浙江省宁波市奉化高中、慈溪市三山高中等六校2019-2020学年高二下学期期中联考数学试题 Word版含解析

这是一份浙江省宁波市奉化高中、慈溪市三山高中等六校2019-2020学年高二下学期期中联考数学试题 Word版含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
www.ks5u.com2019学年第二学期期中六校联考高二数学学科试卷命题学校：慈溪市三山高级中学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.2. 是虚数单位，复数（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】试题分析：.考点：复数的四则运算. 3. 的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简求值即可【详解】由题,故选：A【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值,属于基础题4. 我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法（    ）A. 10种 B. 16种 C. 25种 D. 32种【答案】B【解析】走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共种.故本题正确答案为B.5. 函数 的零点所在区间是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据函数零点存在定理判断即可.【详解】由函数，所以，，，所以，函数的零点所在的区间为.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题.6. 设， ，，则、、的大小关系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法比较、、三个数与和的大小，由此可得出、、的大小关系.【详解】指数函数为上的增函数，则；对数函数为上的增函数，则，即；对数函数为上的减函数，则.因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数式、对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.7. 用表示两个数中的最小值．设，则的最大值为（    ）A. -4 B. -5 C. -6 D. -10【答案】B【解析】【分析】根据题意，写出函数的解析式即可得出结论.【详解】由题意，函数，因当时，函数为减函数；当时，函数为增函数.所以，当时，函数取最大值，最大值为.故选：B.【点睛】本题考查函数的最值，正确理解函数新定义是解题的关键，属于基础题.8. 用数学归纳法证明“…”时，由到时，不等试左边应添加的项是(   )A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分别代入，两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k时，左边为，当n=k+1时，左边为所以增加项为两式作差得：，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．9. 已知函数是上的偶函数，对于任意都有成立，当，且时，都有．给出以下三个命题：①直线是函数图像的一条对称轴；②函数在区间上为增函数；③函数在区间上有五个零点．问：以上命题中正确个数有（   ）．A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用特殊值法分析可得，结合函数的奇偶性可得，进而可得，所以的周期为6；据此分析三个命题，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，对于任意，都有成立，令，则，又是上偶函数，所以，则有，所以的周期为6；据此分析三个命题：对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为轴，又由函数的周期为6，则直线是函数图象的一条对称轴，①正确；对于②，当，，，且时，都有，则函数在，上为增函数，因为是上的偶函数，所以函数在，上为减函数，而的周期为6，所以函数在，上为减函数，②错误；对于③，（3），的周期为6，所以，函数在，上有四个零点；③错误；三个命题中只有①是正确的；故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出的值，分析函数的周期与对称性．10. 是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，判断函数的单调性，然后根据函数的奇偶性判断函数的取值情况，即可求得不等式的解集.【详解】由题意，构造函数，则，当时，有恒成立，即恒成立，所以在上单调递减，又是定义在上的奇函数，则为上的偶函数，所以在上单调递增，而，故，当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.综上，不等式的解集为：.故选：A.【点睛】本题主要考查函数求导法则以及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，构造函数是解决本题的关键.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 幂函数的图像经过点，则_______.【答案】【解析】【分析】设幂函数，由条件求，再求的值.【详解】设幂函数，图像经过点，，，，.故答案为：3【点睛】本题考查根据求幂函数的解析式和求值，意在考查基本公式，属于简单题型.12. 已知函数在上是减函数，且，则满足的实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用函数在上是减函数可得，解不等式即可.【详解】由，若满足，则又函数在上是减函数，则，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性解抽象函数不等式，属于基础题.13. 从5名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有_______种.【答案】74【解析】【分析】根据题意，选用间接法，首先计算从5名男生和4名女生共9人中，任取3名代表的选法，再计算没有女生入选的情况，进而可得答案.【详解】根据题意，从5名男生和4名女生共9人中，任取3名作代表有种，其中没有女生入选，即全部选男生的情况有种，所以，至少包含1名女生的不同选法共有种.故答案为：.【点睛】本题考查组合的运用，对于“至少或至多有一个”一类的问题，一般用间接法.14. 