2020-2021学年湖南省永州市第一中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2020-2021学年湖南省永州市第一中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是( )

A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=

【答案】C

【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠”.

【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.

2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是

A．所有不能被2整除的数都是偶数

B．所有能被2整除的数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的数是偶数

D．存在一个能被2整除的数不是偶数

【答案】D

【解析】试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D．

【考点】命题的否定．

3．如果集合，，，那么点的条件是（）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求得，由此求得满足的不等式组，将点坐标代入上述不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】

依题意，所以满足的不等式组为，由于，故，解得，.

故选:A

【点睛】

本小题主要考查交集和补集的概念及运算，考查点与线性约束条件表示的区域的位置关系，属于基础题.

4．已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据离心率求出关系，求出即可得出结果.

【详解】

由题知，，即==，

∴=，∴=，

∴的渐近线方程为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了求双曲线的渐近线问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

5．如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【解析】解不等式，得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间的包含关系的对应关系，可得不等式组，则有，（注：等号不同时成立），解可得答案

【详解】

解不等式，得其解集，，由于

不等式成立的充分不必要条件是

则有，（注：等号不同时成立）；

解得

故选B.

【点睛】

本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，属于简单题

6．已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先设，，代入椭圆方程，两式作差整理，得到，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到，根据且，即可求出结果.

【详解】

设，，则，

两式相减并化简得，

又过点的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为，

所以，，

即，

由于且，由此可解得，，

故椭圆的方程为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.

7．已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】可设直线的方程为，，联立直线方程和抛物线方程消去后可得，，用表示，再利用前者化简可得所求的的值.

【详解】

由题意知抛物线C的焦点坐标为，则直线的方程为，

将其代入，得.

设，则，.

因为，所以.

整理得到，

即.

因为，

所以等价于

整理得到：，

所以，

整理得到：，故.

故选：D.

【点睛】

直线与圆锥曲线的位置关系中的参数的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为关于参数的方程，从而可求参数的值.

8．已知椭圆，圆，，分別为椭圆和圆上的点，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，可知圆过椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，数形结合求解的最小值．

【详解】

解：由圆，得．

作出椭圆与圆的图象如图，

为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，

则，

圆过点，要使最小，则需要取最大值为圆的直径．

的最小值为．

故选：．

【点睛】

本题考查圆与椭圆的综合题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，训练了椭圆定义的应用，属于中档题．

二、多选题

9．关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（    ）.

A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点

C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等

【答案】CD

【解析】根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.

【详解】

双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A错误；

双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误；

双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C正确；

双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确.

故选：CD．

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.

10．已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ）

A．是的既不充分也不必要条件

B．是的充分条件

C．是的必要不充分条件

D．是的充要条件

【答案】BD

【解析】由已知可得；，然后逐一分析四个选项得答案．

【详解】

解：由已知得：；．

是的充分条件；是的充分条件；是的充要条件；是的充要条件．

正确的是B、D．

故选：BD．

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题．

11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．与之间的距离为4

【答案】ABC

【解析】由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项A；

点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断选项B；

根据抛物线的定义可知，，可判断选项C；

由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D．

【详解】

如图所示，

由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A正确；

由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，

，即选项B正确；

由抛物线的定义可知，，即选项C正确；

与平行，

与之间的距离，即选项D错误；

故选：ABC

【点睛】

本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题．

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.根据椭圆的上顶点为，且.可得，可得，设，.利用定义可得：.可得.在中，由余弦定理可得：，代入化简利用离心率计算公式即可得出.

【详解】

解：如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.

∵椭圆的上顶点为，且.

∴，

∴，∴.

∴.

不妨设点在第一象限，设，.

∴，.

∴.

在中，由余弦定理可得：

∴.

两边同除以，得，解得：.

∴,.

故选：BD.

【点睛】

本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

三、填空题

13．已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为______.

【答案】

【解析】先把椭圆的方程化为标准方程得的值，即得解.

【详解】

由题得椭圆的方程为.

所以椭圆的长轴长为.

【点睛】

本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．已知或，则p是q的_______条件（用“充要､充分不必要､必要不充分､既不充分又不必要”条件填空）.

【答案】充分不必要

【解析】判断原命题的等价命题的真假，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】

命题若，则或的逆否命题为：若且，则，

显然由且，一定能推出，但由不一定能推出且，

所以且是的充分不必要条件，因此p是q的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要

【点睛】

本题考查了充分不必要条件的判断，考查了等价命题的应用，属于基础题.

15．抛物线的焦点为F，准线L与x轴交于点M，若N为L上一点，当为等腰三角形，时，则_______.

【答案】2

【解析】根据抛物线的方程求出焦点F的坐标和准线L的方程及的坐标，根据N为L上一点且为等腰三角形得到为等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长度即为的值.

