2020-2021学年河南鲁山县第一高级中学高二上学期10月月考数学试题 Word版

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这是一份2020-2021学年河南鲁山县第一高级中学高二上学期10月月考数学试题 Word版，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南鲁山县第一高级中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值为（   ）

A.                                         B.                                         C.                                          D. 1
2.已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为，则球的表面积等于（   ）
A.                                      B.                                    C.                             D.
3.三棱锥中，平面，，的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为(     )
A.                                     B.                                     C.                                     D.
4.在长方体中，，，，P，Q分别为棱，的中点. 则从点出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）
A.                                      B.                                      C.                                      D.
5.设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）
A. 成正比，比例系数为C                                         B. 成正比，比例系数为2C
C. 成反比，比例系数为C                                         D. 成反比，比例系数为2C
6.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A. 2+                                 B.                                 C.                                 D. 1+
7.底面为正方形的四棱锥S﹣ABCD，且SD⊥平面ABCD，SD= ，AB=1，线段SB上一M点满足 = ，N为线段CD的中点，P为四棱锥S﹣ABCD表面上一点，且DM⊥PN，则点P形成的轨迹的长度为（   ）
A.                                      B.                                      C.                                      D. 2
8.如图，已知是顶角为的等腰三角形，且，点是的中点.将沿折起，使得，则此时直线与平面所成角的正弦值为（）

A.                                        B.                                        C.                                        D.
9.如图，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过的平面与棱分别交于点 .设，．

①四边形一定是菱形；② 平面；③四边形的面积在区间上具有单调性；④四棱锥的体积为定值.
以上结论正确的个数是（   ）
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                          D. 1
10.用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（）

A.              B.                 C.                D.
11.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(   )
A. 30°                                       B. 45°                                       C. 60°                                       D. 90°
12.在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A.                                      B.                                      C.                                D.
二、填空题（共16分）
13.如下图，将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为4的矩形，由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，线长的最小值为________（线粗忽略不计）

14.如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且，若、分别为线段、上的动点，则的最小值为________．

15.如图，已知正方体的棱长为，点为线段上一点，是平面上一点，则的最小值是________．

16.三棱锥中，平面ABC，，，，则该三棱锥外接球的表面积为________．
三、解答题（共6题；共70分）
17.已知梯形中，，，G是的中点. ，E、F分别是、上的动点，且，设（），沿将梯形翻折，使平面平面，如图.

（1）当时，求证：；
（2）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；
（3）当取得最大值时，求二面角的余弦值.
18.在底面是正方形的四棱锥中, , ,点在上,且 .

（Ⅰ）求证: 平面 ;
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
19.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，且， .

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值.
20.如图，在三棱柱中，，平面平面 .

（1）求证：；
（2）若，求 .
21.如图所示1，已知四边形ABCD满足，，E是BC的中点.将沿着AE翻折成，使平面平面AECD ， F为CD的中点，如图所示2.

（1）求证：平面；
（2）求AE到平面的距离.
22.如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形， , .

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.
数学试题答案
一、单选题
1. A 2.【答案】B 3.【答案】 C 4.【答案】 B 5.【答案】D 6.【答案】A
7.【答案】B 8.【答案】 A 9.【答案】B 10.【答案】 B 11.【答案】 A
12.【答案】B
二、填空题
13. 2
14.
15.
16.
三、解答题
17.（1）解：如图所示：于H，连接，
平面平面，，故平面，平面，
故，易知为正方形，故，，
故平面，平面，故 .

（2）解：，
故 .

（3）解：如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，即，
取，得到，故，
观察知二面角的平面角为钝角，故余弦值为 .
18. 解：

（Ⅰ）正方形ABCD边长为1,PA=1, ，
所以，即，
根据直线和平面垂直的判定定理，有平面 .
（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，直线分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则，
由(1)知为平面ACD的法向量, ，
设平面ACE的法向量为，
则
令 ,则 ,
设二面角的平面角为 ,则 = ，
又有图可知，为锐角，
故所求二面角的余弦值为
19.解：（Ⅰ）

证明：（Ⅰ）因为平面面，平面平面， ,
平面 ,所以平面
又平面，所以
又，，所以面
又面，所以平面平面
（Ⅱ）取DC的中点O，连接MO，由DM＝MC得MO⊥DC。
又MO⊥BC，所以MO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系
则M（0，0，1），A（2，-1，0），B（2，1，0）
, .
设是平面MAB的一个法向量
则即可取，
是平面MCD的一个法向量

平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是
20.（1）证明：因为平面AA1C1C⊥平面ABC ，交线为AC ，又BC⊥AC ，
所以BC⊥平面AA1C1C ，
因为C1C平面AA1C1C ，
从而有BC⊥C1C ．
因为∠A1CC1＝90°，所以A1C⊥C1C ，
又因为BC∩A1C＝C ，
所以C1C⊥平面A1BC ，
A1B 平面A1BC ，所以CC1⊥A1B ．

（2）解：如图，以C为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz ．

由∠A1CC1＝90°，AC＝ AA1得A1C＝AA1 ．
不妨设BC＝AC＝ AA1＝2，
则B(2，0，0)，C1(0，－1，1)，A(0，2，0)，A1(0，1，1)，
所以＝(0，－2，0)，＝(－2，－1，1)，＝(2，－2，0)，
设平面A1BC1的一个法向量为，
由 · ＝0， · ＝0，可取＝(1，0，2)．
设平面ABC1的一个法向量为，
由 · ＝0， · ＝0，可取＝(1，1，3)．
cosá ， ñ＝＝，
又因为二面角A1-BC1-A为锐二面角，
所以二面角A1-BC1-A的余弦值为
21. （1）证明：如图，连接，取的中点 ,连接 ,

在四边形ABCD中，由，，E是BC的中点，
易得四边形、四边形均为平行四边形，可得 ,
均为等边三角形，
在等边中，F为CD的中点，可得 ,且 ,故 ,
在等边 , 为的中点，故 ,又平面平面AECD ，
平面平面 ,且平面，故可得：平面AECD ，
故： ,由，，平面，平面，
故：平面

（2）解：如图，连接 ,取的中点点，连接 ,

由（1）得：平面AECD ，故 ,
且易得四边形为平行四边形，，由 ,可得 ,
由 ,且平面 , 平面 ,可得平面，
,易得，且点为的中点，
故 ,又 ,且平面 , 平面 ,
故平面，易得AE到平面的距离即为点G到平面的距离，
在中，，可得 ,
即AE到平面的距离为 .
22.解：（I）取中点，连接，，因为是边长为2的正三角形，所以，，
∵ ，∴ ，，
∴ ，
∴ ，∴ 平面，
∵ 平面，∴平面平面 .
（Ⅱ）连接交于，连接，
∵ 平面，∴ ，
又为的中点，∴ 为的中点.
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，， .
设平面的一个法向量为，
由得取，得 .
由图可知，平面的一个法向量，
∴ ，
∴二面角的余弦值为