22+…+ak2＝20+ak+1﹣a6+k﹣5＝ak+1+k﹣16，且a1a2…ak＝1+ak+1，正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则ak+1+k﹣16＝ak+1+1，则k＝17，故选：B．【点睛】本题考查数列的递推公式，考查累加法求和，解题关键是由n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，a1a2…an＝1+an+1，两式相除得出，目的是配出．二、填空题（单空题每空4分，多空题每空3分，共36分）11.计算：cos870°＝_____；若cosα，则α∈_____．【答案】    (1).     (2). [2kπ，2kπ]，k∈Z【解析】【分析】运用诱导公式化简后，根据特殊角的三角函数值即可得解，由余弦函数的性质可得α的范围．【详解】解：cos870°＝cos（360°×2+150°）＝cos150°＝﹣cos30°．若cosα，则由余弦函数的性质可得α∈[2kπ，2kπ]，k∈Z，故答案为：；[2kπ，2kπ]，k∈Z．【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查诱导公式，属于基础题．解三角函数不等式时可画出函数图象，由图象观察得出结论，也可作出单位圆，作出余弦线，由余弦线得出结论．12.已知函数的最小正周期是，则______，若，则______ .【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】根据周期的公式，求w值，根据，然后利用余弦的二倍角公式求得的值【详解】根据周期的公式，所以，则：，【点睛】本题主要考核三角函数周期公式，以及化简和余弦二倍角公式的运用13.设函数f（x），若a＝1，则f（f（2））＝_____；若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是_____．【答案】    (1). 9    (2). [3，+∞）【解析】【分析】结合分段函数解析式先求，再求f(f(2))，分别结合指数函数与一次函数的性质分别求出每段函数的值域，然后结合函数值域的性质得出结论．【详解】解：若a＝1，则f(f(2))＝f(3）＝23+1＝9，当x＞2时，f（x）＝2x+a＞4+a，当x≤2时，由函数的值域为R可知，a＞0，此时f(x)≤2a+1，结合分段函数的性质可知，2a+1≥a+4即a≥3．故答案为：9；[3，+∞）．【点睛】本题考查分段函数，求解时必须分段求解，求函数值需确定自变量的取值范围，求值域时需分段考虑，由各段值域求并集可得．14.在四边形中，且，则___________，___________【答案】    (1).     (2). 【解析】分析】利用余弦定理求出 的值，利用勾股定理逆定理判断，由正弦定理和诱导公式即可求出的值.【详解】解：在中，由余弦定理可知 即，.又，所以.由，可知 ..故答案为: ;.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断.在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15.在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC边的中垂线分别交BC、AC于D、E，点P是DE的中点，则_____．【答案】【解析】【分析】设，以为基底，将其它向量都用表示出来，即可求得答案.【详解】解：如图所示，设，∴，∵DE垂直BC，∴，即，∴，∴．∵点P是DE的中点，且，∴故答案：．【点睛】本题考查了平面向量的基本运算和平面向量数量积的意义，确定基底并把相关的向量用基底表示出来是解题的关键.16.已知实数a，b，c，满足a2+b2+2c2＝1，则2ab+c的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值．【详解】解：若2ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：1﹣2c2＝a2+b2，又由a2+b2≥2|ab|＝﹣2ab，即有1﹣2c2≥﹣2ab，则2ab+c≥2c2+c﹣1＝2（c）2，即2ab+c的最小值为,当或时取得最小值.故答案为：．【点睛】本题考查了基本不等式，和二次函数的最值，分析已知条件将题目转化为求二次函数的最值是解题的关键.17.已知函数，对于任意的，，都存在使得成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为存在使的或成立，故或，通过讨论b的范围求出m的范围即可．【详解】的定义域为，，，，函数在上单调递增，，，存在使得成立，存在使的或成立，或，成立;当b<1-a时，只能成立，即先对任意b成立，故只需，即,对任意成立故lnm≥2，故答案为．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．三、解答题（本大题共5题，总分74分）18.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）将图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到的图象．若在内是单调函数，求实数的最大值．【答案】（1）最小正周期为π，减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）．【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得f（x）的最小正周期和单调递减区间．