2020-2021学年江苏省扬州市宝应中学高二上学期期中考试数学试题 word版

江苏省宝应中学2020-2021学年第一学期高二年级期中考试

(数学)      

一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．不等式的解集为                                      （    ）

A．   B．   C．     D．

2．已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件是

A．    B．  C．         D．   （    ）

3．已知双曲线的方程为，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为（    ）

A．1  B． C．2           D．

4．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁?                 （    ）

A．38  B．35 C．32            D．29

5．如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（    ）

A． B．

C． D．

6．若a，b为正实数，且，则的最小值为              （    ）

A．2  B．  C．3 D．4

7．已知､分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于､两点，，，且轴.若点是圆上的一个动点，则的取值范围是                              （    ）

A．    B．   C． D．

8．已知数列满足，是数列的前项和，则（    ）

A．是定值，是定值 B．不是定值，是定值

C．是定值，不是定值 D．不是定值，不是定值

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．设是棱长为a的正方体，以下结论正确的有       （    ）

A．   B．    C．   D．

10．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是  （    ）

A．当时，曲线为圆

B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为

C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件

D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为

11．已知数列的前项和为且满足，下列命题中正确的是                                                         （    ）

A．是等差数列   B．C．    D．是等比数列

12．已知，则的值可能是              （    ）

A．    B．  C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______.

14．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.

15．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则______.

16．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为_______

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知，命题，，命题，．

（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题p与q一真一假，求实数m的取值范围．

18．已知双曲线

（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；

（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．

19．已知函数，关于x的不等式的解集是.

（1）求的解析式；

（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.

20．在三棱柱中，平面,，分别是的中点。  （1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

21．已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，.数列满足，.（1）求数列和的通项公式；

（2）是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

22．已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

江苏省宝应中学20-21学年第一学期高二年级期中考试

(数学)参考答案及评分标准

一、单选题：1．B    2．C     3．D     4．B

5．D    6．A     7．C     8．A

当，则，，

∴，即有，，

作差得，∴，

∴，令可得，，

∴为定值．

而

也为定值．

故选：A．

二、多选题：

9．AC          10．AB             11．ABD             12．CD

解：由，得，则且.

当时, =

=.当且仅当即 时取等号.

当时, =

=.

当且仅当即 时取等号.    综上，.

三、填空题：

13.(1，2)        14．        15.0          16．       

四、解答题：

17．解：（1）∵，，∴在上恒成立，

∴，即p为真命题时，实数m的取值范围是．    ----4分

（2）∵，，∴，即命题q为真命题时，．    ----6分

∵命题p与q一真一假，∴p真q假或p假q真．

当p真q假时，即；                                       

当p假q真时，即．                                   -----9分

综上所述，命题p与q一真一假时，实数m的取值范围为或． -----10分

18．解：（1）当时，双曲线方程化为，

所以，，，所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，

渐近线方程为.                                           ------6分

（2）因为，     所以，

解得，          所以实数的取值范围是．    ----12分

19．解：（1）由不等式的解集是知，

2和3是方程的两个根.由根与系数的关系，得，即.

所以.                                               ----6分

（2）不等式对于任意恒成立，

即对于任意恒成立.

由于的对称轴是，

当时，取最大值，，                ----10分

所以只需，即.解得或.

故的取值范围为.                                   ------12分

20． 解：（1）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，则，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，即，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.                         ----6分

（2）假设在棱是存在一点，设，可得，

由，可得，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，即，

又由平面的一个法向量为，

所以，

因为平面与平面所成二面角为，

可得，解得，

此时，符合题意，

所以在棱上存在一点P,且CP=，使得平面与平面所成锐二面角为. ---12分

21．解：（1）设等差数列的首项为，公差为，

则，解得：，

；                                        -----3分

，

，

，

…………

当时，，

以上式子相加可得，

，

，

当时，，成立

；    （n=1没验证扣1分）                           ---6分

（2）假设存在正整数，使得成等差数列，

则，，，，

，即，           ---8分

化简得，

当时，即时，（舍），

当，即时，，符合题意，

存在正整数，，使得成等差数列.                  ----12分

22．解：（1）由题意，解得，

所以椭圆的标准方程为．                               -------4分

（2）由题意知直线经过坐标原点，假设存在符合条件的点，则直线的斜率存在且大于零， ①                       -----6分

设直线的斜率为，则直线，

联立方程组，得，

所以 ②                                         -----8分

同理可得直线的方程为 ③             -----9分

将②③代入①式得，

化简得，所以

所以，

综上所述，存在符合条件的点                     ----12分