2020-2021学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二10月月考数学（文）试题（解析版）

2020-2021学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二10月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知平面和外的一条直线，下列说法不正确的是（    ）

A．若垂直于内的两条平行线，则

B．若平行于内的一条直线，则

C．若垂直于内的两条相交直线，则

D．若平行于内的无数条直线，则

【答案】A

【解析】根据直线和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

若垂直于内的两条相交直线，则，故A错误C正确；

若平行于内的一条直线，则，故B正确；

若平行于内的无数条直线，则，故D正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查了线面关系，属于简单题.

2．已知直线与平行.则实数的值（    ）

A．2 B．-3 C． D．-3或2

【答案】A

【解析】由两直线平行的条件直接列方程求解即可

【详解】

解：因为直线与平行，

所以，且，

解得

故选：A

【点睛】

此题考查已知两直线平行求参数，考查运算能力，属于基础题.

3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】把该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥，红色线四棱锥A-BCDE为三视图还原后的几何体，其表面积为 .选A.

点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

4．在同一平面直角坐标系中，两直线与的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】将直线的方程转化截距离式，得出两直线在轴上的截距与在轴上的截距的关系可得选项.

【详解】

直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距为；

直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距，

所以两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距互为相反数，

对于A选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为正数，不满足题意；

对于B选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；

对于C选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；

对于D选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距均异号，满足题意，
故选：D.

【点睛】

本题考查直线的截距离式的理解与辨析，属于基础题.

5．已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设正方体的棱长为，根据侧面积相等，可得圆柱的底面半径为，再根据体积公式可得答案.

【详解】

设正方体的棱长为，则圆柱的高为，设圆柱的底面半径为，

则正方体的侧面积为，圆柱的侧面积为，

所以，所以，

所以正方体和圆柱的体积之比为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方体和圆柱的侧面积与体积公式，属于基础题.

6．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则F为（    ）

A．2 B．4 C．3 D．5

【答案】B

【解析】方程可化为，根据其表示以为圆心，4为半径的圆，由求解.

【详解】

因为方程表示以为圆心，4为半径的圆，

所以，

解得，

所以F为4.

故选：B

【点睛】

本题主要考查二元二次方程与圆的一般方程的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

7．已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，则此正三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，进而求得正三棱锥的体积.

【详解】

由于，所以，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为，其面积为，所以正三棱锥的体积为.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查根据斜二测画法的直观图，求原图的边长，考查正棱锥的体积的求法，属于基础题.

8．已知圆上两点，关于直线对称，则圆的半径为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知，圆心在直线2x＋y＝0上，∴2－m＝0，解得m＝4，

∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆的半径为3.

9．如图，在三棱锥S－ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分别取、、的中点、、，连接、、、、，由题意结合平面几何的知识可得、、或其补角即为异面直线SB与AC所成角，再由余弦定理即可得解.

【详解】

分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图：

由SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4可得，

所以，，

由中位线的性质可得且，且，

所以或其补角即为异面直线SB与AC所成角，

在中，，

所以异面直线SB与AC所成角的余弦值为.

故选：A.

【点睛】

本题考查了余弦定理的应用及异面直线夹角的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.

10．已知点到直线的距离等于，则实数等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离，再求解即可.

【详解】

解：由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离，由已知有，解得：，

故选C.

【点睛】

本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.

11．点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.

【详解】

由可知直线过定点，设，

当直线与垂直时，点到直线距离最大，

即为.

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.

12．已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据直线平面垂直的判定与性质得出，为直角三角形，可得SC的中点O为球心，又可求得，求出球的半径，即可得解．

【详解】

解：平面ABC，，

，，

面SAB，

面SAB，

，

，中AC的中点O，

，

为球O的直径，又可求得，球O的半径，体积，

故选B．

【点睛】

本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，平面，立体问题的转化，巧运用直角三角形的性质．

二、填空题

13．直线的倾斜角为_____.

【答案】

【解析】把直线方程化作斜截式，得到斜率，进而可求出倾斜角.

【详解】

由可得.

设斜率为，倾斜角为，则.

又，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线的倾斜角，是一道基础题.

14．一个圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则圆锥底面半径为________.

【答案】；

【解析】作出圆锥的轴截面图，结合直角三角形边角关系，即可求解.

【详解】

解：如图所示为圆锥的轴截面，,

所以圆锥底面半径，

故答案为:5.

【点睛】

本题考查圆锥的结构特征，属于基础题.

15．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．

【答案】5＋

【解析】由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为.

