浙江省宁波市咸祥中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

这是一份浙江省宁波市咸祥中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
www.ks5u.com咸祥中学高二年级数学学科期中考试试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.选择题部分（共72分）一、选择题：本大题共18小题，每小题4分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用并集运算法则计算得到答案.【详解】集合，，则.故选：C.【点睛】本题考查了并集运算，属于简单题.2.直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用直线斜率公式，即可求解经过两点的直线的斜率，得到答案．【详解】由题意，直线经过点和点，则直线的斜率是，故选C．【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】如图所示，根据弦长得到为等边三角形，得到答案.【详解】根据题意：如图所示，，则为等边三角形，故.故选：A.【点睛】本题考查了根据弦长求圆心角，属于简单题.4.若等比数列中，，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用等比数列的性质得到答案.【详解】根据等比数列性质：.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列性质，属于简单题.5.与的大小关系是（    ）A.  B.  C.  D. 不能比较大小【答案】B【解析】【分析】根据，即可得到大小关系.【详解】，，所以.故选：B【点睛】此题考查比较两个实数的大小，涉及无理数之间的大小关系，利用平方关系进行比较，属于简单题目.6.函数（且）的图象必经过点（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数直接计算得到定点.【详解】当时，，故函数图像必经过点.故选：D.【点睛】本题考查了指数型函数过定点问题，利用是解题的关键.7.在ΔABC中，，，A=45°，则此三角形解的情况是(      )A. 两解 B. 一解 C. 一解或两解 D. 无解【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理,解方程可解得两个的值,故有两解.【详解】因为，，A=45°,所以由余弦定理得,所以,解得或,所以此三角形解有两解.故选.【点睛】本题考查了用余弦定理判断三角形的解的个数,属于基础题.8.下列说法正确的是（    ）A. 若直线平行于平面内的无数条直线,则B. 若直线在平面外,则C. 若直线,则D. 若直线，则直线平行于内的无数条直线【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面位置关系,直线与平面平行的判定定理逐个判断可得答案.【详解】对于,若直线平行于平面内的无数条直线,则或,故不正确;对于,若直线在平面外,则或与相交,故不正确;对于,若直线,则或,故不正确;对于,若直线，则直线平行于内的无数条直线,是正确的.故选:D【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系,直线与平面平行的判定定理,属于基础题.9.两个圆与圆的公切线有且仅有（    ）A. 条 B. 条 C. 条 D. 条【答案】B【解析】【分析】利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数.【详解】圆的标准方程为，圆的标准方程为，两圆心分别为、，半径分别为，，，两圆相交，因此，两圆有条公切线，故选：B.【点睛】本题考查两圆公切线条数的判断，本质上还是要判断两圆的位置关系，同时也考查熟悉两圆公切线条数与两圆位置之间的关系，考查推理能力，属于基础题.10.值是（    ）A.  B.  C. - D. 【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式化简，并结合正弦和角公式即可求解.【详解】由诱导公式可知所以由正弦和角公式可得，故选：B.【点睛】本题考查了诱导公式及正弦和角公式的应用，属于基础题.11.平面向量与的夹角为，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据平面向量数量积运算律及数量积定义，即可求得.【详解】平面向量与的夹角为，，，则，由平面向量运算律及数量积定义可知故选：B.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律与数量积定义，平面向量模的求法，属于基础题.12.古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图中的,,,,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数；类似的,称图中的,,,,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据图1的规律可求得第个图形中点的个数通项公式,以及图2中第个图形中点的个数的通项公式,再逐个选项辨析即可.【详解】易得图1中第个图形中点的个数通项公式,图2中第个图形中点的个数通项公式.四个选项中仅有正整数解.故选：B【点睛】本题主要考查了图形规律中的数列通项公式以及数列求和公式.属于基础题.13.已知椭圆的一个焦点为，离心率，则椭圆的标准方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的焦点坐标及离心率，可求得，再由椭圆中的关系即可求得椭圆的标准方程.【详解】椭圆的一个焦点为，则，离心率，则，所以，由椭圆中的关系满足，可得，所以椭圆的标准方程为，故选：C.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，椭圆的几何意义及简单应用，属于基础题.14.设，那么“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】考虑两个命题：若，则，若，则，根据真假性即可得解.【详解】对于实数x，若，则，是一个真命题，若，则，是假命题，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】此题考查充分条件与必要条件的判定，关键在于根据逻辑关系准确判断，也可根据集合的包含关系判断.15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据所给三视图，还原出空间几何体，即可求得几何体的表面积.【详解】根据三视图，还原空间几何体如下图所示：在正方体中，去掉三棱锥，正方体的棱长为2，为的中点，则，故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，关键是能够正确还原出空间几何体，属于中档题.16.