重庆市万州沙河中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

重庆市万州沙河中学2020-2021学年度上期

高二期中考试数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.

2．交卷时，只上交答题卡，本试卷妥善保管，以备评讲.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．顶点在原点，焦点是的抛物线的方程是（    ）

A．   B．   C．    D．

2．直线与圆相切，则实数等于（    ）

A．或   B．或    C．或     D．或

3．以椭圆：的短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆的标准方程为（    ）

A．   B．    C．     D．

4．若圆，，则和的位置关系是（    ）

A．外离   B．相交    C．内切     D．外切

5．已知双曲线的一条渐近线方程为，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（　　　　）

A．       B．         C．       D．

6．已知为椭圆上的一个点，、分别为圆和圆上的点，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．       D．

7．设，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，若线段的中点恰在轴上，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是(     )

A．2 B．6 C．4 D．8

10．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角可能为（      ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（      ）

A．的方程为   B．的离心率为

C．曲线经过的一个焦点   D．直线与有两个公共点

12．已知抛物线，为坐标原点，其焦点为，准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于两点，则下列结论中正确的是（      ）

A． B．

C．可能为直角 D．当时，的面积为16

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若圆关于直线对称，则直线的斜率是             ．

14．双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则       ．

15．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过点倾斜角为的直线与抛物线交于不同的两点（其中点在第一象限），过点作，垂足为且，则抛物线的方程是             ．

16．已知椭圆的右焦点为，且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0．为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则         .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知抛物线的准线方程为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.

18．求下列各曲线的标准方程.

（1）长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆；

（2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点.

19．已知两个定点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若与曲线交于不同的、两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；

20．在直角坐标系中，曲线与轴交于A，B两点，点C的坐标为.当变化时，

解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在轴上截得的弦长为定值.

21．已知椭圆过点，

（1）求C的方程；

（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.

22．如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

高二期中考试参考答案

三、填空题

13．         14．11         15．         16．

四、解答题

17．（Ⅰ）依已知得，所以；

（Ⅱ）设，，由，得，

18．（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

由已知，2a=12,e=,

所以椭圆的标准方程为.           

（Ⅱ）由已知，双曲线的标准方程为，其左顶点为（-3，0）

设抛物线的标准方程为， 其焦点坐标为，

则  即p=6 

所以抛物线的标准方程为

19．（1）设点的坐标为，

由，可得，

整理得，所以所求曲线的轨迹方程为．

（2）在△中，，取的中点，连结，则，

所以，

即点到直线：的距离为，解得，

所以所求直线的斜率为．

20． （1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设,,则满足，所以.

又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，

所以不能出现AC⊥BC的情况.

（2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为.

由（1）可得，所以AB的中垂线方程为.

联立和，又，可得

所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径

故圆在y轴上截得的弦长为

方法二：先用三角形相似推导圆的相交弦定理，从而直接得出所截得的弦长为3

21．(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.

当y=0时，解得，所以a=4，

椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.

所以C的方程：.

(2)设与直线AM平行的直线方程为：，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，

此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，

可得：，

化简可得：，

所以，即m2=64，解得m=±8，

与AM距离比较远的直线方程：，

直线AM方程为：，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：，

由两点之间距离公式可得.

所以△AMN的面积的最大值：.

方法二：利用三角换元法，求出N到AM距离的最大值，继而得出面积最大值18.

22．解：（1）设，其中，

由得

从而故.

从而，由得，因此.

所以，故

因此，所求椭圆的标准方程为：

（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知，

由（1）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.

当时，重合，此时题设要求的圆不存在.

当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设

由得而故

圆的半径

综上，存在满足条件的圆，其方程为：