16．如图，正方体的棱长为1，P，Q分别是线段和上的动点，且满足，则下列命题正确的序号是___________

①存在P，Q的某一位置，使

②的面积为定值

③当时，直线与是异面直线

④无论P，Q运动到任何位置，均有

【答案】①③④

【解析】依次判断，每个选项：①当，分别为棱，的中点时满足，正确；②取特殊位置的面积为变化，故错误；③假设不成立推出矛盾，正确；④平面，正确，得到答案.

【详解】

对于①，当P，Q分别是与的中点时，AB//PQ，所以符合题意；

对于②，当P在A处，Q在处时，的面积为，当P，Q分别是与的中点时，的面积为，不符合题意；

对于③，当时，若直线与AQ是共面直线，则AP与共面，与已知矛盾，符合题意；

对于④, 分别为在平面内的投影，，所以

所以,所以,，平面， 平面，

所以，符合题意.
故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

三、解答题

17．已知：圆C过点A（6,0），B（1,5）且圆心在直线上，求圆C的方程．

【答案】.

【解析】【详解】

设所求圆的方程为．

由题意可得,

解得： 所以求圆C的方程为.

18．在正四棱锥中，、分别为棱、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）本题首先可以连结、交于点，连结，然后可根据、分别为棱、的中点得出，最后根据线面平行的判定即可得出平面；

（2）本题首先可以根据多面体为正四棱锥得出、，然后根据得出、，最后根据线面垂直的判定即可证得平面.

【详解】

（1）如图，连结、交于点，连结，

因为、分别为棱、的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面，

（2）因为多面体为正四棱锥，所以平面，，

因为平面，所以，

因为，所以，，

因为平面，平面，，

所以平面.

【点睛】

本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，可通过线线平行证得线面平行，可通过直线与平面内两条相交直线垂直证得线面垂直，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.

19．已知两条直线，相交于点.

（1）求交点的坐标；

（2）求过点且与直线垂直的直线的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）两直线方程联立即可求得交点坐标；

（2）根据两直线垂直可求得直线斜率，进而求得直线方程.

【详解】

（1）由得：，    ；

（2）直线斜率为，直线斜率.

，即：.

【点睛】

本题考查两直线交点坐标求解、根据两直线垂直求解直线方程的问题；关键是明确两直线垂直则斜率乘积为.

20．如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，且，求多面体的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，得出，平面；

（2）取中点，连接，证明平面，求出点到平面的距离，计算多面体的体积．

【详解】

解：（1）取的中点，连接，

因为是中点，

所以，且，

又因为，，

所以，，

即四边形是平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（2）取中点，连接，

因为是正三角形，所以，

因为平面平面，且交线为，

所以平面，

因为，所以平面，

所以，

故，，

因为是中点，所以点到平面的距离等于，

所以多面体的体积为：

．

【点睛】

本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．

21．已知直线：

（1）求证：不论m为何实数，直线恒过一定点M；

（2）过定点M作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线的方程．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）将直线l整理得：，由题意得出，得出定点的坐标；

（2）设出直线的方程，求出其与坐标轴的交点坐标，结合题意，列出方程，即可得出直线的方程.

【详解】

（1）证明：直线l整理得：

令

解得：

则无论m为何实数，直线l恒过定点

（2）由题意可知，当直线的斜率不存在或等于零时，显然不合题意

设直线的方程为

令，则；令，则

即直线与坐标轴的交点为

由于过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分

则点为线段中点，即，解得

则直线l1的方程为，即．

【点睛】

本题主要考查了求直线过定点以及求直线方程，属于中档题.

22．如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接､交于点，点为中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）利用三角形的中位线性质可得，然后再利用线面平行的判定定理即可证出.

（2）根据题意可证，，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理即可证出.

（3）方法一：利用等体法即可求解；方法二：利用综合法，作，垂足为，连接，作，垂足为，证出为点到平面的距离，在直角中，求解即可.

【详解】

（1）直三棱柱，四边形为平行四边形 

为的中点   为的中点，

又平面，平面，平面

（2）四边形为平行四边形，

平行四边形为菱形，即 

三棱柱为直三棱柱    

平面

平面     

，   

，，平面

平面

平面，，

，，平面，

平面，

平面 ，

平面平面 

（3）法一：(等体积法)连接，设点到平面的距离为

平面，平面，

，为三棱锥高，

在直角中，，.

在直角中，，.

在直角中，，，.

在等腰中，，

，

，

点到平面的距离为

 方法二：(综合法)作，垂足为，连接，作，垂足为.

平面，平面

，，平面

平面

平面

，，平面，

平面， 即为点到平面的距离，

在直角中， ；在直角中， ，

点到平面的距离为.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离，属于中档题.