已知双曲线（，），，是双曲线的两个顶点，是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是，若直线，的斜率分别是，，且，则双曲线的离心率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的标准方程可知焦点在轴上，设出点坐标，即可得点坐标；根据直线，的斜率乘积，结合斜率公式即可求得的等量关系，再由点在双曲线上，代入即可得关系，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线（，），，是双曲线的两个顶点，则双曲线焦点在轴上，不妨设，，是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是，则，由两点间斜率公式可得直线的斜率，直线的斜率，根据题意， 则，化简可得，是双曲线上的一点，则，化简可得，由上述两式可得，即，所以，而双曲线中满足，所以，则，故选：A.【点睛】本题考查了双曲线标准方程及几何性质应用，直线与双曲线位置关系的应用，双曲线离心率的求法，属于中档题.17.已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【详解】函数恰有4个零点，即方程，即有4个不同的实数根，即直线与函数的图象有四个不同的交点．又做出该函数的图象如图所示，由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，故函数恰有4个零点时，b的取值范围是故选D．考点：1、分段函数；2、函数的零点．【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误． 18.在三棱锥中，，， 在平面的射影为的中点，是上的动点，，是的两个三等分点，（），记二面角，的平面角分别为，.若，则的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】如图所示，过点分别作,垂足分别为,过点作垂足分别为，连接,设,.先证明，再证明即得解.【详解】由题得平面平面，过点分别作,垂足分别为,则平面，平面，过点作垂足分别为，连接,因为，所以平面，所以为二面角的平面角，即，同理为二面角的平面角，即设,.所以,.因为，所以因为.在中，.当时，取中点，连接，所以所以所以的最大值为.故选：B【点睛】本题主要考查立体几何的综合应用，考查空间二面角的作法和计算，考查正弦定理边角转化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.非选择题部分（共78分）二、填空题：本大题共4小题，每空5分，共25分.19.在等比数列中，若，，则公比___；________．【答案】    (1). -2    (2). 【解析】【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比；是以为首项，为公比，进而利用等比数列的求和公式求解．【详解】， 所以，是以为首项，为首项的等比数列，所以故答案为：；【点睛】本题主要考查了等比数列的性质．考查了对等比数列的通项公式和求和公式的灵活运用，属于基础题．20.设，向量，，若，则________．【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积的定义结合两向量垂直的数量积表示求解即可．【详解】解：向量，，且，即又，所以，所以所以．故答案为：【点睛】本题主要考查向量的数量积以及向量的垂直，属于基础题．21.已知椭圆，，分别为左、右焦点，为椭圆上一动点，以为直径作圆，圆与圆的位置关系为________．【答案】相切【解析】【分析】设椭圆另一焦点为，且中点为，根据椭圆定义有，所以，这样，我们就可以判断以为直径的圆与圆的位置关系【详解】解：设椭圆另一焦点为，且中点为，并连，则是△的中位线，故两圆圆心距，根据椭圆定义有，所以圆心距所以两圆心距等于半径差，即以为直径的圆与以长半轴为半径的圆相内切．故答案为：相切．【点睛】椭圆的定义是我们解决椭圆问题的重要方法，判断圆与圆的位置关系，通常运用两圆的圆心距与半径比较，属于基础题．22.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】或【解析】【分析】首先说明函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式即恒成立，令，，分类讨论计算可得；【详解】解：因为定义域为，且，故函数为奇函数，因为在上单调递增，在上单调递增，且时，，所以函数在定义域上单调递增，因为不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，令， ①当时，，即；②当时，显然不成立；③当时，则，解得 综上所述或故答案为：或【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的判定，分段函数的性质的应用，属于难题.三、解答题：本大题共3小题，共53分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.已知函数.求（1）的值；（2）函数的最小正周期；（3）在上的取值范围.【答案】（1）0；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据函数解析式代入即可得解；（2）利用二倍角公式逆用结合辅助角公式化简即可得解；（3）结合（2）可得，即可得到值域.【详解】（1）由题意得；（2）因为，所以函数的最小正周期为；（3）当时，，所以，则，故在上的取值范围是.【点睛】此题考查三角函数化简求值，根据三角恒等变换求函数的最小正周期，利用整体代入方法求解函数值域，属于中档题.24.已知抛物线的焦点是，直线的方程为，点.（1）写出点的坐标和准线的方程；（2）已知，若过的直线交抛物线于不同两点，，（均与不重合），直线，分别交直线于点，.设，的斜率分别为，.求证：为定值.【答案】（1），准线方程.（2）为定值,证明见解析【解析】分析】（1）根据抛物线方程直接写出焦点坐标和准线方程;（2）设过点直线为，，联立方程组，得出根与系数的关系，再表示出，的坐标，再利用根与系数的关系化简即可得定值.【详解】解：（1）抛物线,得焦点，准线方程.（2）设过点直线为：，交抛物线于不同两点， 则 ，得，得， ，. 直线：，令，则 ，即,同理可得 则， ，则.【点睛】本题是直线与抛物线的位置关系的综合问题，利用设而不解，表示出是解决此题的关键，同时还考查了学生的运算能力.25.已知函数，其中．（1）当时，写出函数的单调区间；(直接写出答案，不必写出证明过程)（2）当时，求函数的零点；（3）当时，求函数在上的最小值．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为．（2），．（3）【解析】【分析】（1）因为，当时，，画出其函数图象，即可求得答案；（2）当时，，分别讨论和时函数的零点，即可求得函数的零点；（3） 化简，分别讨论，函数的单调性，进而求得函数最小值；【详解】（1）当时，画出图象根据图象可得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）当时，，①当时，令，即，此方程，无实数解．②当时，令，即，解得；由①②，得的零点为，．（3） 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取到最小值，且．当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数取到最小值，且．综上所述，．【点睛】本题主要考查了带有绝对值函数的单调区间和零点，及其函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数图象特征和函数最值的求法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.