2020-2021学年湖北省部分重点中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

湖北省部分重点中学2020-2021学年高二上学期期中考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分,考试时间120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号准确地写在答题卡上。

2．所有试题的答案均写在答题卡上。对于选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的

1．已知点，，则直线的倾斜角为（   ）

A． B． C． D．

2.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（    ）

0347  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410

9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179

A．36 B．16 C．11 D．14

3．的内角的对边分别为,且,，，则角=(     )

A． B． C．或 D．或

4．已知是平面,是直线,且，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件       C．充要条件       D．既不充分也不必要条件

5．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x－m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)

A．2 B．4 C．5 D．10

6．已知直线l：经过定点，则的最小值是（    ）

A． B．

C． D．3

7．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是(   )

A．B．C．D．

8．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD上(点P异于A、D两点)，线段DD1的中点为点Q，若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP长度的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分

9．下列说法正确的是（   ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．命题“，”的否定是“，”

C．“”是“关于的方程有一正一负根”的充分不必要条件

D．“”是命题“”为假命题的充分不必要条件

10．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的是（  ）

A．A与B是互斥事件但不是对立事件                     B．A与C是互斥事件也是对立事件

C．A与D是互斥事件                                   D．C与D不是对立事件也不是互斥事件

11．以下四个命题为真命题的是（    ）

A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为

B．直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是

C．曲线与曲线恰有一条公切线，则

D．设是直线上的动点，过点作圆O:的切线，，切点为，，则经过，，三点的圆必过两个定点。

12．正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，下列结论正确的是（   ）

A．直线与、与所成的角相等               B．侧棱与底面所成角的正切值为

C．该四棱锥的体积为                                D．该四棱锥的外接球的表面积为

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则m的值为              ．

14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是           ．

15．直线与圆C：交于A、B两点，则的面积是__________.

16．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．(本题10分) （1）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射后与轴交于点，求反射光线所在直线的方程．

（2）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，求事件“”发生的概率．

18．某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：

（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；

（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数及众数（保留一位小数）；

（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样(如表),根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？

19．某公司决定利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的储藏室.由于储藏室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：储藏室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为米.

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.

（2）现有乙工程队也要参与此储藏室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.

20．(本题12分)在中,内角的对边分别为, 已知.

（1）求角的取值范围；

（2）若，且，求的值．

21．(本题12分)已知中，，，，分别取边，的中点，，将沿折起到的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足.

（1）求证：平面；

（2）试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由.

22．(本题12分)已知点圆，点是圆上的动点，点关于点的对称点为点，设点的轨迹为，以为圆心作圆与轴相切于点且与相交于两点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）证明：直线平分线段；

（3）设直线与的交点为，直线，到的距离记为，试探究轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和该定值，若不存在，请说明理由．

湖北省部分重点中学联合考试

数学试题参考答案

一、选择题：

1.【答案】C

【解析】∵直线过点，，∴，设AB的倾斜角为

,,．故选C．

2.【答案】C

【解析】从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，

读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11，故选：C.

3.【答案】B

【解析】由正弦定理，，所以，又，则，

所以，故选B．

4.【答案】C

【解析】充分性：因为，，所以，所以充分性满足；

必要性：因为且，，，所以，所以必要性满足.

所以“”是“”的充要条件   故选C

5.【答案】B

【解析】由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心O2O1．则在Rt△O2AO1中，|O1A|=|O2A|=，斜边上的高为半弦，用等积法易得：⇒|AB|=4．故答案为：B

6.【答案】C

【解析】由题意知，，且是两个不同的正数，所以=，当且仅当时，等号成立，故的最小值是.故选：C

7.【答案】B

【解析】从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间内各有个，答案A被排除；在区间内有个；在区间内有个；在区间内有个；在区间内各有个，答案C被排除；在区间内有个，答案D被排除；依据这些数据信息可推知，应选答案B．

8.【答案】D

【解析】如图所示：设平面当与直线交于点，

在正方体ABCD-A1B1C1D1(棱长为1)中，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，所以，所以，若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则需点E在线段之间，当P在A点时，E为的中点，因为点P在线段AD上(点P异于A、D两点)，则，所以，所以，即，所以，故选：D

二、选择题：

9.【答案】BD

【解析】A.命题“，”的否定是“，”，故错误；

B.命题“，”的否定是“，”，故正确；

C. 关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故错误

D.命题“”的否定“，”为真命题，所以，故是命题“”为假命题的充分不必要条件.故正确；故选：B D.