【详解】

解：根据抛物线方程得到焦点,

准线L的方程为,

所以,则 ,

又因为为等腰三角形,

N为L上一点得到为等腰直角三角形,

即,

又斜边 ,根据勾股定理求出,

则.

故答案为: 2

【点睛】

本题要求学生掌握抛物线的简单性质，灵活运用勾股定理解直角三角形.是一道基础题.

16．如图所示，已知A､B､C是椭圆上的三点，过椭圆的中心O，且.则椭圆的离心率为_______.

【答案】

【解析】由B、C关于原点的对称性，所以|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|，由此可得C点的横坐标，由AC⊥BC可求出C点的纵坐标，再由点C在椭圆上可求得a、b、c的一个关系式，结合椭圆中a2＝b2+c2，即可求出离心率．

【详解】

由|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|，所以C点的横坐标为，设C（，y），

由AC⊥BC，则，又因为点C在椭圆上，代入椭圆方程得：，

所以，所以e，

故答案为：．

【点睛】

本题考查椭圆的离心率的求解，求得点C坐标是关键，考查逻辑推理能力和运算能力．

四、解答题

17．已知,,若p是q的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】

【解析】根据p是q的充分而不必要条件可得对应的集合是对应的集合的真子集，据此可求实数的取值范围.

【详解】

不等式的解集为，

因为，故不等式的解集为，

依题意，且，故，

故且等号不同时成立，解得：,

∴正实数的取值范围是.

【点睛】

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

18．已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于．

（Ⅰ）求点C的轨迹方程；

（Ⅱ）讨论点C的轨迹的形状．

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)详见解析.

【解析】(Ⅰ)设，根据条件，代入坐标整理即得C点的轨迹方程;

(Ⅱ)根据上一问的结果，分讨论与的关系，得到轨迹的形状.

【详解】

解：(Ⅰ)设，则由题知，

即为点的轨迹方程.

(Ⅱ)当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线；

当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆；

当时，点的轨迹为圆心为(0,0)，半径为5的圆；

当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆.

19．已知命题函数在上单调递增.关于x的不等式解集为R，若假，真，求实数a的取值范围.

【答案】

【解析】由二次函数的性质，求得命题或，根据不等式式的解集为，求得命题，再由假，真，得到命题p与q一真一假，分类讨论，即可求解.

【详解】

由题意，函数在上单调递增，可得其对称轴方程满足，即，

解得或，故命题或，

由不等式的解集为，

当时，不等式为的解集为，符合题意；

当时，要使得的解集为，则满足，解得，故命题，

因为假，真，可得命题p与q一真一假，

当真假时，可得，解得或；

当假真时，可得，解得，

综上可得，实数a的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数的取值范围问题，其中解答中正确求解命题和，结合复合命题的真值表，分类讨论列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

20．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

【答案】（1）8（2）

【解析】（1）由y2＝6x，得准线方程、焦点，直线的方程为，与抛物线方程联立可得x2－5x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，由抛物线的定义可知线段AB的长；

（2），即可求线段AB的中点M到准线的距离．

【详解】

(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝．

又F，所以直线l的方程为y＝．

联立消去y得x2－5x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，

而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，

所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3．又准线方程是x＝－，

所以M到准线的距离为3＋＝．

【点睛】

本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题.

21．如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点.

（1）求抛物线的标准方程和准线方程；

（2）若，证明：直线恒过定点.

【答案】（1）抛物线的标准方程为，准线方程为；（2）证明见解析.

【解析】（1）设出抛物线的标准方程，将点坐标代入，进而可求出抛物线的标准方程；利用准线的计算方法，即可求出准线方程；

（2）求出直线和直线的方程，分别与抛物线方程联立，求出点和点坐标，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式方程写出直线的方程，并借助，即可求得结果.

【详解】

（1）设抛物线的标准方程为，，

将代入得，解得，

所以抛物线的标准方程为，准线方程为.

（2）证明：因为直线过点，斜率为，

利用点斜式方程，可得直线的方程为，即，

因为直线过点，斜率为，

利用点斜式方程，可得直线的方程为，即，

联立，消去y得，.

解得或，

因此点

同理可得.

于是直线的斜率

，又，.

所以直线的方程为，

即，

故直线恒过定点.

【点睛】

本题考查利用抛物线上的点求抛物线的标准方程、抛物线的准线问题及抛物线中的直线过定点问题，考查学生的运算求解能力，属于中档题.

22．已知为椭圆的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线的斜率之积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）1．

【解析】（1）设，表示出斜率，由题意，由此可求出答案；

（2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形的面积，化简后结合基本不等式即可求出答案．

【详解】

解：（1）设，则，

又，代入上式可得：，

又，解得，

∴椭圆C的标准方程为：；

（2）设直线的方程为：，

，联立，化为：，

∴，

∵，∴，

∴，代入可得：，

∴的面积，

∴，

∴，当且仅当时取等号，

∴面积的最大值为1．

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．