2020-2021学年福建省连城县第一中学高二上学期期中联考数学试题 word版
展开福建省连城县第一中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若A,B为互斥事件，P(A)=0.4 ， P(A∪B)=0.7 ，则P(B)= （ ）
A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.7
2．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1-60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知4号、34号、49号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）
A. 28 B. 23 C. 19 D. 13
3．已知直线MN的斜率为4，其中点N(1，－1)，点M在直线上，则点M的坐标为( )
A．(2,3) B．(4,5) C．(2,1) D．(5,7)
4．如右图，在圆心角为直角的扇形中，分别以为直径作两个半圆，在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直角三角形的两直角边分别为，，若绕三角形的斜边旋转一周形成的几何体，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的三视图如右图所示，若该几何体外接球的表面积为，则该几何体的高为（ ）
A． B． C． D．
7.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，，且为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，若圆C：上存在一点，使得，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论正确的是（ ）
A． B．甲得分的方差是736
C． D． 乙得分的方差小于甲得分的方差
10．设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个选项中正确的是（ ）
A．若，则；
B．若 则；
C．若为异面直线，，则；
D．若，则．
11．若直线与曲线恰有一个公共点，则的可能取值是( )
A． B． 0 C． 1 D．
12．已知球的直径，是球表面上的三个不同的点， ，则（ ）
A．
B． 线段的最长长度为
C．三棱锥的体积最大值为3
D．过作球的截面中，球心到截面距离的最大值为1.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．具有线性相关关系的变量的一组数据如下表所示，与的回归直线方程为，则b的值为 .
x | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 1 | 4 | 8 |
14．已知直线被圆截得的弦长等于该圆的半径,则 .
15．在长方体中，，且与底面所成角为，则直线与平面所成的角的正弦值为 ．
16．在平面直角坐标系中，过圆上任一点作圆的一条切线，切点为，则当取最小值时，________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题10分）
某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，分成5组，制成如图所示频率分布直方图．
（1）求图中的值，并求出满意度评分值在的人数；
（2）若调查的满意度评分值的平均数超过75，则可在该城市继续推行共享单车，试判断该城市能否继续推行共享单车。
18．（本小题12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面是边长为2的正三角形，为的中点，且平面
（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的高。
19．（本小题12分）
如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某宝电商分析了近8年“双十一”期间的宣传费用 (单位:万元)和利润 (单位:十万元)之间的关系,得到下列数据:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 | |
1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
请回答:
（1）由表中数据，求线性回归方程，并预测当时,对应的利润为多少(精确到)；
附参考公式:回归方程中中和最小二乘估计分别为,,
参考数据: .
（2）为了更好地完成任务，某宝电商决定让宣传部门的3名成员各自制定两个方案，从中任选2个方案进行宣传，求这2个方案出自同一个人的概率。
20．（本小题12分）
己知一个动点在圆上运动，它与定点所连线段的中点为。
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程。
21．（本小题12分）
已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上
（1）求圆的方程；
（2）已知直线圆截得的弦与圆心构成，若的面积有最大值，求出直线的方程；若的面积没有最大值，请说明理由。
22．（本小题12分）
如图甲，设长方形的边，点分别满足如图乙，将直角梯形沿直线折到的位置。
（1）证明：平面；
（2）当二面角为直二面角时，求多面体的体积;
（3）若中点的，当在底面上的射影恰好落在上，且时，求二面角所成角的余弦值．（如图丙）
答案
一、二、选择题：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
B | C | A | D | C | C | D | B
| A D | A C
| BC | ABD
|
三、填空题：
13. 3 14． 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题10分）
解：（1）由
∴ ……………… 3分
则满意度评分值在的有人 …………5分
(2)这组数据的平均数为
……………9分
∵ ，故能够继续推行共享单车。 ……………10分
18．（本小题12分）
证明：（1）连接
∵，
∴ ………… 2分
∵底面是菱形且 ，
∴是等边三角形，
又点是的中点
∴ ………… 4分
∴ ，又
∴平面； ………… 6分
（2）法一：由（1）得
∴ 是等腰直角三角形
又，∴
在中，，∴边上的高为
∴ ………… 9分
设点的距离为 ，由 ，
∴ ，即
， 所以三棱锥的高为 。 ………… 12分
法二：由（1）知且
轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系。
………… 8分
设平面的一个法向量为
且
令，得 ……… 10分
所以三棱锥的高为 ………… 12分
19．（本小题12分）
解：（1） …………2分
因为,
所以回归直线方程为, ………… 5分
当时, ,
即利润约为万元. ………… 6分
（2）记3名成员的方案分别为 ；；
从中任选2个方案的基本事件含有：、、、、、、、、、、、、、、
共15种。 ………… 10分
其中这2个方案出自同一个人的基本事件含有、、 ，共3种。
。
答：这2个方案出自同一个人的概率为 ………… 12分
20．（本小题12分）
解：（1）设，，根据中点公式得，
解得 ………… 2分
由，得
∴点P的轨迹方程是. ………… 5分
（2）当切线在两坐标轴上截距均为时，设切线，由相切得
,所以切线方程为, …………8分
当切线在两坐标轴上截距相等且不为时，设切线
由相切有，切线方程为 ………… 11分
综上：切线方程为或. ………… 12分
21．（本小题12分）
解：（1）设圆的方程为 因为点和在圆上，圆心在直线上，
所以 ，解得 ， …………3分
所以圆的方程为，即 ………… 4分
（2）设圆心C到直线m的距离为h(h>0)，H为DE的中点，连接CH.
在△CDE中，∵|DE|＝2＝2，
∴△CDE的面积为S△CDE＝|DE|·|CH|＝·2·h＝h· ……7分
∴S△CDE＝≤，
当且仅当h2＝25－h2，即h＝时等号成立，
此时△CDE的面积取得最大值． ………9分
∵CH＝＝·|n-1|＝h＝，
∴|n-1|＝5，∴n＝-4或n=6,故存在n＝-4或n=6，使得△CDE的面积最大，最大值为，此时直线m的方程为y＝x-4或y＝x+6. ………… 12分
22．（本小题12分）
解：
（1）证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，
因为平面，平面，所以平面 ………… 3分
（2）在图甲中，连
由勾股定理可得在图乙中有
在图甲中， ………… 7分
（3）方法一、由（1）
在图甲中，，
所求角的余弦值为 ………… 12分
方法二、
如图建立空间直角坐标系.
记平面的一个法向量为
记 …… 10分
所求角的余弦值为 ………… 12分
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