10.【答案】ABD

【解析】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,

“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,

在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；

在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；

在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；

在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.故选：ABD.

11.【答案】B D

【解析】对于，设，所以横截距为，纵截距为，所以，解得或，所以直线方程为或.错误；

对于，由题知k＝－cosθ，故k∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.正确；

对于，曲线化为标准式得，，曲线化为标准式得，所以，圆心距为5，因为有一条公切线，所以两圆内切，即，解得，错误；

对于，设点，根据切线的性质，可得，经过的三点的圆，即为以为直径的圆，则圆的方程为，整理得，令，解得或，

即经过A，P，O三点的圆必经过定点.D正确，故选BD

12.【答案】A D

【解析】连结，，交于点，连结，取中点，连结、，如下图所示：

对于A，因为，所以直线与所成角为，

因为，所以与所成的角为，

∵，，∴，

∴直线与、与所成的角相等，故A正确；

对于B，∵平面，∴是侧棱与底面所成角，

∵正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，

∴，，，，，

∴侧棱与底面所成角的正切值为，故B错误；

对于C，该四棱锥的体积为，故C错误；

对于D，由题意可知正四凌锥中外接球的球心在上，

设外接球的球心为，连接 ，设该四棱锥的外接球半径为，

在中，,

由勾股定理，可得，解得，

∴该四棱锥的外接球的表面积为，故D正确.故选：A D.

三、填空题：

13.【答案】5

【解析】由表中数据可知，，，

根据样本中心点必在线性回归方程上，有，解得，故填5

14.【答案】

【解析】因为甲、乙两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，所以乙获胜的概率．

15.【答案】

【解析】圆,到直线l的距离,,

16.【答案】

【解析】依题意，由正弦定理得，所以，

由于三角形是锐角三角形，所以.由,所以由于，所以，所以.故填

四、解答题：

17.【答案】（1）；（2）

【解析】（1）作点关于轴的对称点的坐标，

则反射光线所在的直线过点和，所以，

所以反射光线的方程为，即.               ··················· 5分

（2）由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含20个基本事件；

“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个基本事件；             ·················· 7分

“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；                                    ·················· 8分

即事件是事件的子事件；所以事件包含的基本事件个数为个，

所以事件发生的概率为．                                  ··················· 10分

18.【答案】（1）图见解析；（2）中位数约为29.2，众数为；（3）3720（元）.

【解析】（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：

                               ··················· 4分

（2）由频率分布直方图得样本的众数为，                 ··················· 5分

由频率分布直方图得的频率为，

的频率为，设样本的中位数为，则，解得，∴样本的中位数约为29.2.                                   ··················· 8分

（3）依题意知休闲跑者共有：人，

核心跑者共有人，

精英跑者共有人，∴估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费

（元）.            ··················· 12分

19.【答案】（1）当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元；（2）.

【解析】（1）甲工程队的总造价为元，

则，···················3分

.当且仅当，即时等号成立.

即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.         ···················5分

（2）由题意可得，对任意的恒成立.

即，从而恒成立，       ··································9分

令，，故.

所以.                                      ··································12分

20.【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为 ··················· 2分

所以,由正弦定理可得，                          ···················4分

因为，所以，即      ········6分

（2）因为，且，所以B不是最大角，所以．    

所以，得，因而．               ··················8分

由余弦定理得，所以．                   ···················10分

所以   即·      ·····12分

21.【答案】(1)见解析;(2).

【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 ，

∵ 为棱 的中点，∴ 且 ，而 中，

， 为边 ， 的中点，则 ，且 ，∴ ，即

且 ，∴四边形 为平行四边形，∴

∵ 平面 ， 平面 ∴平面         ···················5分

（2）在中，；所以在立体图中，,

,是二面角的平面角，              ··················7分

且,,

在面内作于,则,∴ 为三棱锥 的高. ·······9分

，，∴，

所以到的距离=6，当为锐角时，,    ······11分

符合要求的的位置存在且二面角的大小为或                ······12分               

22.【答案】（1），（2）见详解，（3），定值

【解析】（1）设，则由中点坐标公式得，由于点在圆上，，即为的方程．·······························2分

（2）设，圆的方程为，联立方程组，得直线的方程为，                         ··············5分

由于轴，所以的中点坐标为，将其代入的方程左边得即的中点在直线上，所以平分．                     ··································7分

（3）由（2）可知点，设存在定点满足要求，，

设为常数，则，，对恒成立，   ···········10分

，解得，

故存在定点定值满足要求。          ··································12分