2020-2021学年宁夏长庆高级中学第一学期高二期中考试数学（理）试题 Word版

这是一份2020-2021学年宁夏长庆高级中学第一学期高二期中考试数学（理）试题 Word版，共5页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求）
1.命题“若，则”的逆否命题是( )
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
2.“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.命题“”的否定是( )
A． B． C． D．
4.方程所表示的曲线形状是( )
A． B． C． D．
5.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
6.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )
A． B． C． D．与斜交
7.焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为，到左顶点的距离为的椭圆的标准方程是( )
A． B． C． D．
8.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A． B． C． D．
9.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )
A． B． C． D．
10.如图所示，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分
别是，在第二、四象限的公共点．若四边形是矩形，则的离心
率是( )
A． B． C． D．
11.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A． B． C． D．
12.已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）
13.过椭圆的焦点的弦中最短弦长是_____________．
14.直线被抛物线截得的线段的中点坐标是________．
15.如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，
则点到平面的距离为________．
16.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，．对于结论：①；②；③是平面的法向量；④∥.其中正确的是____________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.如图，斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点．
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；
(2)求线段的长．
18.已知，．
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
19.如图，正方体中，、分别为、的中点．选用合适的方法证明以下问题：
(1)证明平面∥平面；
(2)证明⊥面.
20.设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.
(1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)求过点且斜率为的直线被截得的线段的长度．
21.如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点，
(1)证明：；
(2)判断并说明上是否存在点，使得∥平面.
22.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、.
(1)若为等边三角形，求椭圆的方程；
(2)若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于、两点，且，求直线的方程．
答案
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】A
12.【答案】D
13.【答案】
【解析】 由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为＝＝.
14.【答案】 (3,2)
【解析】 设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
将y＝x－1代入y2＝4x，
整理得x2－6x＋1＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2，
∴所求点的坐标为(3,2)．
15.【答案】217
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则A32,12,0，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则C1A＝32,12,-1，C1B1＝(0,1,0)，C1B＝(0,1，－1)，设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则有C1A·n=32x+12y-1=0,C1B·n=y-1=0.解得n＝33,1,1，
则所求距离为C1B1·nn＝113+1+1＝217.
16.【答案】①②③
【解析】由于AP·AB＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，
AP·AD＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．
17.【答案】解 (1)由焦点F(1,0)，得＝1，解得p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
直线l的方程为y＝(x－1)，
与抛物线方程联立，得
消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，
所以线段AB的长为.
18.【答案】解 (1)由(x＋1)(x－5)≤0得－1≤x≤5，
∵p是q的充分条件，∴
解得m≥4.
(2)当m＝5时，q：－4≤x≤6，根据已知，p，q一真一假，当p真q假时，
无解；
当p假q真时，
解得－4≤x＜－1或5＜x≤6.
综上，实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6].
【答案】给出用向量方法的证明，此题用空间几何的证明法则证明也可
(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，
则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，
设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，
∵DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)，∴2x+2z=02x+2y=0，
∴取m＝(－1,1,1)，
同理平面B1CD1的法向量为n＝(－1,1,1)，∴m∥n，
∴平面A1BD∥平面B1CD1；
(2)∵M、N分别为AB、B1C的中点，
∴MN＝(－1,1,1)，∴MN∥m，∴MN⊥面A1BD.
20.【答案】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xp，yp)，由已知，得xp=x,yp=54y,
因为P在圆上，所以x2＋(54y)2＝25，
即C的方程为x225＋y216＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x-3225＝1，
即x2－3x－8＝0.
则Δ＝(－3)2＋32＝41>0，x1＋x2＝3，x1x2＝－8，
所以线段AB的长为|AB|＝x1-x22+y1-y22
＝1+1625x1-x22＝4125x1+x22-4x1x2＝4125×41＝415.
21.【答案】∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，
如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．
(1)不妨令P(0,0，t)，∴PF＝(1,1，－t)，DF＝(1，－1,0)，
∴PF·DF＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，
∴PF⊥DF，即PF⊥FD；
(2)设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，
由n·PF=0,n·DF=0,得x+y-tz=0,x-y=0,
令z＝－1，解得x＝y＝t2，∴n＝t2,t2,1，
设点G的坐标为(0,0，m)，
又E12,0,0，则EG＝-12,0,m，
要使EG∥平面PFD，只需EG·n＝0，
即-12×t2＋0×t2＋m×1＝0，即m－t4＝0，
解得m＝14t，从而满足AG＝14AP的点G即为所求．
22.【答案】(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．
根据题意知，a＝2b，a2－b2＝1，解得a2＝43，b2＝13，故椭圆C的方程为x243＋y213＝1.
(2)易求得椭圆C的方程为x22＋y2＝1.
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．
由y=kx-1,x22+y2=1,得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k22k2+1，x1x2＝2k2-12k2+1，F1P＝(x1＋1，y1)，F1Q＝(x2＋1，y2)．
因为F1P⊥F1Q，所以F1P·F1Q＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝7k2-12k2+1＝0，
解得k2＝17，即k＝±77.
故直线l的方程为x＋7y－1＝0或x－7y－1＝0.