（2）利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得m的最大值．【详解】（1）依题意，得函数f（x）＝4cosxsin（x）﹣1＝4cosx•（sinxcosx）﹣1sin2x+2cos2x﹣1＝2（sin2xcos2x）＝2sin（2x）．它的最小正周期为π．令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，故函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z．（2）将y＝f（x）图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝g（x）＝2sin（2x）的图象．若g（x）在（0，m）内是单调函数，则g（x）在（0，m）内是单调增函数，∴2m，求得m，故m的最大值为．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．19.已知Sn是正项数列{an}的前n项和，满足a1＝2，anan+1＝6Sn﹣2，n∈N*．（1）求证：{an}是等差数列；（2）记bn＝2n，求数列{|an﹣bn|}的前n项和Tn．【答案】（1）见解析（2）Tn．【解析】【分析】（1）由anan+1＝6Sn﹣2⇒当n≥2时，有an﹣1an＝6Sn﹣1﹣2，两式相减得an+1﹣an﹣1＝6，再由数列的前几项推证出结果；（2）由（Ⅰ）可得an＝3n﹣1，记cn＝bn﹣an，研究其单调性，判断其符号，再求前n项和Tn．【详解】解：（1）证明：∵a1＝2，anan+1＝6Sn﹣2①，  ∴当n≥2时，有an﹣1an＝6Sn﹣1﹣2②，由①﹣②整理得an+1﹣an﹣1＝6，∴数列{an}的奇数项、偶数项均是公差为6的等差数列，又由题设条件可得a1＝2，a2＝5，a3＝8，a4＝11，所以an+1﹣an＝3，故数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列；（2）解：由（Ⅰ）可得an＝3n﹣1，又bn＝2n，记，∴当n≥2时，cn单调递增，且c1＝0，c2＝﹣1，c3＝0，从第4项起，cn＞0，∴当n＝1时，有T1＝0；当n＝2时，有T2＝1；当n≥3时，有Tn＝﹣c1﹣c2+c3+c4+…+cn＝1+（23+24+…+2n）+n﹣2﹣3（3+4+5+…+n）＝n﹣13＝2n+1，故Tn．【点睛】本题考查了数列与之间的关系，并由递推公式求通项公式，还考查了等差数列的通项公式和前项和公式，等比数列的前项和的公式，是一道数列的综合应用题.20.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C．（1）若，，求；（2）若，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，得出．结合，利用两角差的余弦公式，即可算出答案．（2）利用，结合两角和与差的正弦公式化简整理，得，从而或．再分和两种情况加以讨论，即可分别求出两种情况下△ABC的面积S．【详解】（1）∵，C，，∴可得，∴即（2）∵，可得∴由，得，即，可得∴或①，得，结合得∴，△ABC的面积②若，则，由余弦定理，得即，解之得，从而△ABC的面积综上：△ABC的面积为或.【点睛】本题考查的是利用正余弦定理解三角形和三角恒等变换，考查了学生的计算能力，属于典型题.21.已知等差数列的公差不为零，且，、、成等比数列，数列满足（1）求数列、的通项公式；（2）求证：.【答案】（1），，；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到，可令，求得，再将换为，相减可得；（2）原不等式转化为，应用数学归纳法证明，注意检验时不等式成立，再假设时不等式成立，证明时，不等式也成立，注意运用分析法证明.【详解】（1）等差数列的公差不为零，，可得，、、成等比数列，可得，即，解方程可得，则.数列满足，可得，当时，由，可得，相减可得，则，也适合，则，；（2）证明：不等式即为，下面应用数学归纳法证明.（i）当时，不等式的左边为，右边为，左边右边，不等式成立；（ii）假设时，不等式成立，当时，，要证，只要证，即证，即证，由，可得上式成立，可得时，不等式也成立.综上可得，对一切，，故.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用求通项以及数列不等式的证明，考查了数学归纳法的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.22.已知函数.（Ⅰ）若，函数在区间上有意义且不单调，求a取值范围；（Ⅱ）若，且，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）﹣6＜a＜﹣2；（Ⅱ）0≤a．【解析】【分析】（Ⅰ）当时，，由题知：二次函数f（x）的对称轴在（1，4）之间，且f（x）在[1，4]上恒为正，列出不等式组，即可求出a的取值范围；（Ⅱ）因为，设m，n（m≤n）为方程f（x）＝1的两个根，所以，由，解得a≥0或a≤﹣4，又m，n（m≤n）为方程f（x）＝1的两个根，所以m＝﹣1﹣a，即可求出a的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）当时，，由题知：二次函数的对称轴在之间，且在上恒为正，∴，解得：；（Ⅱ）因为，设m，n（m≤n）为方程的两个根，∴，由，得n﹣1＝0且，由得，所以，因为，∴，解得或，又m，n（m≤n）为方程的两个根，所以，∴，解得，综上所述：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，属于中档题．