定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且时，则__________ 方程的解集为_______.【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】利用函数的周期为可得；根据函数在的解析式可得函数在存在唯一的零点，再由，即可得到答案；【详解】函数的周期为，；为奇函数，，函数的周期为，，，方程的解集为。故答案为：；.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、方程的根，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用周期性与奇偶性结合得到函数的所有零点.15. 在二项式的展开式中，常数项是______，系数为有理数的项的个数是______【答案】    (1).     (2). 4【解析】【分析】化简二项式展开式的通项公式，由此求得常数项和有理项的个数.【详解】二项式展开式的通项公式为.当时，求得常数项为.当时，为有理数，也即有理项有个.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查常数项和有理项的求法，属于基础题.16. 设随机变量，则_____；______【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】根据独立重复试验的概率公式可求得，利用二项分布的方差公式可求得的值.【详解】，，由二项分布的方差公式可得.故答案为：；.【点睛】本题考查独立重复试验概率的计算，同时也考查了二项分布方差的计算，考查计算能力，属于基础题.17. 已知函数，则函数的值域为_____  ；若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是___________.【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】分和分别计算出的值域，取并集可得出函数的值域；然后作出函数和函数的图象，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】，当时，，此时；当时，，则，此时.因此，函数的值域为.令，得，由于方程有三个不同的实数根，则函数和函数的图象有三个交点，当时，，此时，作出函数和函数的图象如下图所示：由图象可知，当时，函数和函数的图象有三个交点.所以，实数的取值范围是.故答案为：；.【点睛】本题考查分段函数值域的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.18. 已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，得到集合，即可求解；（2）由，分和两种情况分类讨论，列出关系式，即可求解实数的取值范围.【详解】（1）当时，，，∴，（2）若，此时，∴，满足，当时，，∵，∴，∴.综上可知，实数的取值范围是.19. 编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是.（1）求随机变量的取值和对应的概率，并列出分布列；（2）求随机变量的数学期望及方差.【答案】（1）取值为0，1，3，概率，，，分布列见解析（2）数学期望1；方差1【解析】【分析】（1）求得当ξ分别为0,1,3时概率,列分布列；（2）代入期望和方差公式可得结论.【详解】解：（1）随机变量的取值为0，1，3        所以概率分布列为：  013  （2）      【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及期望,方差的计算,属于基础题.20. 函数.（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）若任意，对任意，总有不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）当时，利用二次函数的性质，求得在区间上的值域；（2）首先求得在区间上的最大值和最小值，由此得到对任意，不等式恒成立，构造函数，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】（1）当时，，对称轴，，∴函数在上的值域为. （2）∵，∴对称轴，∴在区间上单调递增，∴，，∴，即对任意，不等式恒成立，设，由于在区间上恒成立，所以则，即，解得或.【点睛】本小题主要考查二次函数在闭区间上的值域的求法，考查不等式恒成立问题的求解，属于难题.21. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的值域；（3）求使成立的取值的集合．【答案】（1）；（2）；（3），（）.【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A与k，由周期求出ω，由2•＝，求出的值，可得函数g（x）的解析式；（2）利用正弦函数的图象变换求得的表达式，利用性质可求值域；（3）结合三角函数图像进行求解即可．【详解】（1）由图象可知：A=2，k==1，=-（-，∴T=，又2• =，得到=，所以.（2）函数的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数 ，当时，，，，所以值域为（3）由 ，所以，即 （）.【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+）+k的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A与k，由周期求出ω，由五点确定是解题的关键，考查了正弦函数的图像及性质的应用，属于中档题．22. 已知函数的图像在点处的切线为．（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用可求，从而可得的解析式.（2）等价于，令，利用导数可求也就是.（3）不等式等价于，令，利用导数可求在上的最小值后可得的取值范围.【详解】（1），由已知得解得，故.（2）令，由得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，从而.（3）对任意恒成立对任意的恒成立.令，∴由（2）可知当时，恒成立令，得；得.∴的增区间为，减区间为，，∴，∴实数的取值范围为.【点睛】本题考查曲线的切线以及函数不等式的恒成立，对于函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.如果函数不等式含有参数，则可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的最值问题.