2020-2021学年甘肃省镇原县孟坝中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

镇原县孟坝中学2020-2021学年高二上学期期中考试试卷

数  学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于(　　)

A．{1,2,3}   B．{1,2}

C．{4,5}   D．{1,2,3,4,5}

2．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为(　　)

A.   B．－

C.   D．－

3．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的第几项(　  )

A．4   B．8

C．7   D．12

4．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)

A.＋1   B．2＋1

C．2   D．2＋2

5．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于(　　)

A．4∶1∶1   B．2∶1∶1

C.∶1∶1   D.∶1∶1

6．若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)

A．0   B．3

C．4   D．5

7．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为(　　)

A．1   B．－1

C．－3   D．3

8．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)

A．5   B．8

C．10   D．14

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)

A．一定是锐角三角形  B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形   D．是锐角或直角三角形

10．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有(　　)

A．最大值64   B．最小值

C．最小值   D．最小值64

11．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为(　　)

A．S1   B．S2

C．S3   D．S4

12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)

A．(0,2)   B．(－2,1)

C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)   D．(－1,2)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝______.

14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.

15.已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则a的取值范围为_______.

16．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.

①　　　　　　　　②

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？

18．（12分）若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?

19．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．

(1)求A；

(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．

20．（12分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.

21．（12分）江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离.  

22．（12分)5．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

数学答案

1.    B  2.D  3.B  4.C  5.D  6.C  7.C  8.B  9.C 10. D  11.C  12.B     

13.5   14.     15. (－∞，1]    16.  

17. [解]　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，

得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，

∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.

(2)法一：a1＝9，d＝－2，

Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n

＝－(n－5)2＋25，

∴当n＝5时，Sn取得最大值．

法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．

令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.

∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.

∴当n＝5时，Sn取得最大值．

18.[解]　(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

∴解得a＝3.

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，

即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，

∴所求不等式的解集为.

(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6.

19.[解]　(1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，

由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，

又sin B≠0，从而tan A＝.

由于0<A<π，所以A＝.

(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，

而a＝，b＝2，A＝，

得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.

因为c>0，所以c＝3.

故△ABC的面积为bcsin A＝.

法二：由正弦定理，得＝，从而sin B＝.

又由a>b，知A>B，所以cos B＝.

故sin C＝sin(A＋B)＝sin

＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.

所以△ABC的面积为absin C＝.

20.解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由得

∴bn＝b1qn－1＝3n－1，

又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，

∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.

∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…).

(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.

从而数列{cn}的前n项和

Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1

＝＋＝n2＋.

21.[解]　如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.

∵AB＝30(m)，

∴BC＝30(m)，

在Rt△ABD中，BD＝＝30(m)．

在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，

∴CD＝30(m)，即两船相距30 m.

22.[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d.

由已知条件可得解得

故数列{an}的通项公式为an＝2－n.

(2)设数列的前n项和为Sn，

则Sn＝a1＋＋…＋　①，

＝＋＋…＋　②.

①－②得＝a1＋＋…＋－＝1－－＝1－－＝.

所以Sn＝.故数列的前n项和Sn＝