浙江省浙东北联盟（ZDB）2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

浙东北联盟（ZDB）2020-2021学年第一学期期中考试

高二数学试卷

考试时间120分钟

一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．圆的圆心坐标为（    ）

A．（1，2）   B．（-1，2）   C．（1，-2）   D．（-1，-2）

2．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（    ）

A．   B．

C．  D．

3．如图所示是水平放置的三角形的直观图，点是的中点，且，，分别与轴、轴平行，则在原图中的对应三角形的面积为（    ）

A．    B．1

C．2    D．8

4．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（    ）

 A． B． C． D．

5．长方体中，，，则二面角的余弦值的大小为（    ）

A．   B．   C．    D．

6．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则   B．若，，，则

C．若，，则   D．若，，，则

7．若，则方程能表示的不同圆的个数为（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

8．设直线：与圆：交于，两点，当实数变化时，的最大面积为9，则此时的值为（    ）

A．4    B．1或4   C．1   D．1或

9．已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，点，在平面内，若，，则的最小值为（    ）

A．    B．

C．      D．

10．已知，点表示不在直线：上的点，则所有点构成的图形的面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题：本大题共7小题。

11．已知球的体积为，则此球的表面积为________.

12．圆锥底面半径为1，高为，轴截面为．如图，从点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到点，则最短绳长为________.

13．已知：与：相交于，两点，则直线的方程为________，以线段为直径的圆的方程为________.

14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________.

15．若：关于直线：与直线：都对称，则=________，点，若点在上，当的最大值不超过45°时，实数取值范围是________.

16．如图，三棱台中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_________.

17．2020年是中国传统的农历“鼠年”，现用3个圆构成“卡通鼠”的形象．如图，是的圆心，且过原点；点，在轴上，圆、的半径均为1，、均与相切．直线过原点．

（1）若直线与、均相切，则直线截所得的弦长为_________；

（2）若直线截、、所得的弦长均等于，则=__________.

三、解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．已知正方体，为棱的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：．

19．已知：．

（Ⅰ）设点为上的一个动点，求的范围；

（Ⅱ）直线过点，且与交于、两点，若，求直线的方程．

20．在斜三棱柱中，，，且，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

21．在平面直角坐标系中，点，直线：，设的半径为2，圆心在直线上．

（Ⅰ）若与直线相交于，两点，且，求的方程；

（Ⅱ）若上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．

22．如图，在平行四边形中，，．点，分别在边，上，点与点，不重合，，与相交于点，沿将翻折到的位置，使二面角为90°，是的中点．

（Ⅰ）请在下面两个条件：①，②中选择一个填在横线处，

使命题：若________，则成立，并证明．

（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，当取最小值时，求直线与平面所成角的正弦值．

浙东北联盟（ZDB）2020-2021学年第一学期期中考试

高二数学答题卷

一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

二、填空题：本大题共7小题

11．.   12．  13．；．

14．3；．15．0；.

16．.   17．；.

三、解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18．（Ⅰ）证明：连结，，则，

∵是正方形，∴．

∵，∴．又，．

∵，∴，

∴．

（Ⅱ）证明：连结，与相交于点．

∵，分别是，的中点，∴，

又∵，，

∴

19．解析：（Ⅰ）设，则直线与有公共点，

所以圆心到直线的距离，解得．

（Ⅱ）当直线垂直于轴时，此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为，，这两点的距离为，满足题意；

当直线不垂直于轴时，设其方程为，

即，设圆心到此直线的距离为，则，

得，从而，得，此时直线方程为，

综上所述，所求直线方程为或．

20．（Ⅰ）证明：∵，∴

又，所以，

所以；

（Ⅱ）设，作于，连结，

∵于，∴，

∴为与平面所成角；

由已知，，得，，

∴，

在等腰直角中，，

所以，即与平面所成角的正弦值为.

21．解：（Ⅰ）设的中点为，连结，，，，，，

由已知得，

又，所以，则可得，

则直线的方程为，

圆心满足，

则圆的方程为．

（Ⅱ）∵的圆心在在直线：上，所以，设圆心为则的方程为

又∵，设，整理得：

设此为

∴点应该既在上又在上即：和有交点，

∴

由得

由得

终上所述，的取值范围为：.

22．解：（Ⅰ）命题：若，则.

∵，∴，，

又二面角的大小为90°，

∴，即，

∴，

∴，

又，∴，

，

∴.

（Ⅱ）设与交于点，，，则，

设，，，

，

当，，

连结，作于，连结，

由（Ⅰ）知，

∴，∴，

∴即为与平面所成角，

在中，，，，，

由，

，

∴，即与平面所成角得正弦值为.