浙江省湖州市三贤联盟2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷 Word版含答案

绝密★考试结束前

2020学年第一学期湖州市三贤联盟期中联考

高二年级数学学科 试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

选择题部分

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知圆的方程为，则圆心的坐标为

 A.             B．       C．      D．

2.直线与圆的位置关系是

 A.相切          B．相交且直线过圆心      C.相交但直线不过圆心     D．相离

3.如右图，在长方体中，体对角线与面对角线的

位置关系一定是

 A.平行          B.  相交          C.异面         D.共面

4.“”是“”的  

 A．充分不必要条件    B．必要不充分条件  C.充要条件    D．既不充分也不必要条件

5．如右图，边长为的正方形是一个水平放置的平面图形的

直观图，则图形的面积是

A．           B．        

C.       D．

6.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面且，则下列命题正确的是

 A．若为异面直线且 ，，则 与都相交  

   B．若为共面直线且 ，，则 与都相交

 C．若，且 ，则 与都垂直

 D．若 ，，则 与都垂直

7.已知,，点,到直线的距离分别为和，则满足条件的直线的条数是 

 A.                  B．               C.               D．

8.如右图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则

 A．  B．

C．  D．

9. 如右图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面，,点在四边形内，且到,的距离都等于，若为上靠近的四等分点，过点且与平行的直线交三棱柱于点,两点，则点所在平面是  

 A.                  B.         

 C.                     D.

10. 已知函数，若关于

的不等式有解，则实数的值为

A.        B．         C.          D．

非选择题部分

二、 填空题（本大题共7小题，双空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

11.已知直线，直线，若，

则实数  ▲   ，此时两直线间的距离为  ▲   .

12.某几何体的三视图如右图所示（单位：cm），正视图和侧视图都是腰长 为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积为   ▲  ,最长棱的长

为  ▲  ．

13.棱长为的正方体中,异面直线与所成的角的正切值是  ▲   ，点到平面的距离为   ▲  .

14.已知直线与圆相切，则  ▲ ，直线过点且与直线垂直，与圆相交于，两点，则弦的中点坐标为   ▲  ．

15.大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点, ,若,则线段长的最小值是  ▲  ．

16.在三棱锥中，底面是以为斜边的直角三角形，且平面,若,,则三棱锥外接球的表面积为  ▲  .

17.如右图，在四棱锥中，平面，底面是

直角梯形,,,，,

若动点在内及边上运动，使得，则三棱锥

的体积最大值为__▲__.

三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

18. (本题满分14分)已知命题：实数满足，命题：方程表示圆．

（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19. (本题满分15分)平面直角坐标系中，已知定点，动点满足

    （Ⅰ）求动点的轨迹的方程;

 （Ⅱ）求直线被轨迹截得的线段长的最小值，并求此时直线的方程.

20.(本题满分15分) 如图，已知三棱柱的所有棱长都相等，侧棱底面,分别是的中点.

（Ⅰ）求证: ；

（Ⅱ）求平面与底面所成二面角的正切值. 

21. (本题满分15分) 如图，已知四棱锥中，，，，，，是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

22. (本题满分15分)如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为.

（Ⅰ）已知，求切线的方程；

（Ⅱ）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；

（Ⅲ）若，两条切线分别交轴于点,记四边形面

积为，三角形面积为，求的最小值.

2020学年第一学期湖州市三贤联盟期中联考

高二年级数学学科参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．

1-5，B C C A D   6-10 ,D B D C A

三、 填空题（本大题共7小题， 11—14每题6分，15—17题每题4分，共36分)

11. ， .         12. ,     13. ,          14. ,  

15.        16.       17. 

三、解答题(本大题共5小题，共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

18. (本题满分14分)已知命题：实数满足，命题：方程表示圆．

（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

（Ⅰ），…………………………….4分

得…………………………………….7分

（Ⅱ），因为是的充分不必要条件所以………10分

      所以 ，…………………………………………13分

得……………………………………………….14分

19. (本题满分15分)平面直角坐标系中，已知定点，动点满足

    （Ⅰ）求动点的轨迹的方程;

 （Ⅱ）求直线被轨迹截得的线段长的最小值，并求此时直线的方程.

（Ⅰ）设动点,因为,所以

……………………………………………….4分

      化简得曲线的方程：………………………………7分

（Ⅱ）直线过定点，圆心到直线距离最大值…………10分

      此时弦长有最小值为………………………………12分

此时，直线方程为…………………………………………………15分

20.(本题满分15分) 如图，已知三棱柱的所有棱长都相等，侧棱底面,分别是的中点.

（Ⅰ）求证: ；

（Ⅱ）求平面与底面所成二面角的正切值.

解：（Ⅰ）证明：….2分

      又为正三角形，为中点，………………2分

      得……7分

（Ⅱ）设所有棱长都为，取中点，中点，连. 易知，则为平面的与底面所成二面角的平面角..…11分

      在中，取中点，连，有，则.

      且，………………………15分

21. (本题满分15分) 如图，已知四棱锥满中，，，，，，是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

解:（Ⅰ）取中点，连.易知，，所以

      所以四边形为平行四边形……………………………………………………5分

所以.又因为，,所以………..7分

（Ⅱ）(一)连.由，,所以，.

在直角梯形上，.

.又，所以

，…………………10分

又.，所以为直线与平面所成角………13分

………………………………15分

(二)设是中点,连因为，则，作,所以为,也即直线与平面所成角……………………………………………………………………13分

………………………………………………15分

22. (本题满分15分)如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为.

（Ⅰ）已知，求切线的方程；

（Ⅱ）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；

（Ⅲ）若，两条切线分别交轴于点,记四边形面

积为，三角形面积为，求的最小值.

（Ⅰ）情况1.当切线斜率不存在时，有切线………….2分

     情况2.设切线：，即.

 由得，解得，切线为……4分

     综上：切线为

（Ⅱ）在以点为圆心，切线长为半径的圆上，即在圆：上

联立  得…………………………………7分

所以过定点……………………………………………………9分

(Ⅲ)

设；

得，,

………………………………………………11分

切线统一记为，即

由得，得两根为

所以

所以，则…………………………………13分

记

当，即时，………………………………………………15分